2019-2020学年高中数学 第1章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的应用 课时作业9 函

课时作业9函数的最大(小)值与导数知识对点练知识点一函数最值的概念1.设f(x)是[a，b]上的连续函数，且在(a，b)内可导，则下列结论中正确的是()A．f(x)的极值点一定是最值点B．f(x)的最值点一定是极值点C．f(x)在此区间上可能没有极值点D．f(x)在此区间上可能没有最值点解析根据函数的极值与最值的概念判断知选项A，B，D都不正确，只有选项C正确．解析答案C答案2．函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值是M，最小值是m，若M＝m，则f′(x)()A．等于0B．大于0C．小于0D．以上都有可能解析由题意，知在区间[a，b]上，有m≤f(x)≤M，当M＝m时，今M＝m＝C，则必有f(x)＝C，∴f′(x)＝C′＝0.故选A.解析答案A答案知识点二求函数的最值3.函数f(x)＝x3－3x(|x|1)()A．有最大值，但无最小值B．有最大值，也有最小值C．无最大值，但有最小值D．既无最大值，也无最小值答案D答案解析f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，当x∈(－1,1)时，f′(x)0，所以f(x)在(－1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选D.解析4．函数y＝x－sinx，x∈π2，π的最大值是()A．π－1B.π2－1C．πD．π＋1解析因为y′＝1－cosx，当x∈π2，π时，y′0，则函数y＝x－sinx在区间π2，π上为增函数，所以y的最大值为ymax＝π－sinπ＝π，故选C.解析答案C答案知识点三含参数的函数的最值问题5.若函数y＝x3＋32x2＋m在[－2,1]上的最大值为92，则m等于()A．0B．1C．2D.52答案C答案解析y′＝3x2＋3x＝3x(x＋1)，令y′＝0，得x＝0或x＝－1.因为f(0)＝m，f(－1)＝m＋12，又f(1)＝m＋52，f(－2)＝m－2，所以f(1)＝m＋52最大，所以m＋52＝92，所以m＝2.故选C.解析6．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－23与x＝1处都取得极值．(1)求a，b的值及函数f(x)的单调区间；(2)若对x∈[－1,2]，不等式f(x)c2恒成立，求c的取值范围．解(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax＋b，因为f′(1)＝3＋2a＋b＝0，f′－23＝43－43a＋b＝0，解得a＝－12，b＝－2，所以f′(x)＝3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表：答案x－∞，－23－23－23，11(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以函数f(x)的递增区间为－∞，－23和(1，＋∞)；递减区间为－23，1.答案(2)由(1)知，f(x)＝x3－12x2－2x＋c，x∈[－1,2]，当x＝－23时，f－23＝2227＋c为极大值，因为f(2)＝2＋c，所以f(2)＝2＋c为最大值．要使f(x)c2(x∈[－1,2])恒成立，只需c2f(2)＝2＋c，解得c－1或c2.故c的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．答案课时综合练一、选择题1．函数f(x)＝x－12x在区间[0，＋∞)上()A．有最大值，无最小值B．有最大值，有最小值C．无最大值，无最小值D．无最大值，有最小值答案A答案解析由已知得f(x)的定义域为[0，＋∞)，f′(x)＝12x－12，令f′(x)0，得f(x)的单调递增区间为[0,1)；令f′(x)0，得f(x)的单调递减区间为(1，＋∞)．所以f(x)在区间[0，＋∞)上有最大值，无最小值．解析2．函数y＝xe－x，x∈[0,4]的最大值是()A．0B.1eC.4e4D.2e2解析y′＝e－x－x·e－x＝e－x(1－x)，令y′＝0，∴x＝1.∵f(0)＝0，f(4)＝4e4，f(1)＝e－1＝1e，∴f(1)为最大值．故选B.解析答案B答案3．已知函数f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为()A．－37B．－29C．－5D．－11解析∵f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，由f′(x)＝0得x＝0或2.∵f(0)＝m，f(2)＝－8＋m，f(－2)＝－40＋m，显然f(0)f(2)f(－2)，∴m＝3，最小值为f(－2)＝－37.解析答案A答案4．已知函数f(x)＝aex－x2－(2a＋1)x，若函数f(x)在区间(0，ln2)上有最值，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－1)B．(－1,0)C．(－2，－1)D．(－∞，0)∪(0,1)答案A答案解析f′(x)＝aex－2x－(2a＋1)，令g(x)＝f′(x)，∵函数f(x)在区间(0，ln2)上有最值，∴g(x)在区间(0，ln2)上单调且存在零点，∴g(0)g(ln2)0，即(－a－1)(－2ln2－1)0，可得a＋10，解得a－1，此时g′(x)＝aex－2在区间(0，ln2)上恒小于0，∴g(x)在区间(0，ln2)上单调递减且存在零点，∴实数a的取值范围是(－∞，－1)．解析5．已知(a＋1)x－1－lnx≤0对任意x∈12，2恒成立，则实数a的最大值为()A．0B．1C．1－2ln2D.－1＋ln22答案C答案解析原问题等价于a＋1≤lnx＋1x对任意x∈12，1恒成立，令h(x)＝lnx＋1x，则h′(x)＝－lnxx2，令h′(x)＝0，得x＝1，且当x∈12，1时，h′(x)＞0，当x∈(1,2]时，h′(x)＜0，所以函数h(x)在12，1上单调递增，在(1,2]上单调递减，所以最小值为minh12，h2＝h12＝2－2ln2，所以a≤2－2ln2－1＝1－2ln2，选C.解析二、填空题6．函数f(x)＝4xx2＋1，x∈[－2,2]的最大值是________，最小值是________．解析∵y′＝4x2＋1－2x·4xx2＋12＝－4x2＋4x2＋12，令y′＝0，可得x＝1或－1.又∵f(1)＝2，f(－1)＝－2，f(2)＝85，f(－2)＝－85，∴最大值为2，最小值为－2.解析答案2－2答案7．若F(x)＝x－2lnx＋2a，则F(x)在(0，＋∞)上的最小值是________．解析令F′(x)＝1－2x＝x－2x＝0得x＝2.当x∈(0,2)时F′(x)0，当x∈(2，＋∞)时，F′(x)0，∴当x＝2时F(x)min＝F(2)＝2－2ln2＋2a.解析答案2－2ln2＋2a答案8．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，x∈[－2,2]表示的曲线过原点，且在x＝±1处的切线斜率均为－1，有以下命题：①f(x)的解析式为f(x)＝x3－4x，x∈[－2,2]；②f(x)的极值点有且仅有一个；③f(x)的最大值与最小值之和等于零．其中正确的命题个数为________．答案2答案解析因为曲线过原点，所以c＝0，又在x＝±1处的切线斜率为－1，所以有3＋2a＋b＝－1，3－2a＋b＝－1，解得a＝0，b＝－4，所以f(x)的解析式为f(x)＝x3－4x，x∈[－2,2]，故①正确；又f′(x)＝3x2－4，则函数在－2，－233和233，2上单调递增，在x∈－233，233上单调递减，所以函数的极值点有两个，故②不正确；因为f(－2)＝0，f(2)＝0，f－233＝1639，f233＝－1639，所以函数f(x)的最大值与最小值之和等于零，故③正确．所以正确命题的个数为2.解析三、解答题9．已知函数f(x)＝ax3＋x2＋bx(其中常数a，b∈R)，g(x)＝f(x)＋f′(x)是奇函数．(1)求f(x)的表达式；(2)求g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值．解(1)∵f′(x)＝3ax2＋2x＋b，∴g(x)＝f(x)＋f′(x)＝ax3＋(3a＋1)x2＋(b＋2)x＋b.∵g(x)是奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，从而3a＋1＝0，b＝0，解得a＝－13，b＝0，因此f(x)的表达式为f(x)＝－13x3＋x2.答案(2)由(1)知g(x)＝－13x3＋2x，∴g′(x)＝－x2＋2，令g′(x)＝0，解得x1＝－2(舍去)，x2＝2，而g(1)＝53，g(2)＝423，g(2)＝43，因此g(x)在区间[1,2]上的最大值为g(2)＝423，最小值为g(2)＝43.答案10．已知函数f(x)＝lnx＋ax.(1)当a0时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在[1，e]上的最小值是32，求a的值．解函数f(x)＝lnx＋ax的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－ax2＝x－ax2，(1)∵a0，∴f′(x)0，故函数在其定义域(0，＋∞)上单调递增．答案(2)x∈[1，e]时，分如下情况讨论：①当a1时，f′(x)0，函数f(x)单调递增，其最小值为f(1)＝a1，这与函数在[1，e]上的最小值是32相矛盾；②当a＝1时，函数f(x)在[1，e]上单调递增，其最小值为f(1)＝1，同样与最小值是32相矛盾；③当1ae时，函数f(x)在[1，a)上有f′(x)0，f(x)单调递减，在(a，e]上有f′(x)0，f(x)单调递增，所以函数f(x)的最小值为f(a)＝lna＋1，由lna＋1＝32，得a＝e；答案④当a＝e时，函数f(x)在[1，e]上有f′(x)0，f(x)单调递减，其最小值为f(e)＝2，这与最小值是32相矛盾；⑤当ae时，显然函数f(x)在[1，e]上单调递减，其最小值为f(e)＝1＋ae2，仍与最小值是32相矛盾．综上所述，a的值为e.答案本课结束