2019-2020学年高中数学 第1章 导数及其应用 1.1.3 导数的几何意义课件 新人教B版选修

第一章导数及其应用1.1导数1.1.3导数的几何意义学习目标核心素养1．理解导数的几何意义．(重点)2．能应用导数的几何意义解决相关问题．(难点)3．正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线，并会求其方程．(易混点)1．通过导数的几何意义的学习，培养学生的数学抽象、直观想象素养．2．借助于求曲线的切线方程，提升学生的逻辑推理、数学运算素养.自主预习探新知导数的几何意义1．割线的斜率已知y＝f(x)图象上两点A(x0，f(x0))，B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))，过A，B两点割线的斜率是，即曲线割线的斜率就是____________________．ΔyΔx＝fx0＋Δx－fx0Δx函数的平均变化率2．导数的几何意义曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的导数f′(x0)的几何意义为___________________________________________．曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)导函数f′(x)的定义域与函数f(x)的定义域相同．()(2)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点．()(3)函数f(x)＝0没有导函数．()[解析](1)错．导函数的定义域和原函数的定义域可能不同，如f(x)＝x12，其定义域为[0，＋∞)，而其导函数f′(x)＝12x，其定义域为(0，＋∞)．(2)错．直线与曲线相切时，直线与曲线的交点可能有多个．(3)错．函数f(x)＝0为常数函数，其导数f′(x)＝0，并不是没有导数．[答案](1)×(2)×(3)×2．已知函数y＝f(x)在点(2,1)处的切线与直线3x－y－2＝0平行，则f′(2)等于()A．1B．－1C．－3D．3[解析]由题意知f′(2)＝3.[答案]D3．已知函数f(x)在x0处的导数为f′(x0)＝1，则函数f(x)在x0处切线的倾斜角为__________．[解析]设切线的倾斜角为α，则tanα＝f′(x0)＝1，又α∈[0°，180°)，∴α＝45°.[答案]45°合作探究提素养求曲线在某点处切线的方程【例1】已知曲线C：y＝x3.(1)求曲线C在横坐标为x＝1的点处的切线方程；(2)第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？[思路探究](1)先求切点坐标，再求y′，最后利用导数的几何意义写出切线方程．(2)将切线方程与曲线C的方程联立求解．[解](1)将x＝1代入曲线C的方程得y＝1，∴切点P(1,1)．y′＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→01＋Δx3－1Δx＝limΔx→0[3＋3Δx＋(Δx)2]＝3.∴k＝3.∴曲线在点P(1,1)处的切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.(2)由y＝3x－2，y＝x3，解得x＝1，y＝1或x＝－2，y＝－8，从而求得公共点为P(1,1)或M(－2，－8)，即切线与曲线C的公共点除了切点外，还有另一公共点(－2，－8)．1．利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤(1)求出函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)；(2)写出切线方程，即y－y0＝f′(x0)·(x－x0)．特别注意：若在点(x0，y0)处切线的倾斜角为π2，此时所求的切线平行于y轴，所以直线的切线方程为x＝x0.2．曲线的切线与曲线的交点可能不止一个．1．若函数f(x)在点A(1,2)处的导数是－1，那么过点A的切线方程是__________．[解析]切线的斜率为k＝－1．∴点A(1,2)处的切线方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.[答案]x＋y－3＝0求切点坐标【例2】已知抛物线y＝2x2＋1．求：(1)抛物线上哪一点的切线的倾斜角为45°？(2)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?[思路探究]设点的坐标→求出在该点处的导数→利用条件建立方程→求出点的坐标[解]设切点的坐标为(x0，y0)，则Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x20－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2.∴ΔyΔx＝4x0＋2Δx.∴f′(x0)＝limΔx→0(4x0＋2Δx)＝4x0.(1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°，∴斜率为tan45°＝1，即f′(x0)＝4x0＝1，得x0＝14，该点为14，98.(2)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，∴斜率为4，即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，该点为(1,3)．上例中条件不变，求抛物线上哪一点的切线垂直于直线x＋8y－3＝0?[解]∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，∴抛物线的切线的斜率为8.由上例知f′(x0)＝4x0＝8，∴x0＝2，y0＝9.即所求点的坐标为(2,9)．1．本题关键是由条件得到直线的斜率，从而得知函数在某点处的导数，进而求出切点的横坐标．2．根据切线斜率求切点坐标的步骤(1)设切点坐标(x0，y0)；(2)求导函数f′(x)；(3)求切线的斜率f′(x0)；(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0；(5)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将(x0，y0)代入求y0，得切点坐标．求曲线过某点的切线方程[探究问题]1．若函数y＝f(x)在点x0处的导数存在，则曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是什么？提示：根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．2．曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点？提示：不一定，切线只是一个局部概念，是该点处的割线的极限位置，在其他地方可能还有一个或多个公共点．3．函数在某点处的导数与导函数有什么区别和联系？提示：区别：函数在某点处的导数是一个定值，导函数是一个函数．联系：函数f(x)在x0处的导数就是导函数f′(x)在x＝x0时的函数值．【例3】已知曲线f(x)＝1x.(1)求曲线过点A(1,0)的切线方程；(2)求满足斜率为－13的曲线的切线方程．[思路探究](1)点A不在曲线上，设切点坐标，写出切线方程，把A(1,0)代入求出切点坐标，进而求出切线方程．(2)设出切点坐标，由该点斜率为－13，求出切点，进而求出切线方程．[解](1)f′(x)＝limΔx→01x＋Δx－1xΔx＝limΔx→0－1x＋Δxx＝－1x2.设过点A(1,0)的切线的切点为Px0，1x0，①则f′(x0)＝－1x20，即该切线的斜率为k＝－1x20.因为点A(1,0)，Px0，1x0在切线上，所以1x0－0x0－1＝－1x20，②解得x0＝12.故切线的斜率k＝－4.故曲线过点A(1,0)的切线方程为y＝－4(x－1)，即4x＋y－4＝0.(2)设斜率为－13的切线的切点为Qa，1a，由(1)知，k＝f′(a)＝－1a2＝－13，得a＝±3.所以切点坐标为3，33或－3，－33.故满足斜率为－13的曲线的切线方程为y－33＝－13(x－3)或y＋33＝－13(x＋3)，即x＋3y－23＝0或x＋3y＋23＝0.1．求曲线过已知点的切线方程的步骤2．若已知切线的斜率，则可根据切点处的导数即为斜率求得切点的坐标，根据点斜式写出切线方程．2．求曲线y＝f(x)＝x2＋1过点P(1,0)的切线方程．[解]设切点为Q(a，a2＋1)，fa＋Δx－faΔx＝a＋Δx2＋1－a2＋1Δx＝2a＋Δx，当Δx趋于0时，(2a＋Δx)趋于2a，所以所求切线的斜率为2a.因此，a2＋1－0a－1＝2a，解得a＝1±2，所求的切线方程为y＝(2＋22)x－(2＋22)或y＝(2－22)x－(2－22).当堂达标固双基1．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为2x－y＋1＝0，则()A．f′(x0)＞0B．f′(x0)＜0C．f′(x0)＝0D．f′(x0)不存在[解析]由切线方程可以看出其斜率是2，又曲线在该点处的切线的斜率就是函数在该点处的导数．[答案]A2．曲线y＝12x2－2在点x＝1处的切线的倾斜角为()A．30°B．45°C．135°D．165°[解析]∵y＝12x2－2，∴y′＝limΔx→012x＋Δx2－2－12x2－2Δx＝limΔx→012Δx2＋x·ΔxΔx＝limΔx→0x＋12Δx＝x.∴切线的斜率为1，倾斜角为45°.[答案]B3．曲线f(x)＝2x在点(－2，－1)处的切线方程为________．[解析]f′(－2)＝limΔx→0f－2＋Δx－f－2Δx＝limΔx→02－2＋Δx＋1Δx＝limΔx→01－2＋Δx＝－12，∴切线方程为y＋1＝－12(x＋2)，即x＋2y＋4＝0.[答案]x＋2y＋4＝04．已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f(x)在A，B两点处的导数f′(a)与f′(b)的大小关系为：f′(a)________f′(b)(填“＜”或“＞”)．[解析]f′(a)与f′(b)分别表示函数图象在点A，B处的切线斜率，由图象可得f′(a)＞f′(b)．[答案]＞5．已知直线y＝4x＋a和曲线y＝x3－2x2＋3相切，求切点坐标及a的值．[解]设直线l与曲线相切于点P(x0，y0)，则f′(x)＝limΔx→0x＋Δx3－2x＋Δx2＋3－x3－2x2＋3Δx＝3x2－4x.由导数的几何意义，得k＝f′(x0)＝3x20－4x0＝4，解得x0＝－23或x0＝2，∴切点坐标为－23，4927或(2,3)．当切点为－23，4927时，有4927＝4×－23＋a，∴a＝12127.当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a，∴a＝－5，因此切点坐标为－23，4927或(2,3)，a的值为12127或－5.