2019-2020学年高中数学 第1章 常用逻辑用语 3 3.1 全称量词与全称命题 3.2 存在量

第一章常用逻辑用语§3全称量词与存在量词3.1全称量词与全称命题3.2存在量词与特称命题3.3全称命题与特称命题的否定学习目标：1.理解全称量词和存在量词的意义．(重点)2.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．(难点)3.能判断含一个量词的命题的真假．(易混点)自主预习探新知1．全称量词与全称命题(1)“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”都是在指定范围内，表示或的含义，这样的词叫作全称量词．(2)含有的命题，叫作全称命题．全部整体全称量词2．存在量词与特称命题(1)“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”都有表示_____或的含义，这样的词叫作存在量词．(2)含有___________的命题，叫作特称命题．思考：在全称命题和特称命题中，量词是否都可以省略？[提示]在特称命题中，量词不可以省略；在有些全称命题中，量词可以省略．存在量词个别一部分3．全称命题与特称命题的否定(1)全称命题的否定是命题．(2)特称命题的否定是命题．全称特称1.判断正误(1)任意x∈R，x0的否定是存在x∈R，x0.()(2)“有的等差数列也是等比数列”是特称命题．()(3)“三角形内角和是180°”是全称命题．()[答案](1)×(2)√(3)√2.下列命题是全称命题的个数是()①任何实数都有平方根；②所有素数都是奇数；③有的等差数列是等比数列；④三角形的内角和是180°.A．0B．1C．2D．3D[①②④是全称命题，故选D.]3.“有些长方形是正方形”含有的量词是________，该量词是________量词(填“全称”或“存在”)有些存在[含的量词是有些，为存在量词．]4.命题p：存在x0∈R，x20＋2x0＋50是________(填“全称命题”或“特称命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)，它的否定为：________．[答案]特称命题假任意x∈R，x2＋2x＋5≥0合作探究提素养全称命题、特称命题及其真假判断【例1】(1)有下列四个命题：①任意x∈R，2x2－3x＋40；②任意x∈{1，－1，0}，2x＋10；③存在x0∈N，x20≤x0；④存在x0∈N*，x0为29的约数．其中真命题的个数为()A．1B．2C．3D．4(2)指出下列命题是全称命题，还是特称命题，并判断其真假．①对任意实数x，都有x2＋1＞0；②存在一个自然数小于1；③菱形的对角线相等；④至少有一个实数x，使sinx＋cosx＝53.C[(1)因为Δ＝(－3)2－4×2×4＜0，所以任意x∈R，2x2－3x＋40，故①正确；因为x＝－1时2x＋1＜0，所以任意x∈{1，－1，0}，2x＋10错误，故②错误；当x＝0时x20≤x0，所以存在x0∈N，x20≤x0，故③正确；因为1，29均为29的约数，所以存在x0∈N*，x0为29的约数，故④正确．所以真命题的个数为3.](2)[解]①全称命题．由x2≥0，知x2＋1＞0，所以①是真命题．②特称命题．由于0∈N，且0＜1，所以②是真命题．③全称命题．由于有一个角为60°的菱形对角线不相等，所以③是假命题．④特称命题．由于sinx＋cosx＝2sinx＋π4≤2＜53，所以④是假命题．1．判断一个命题是全称命题还是特称命题，关键是看命题中含有的量词是全称量词还是存在量词．需要注意的是有些全称命题的全称量词可以省略不写．2．要判断全称命题“对任意x∈M，p(x)成立”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立．但要判断该命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x＝x0，使p(x0)不成立即可．3．要判断特称命题“存在x∈M，使p(x)成立”是真命题，只要在集合M中能找到一个x＝x0，使p(x0)成立，否则，这一命题就是假命题．1．(1)以下四个命题既是特称命题又是真命题的是()A．锐角三角形的内角是锐角或钝角B．至少有一个实数x，使x2≤0C．两个无理数的和必是无理数D．存在一个负数x，使1x2B[A中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；B中x＝0时，x2＝0，所以B既是特称命题又是真命题；C中因为3＋(－3)＝0，所以C是假命题；D中对于任一个负数x，都有1x0，所以D是假命题．](2)判断下列命题的真假．①在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；②存在一个函数，既是偶函数又是奇函数；③每一条线段的长度都能用正有理数来表示；④存在一个实数x，使得等式x2＋x＋8＝0成立；[解]①真命题．②真命题，如函数f(x)＝0，既是偶函数又是奇函数．③假命题，如边长为1的正方形，其对角线的长度为2，2就不能用正有理数表示．④假命题，方程x2＋x＋8＝0的判别式Δ＝－310，故方程无实数解．全称命题与特称命题的否定【例2】写出下列命题的否定．(1)p：存在x∈R，x2＋2x＋2≤0；(2)p：有的三角形是等边三角形；(3)p：所有能被3整除的整数是奇数；(4)p：每一个四边形的四个顶点共圆．[解](1)命题p的否定：任意x∈R，x2＋2x＋20.(2)命题p的否定：所有的三角形都不是等边三角形．(3)命题p的否定：存在一个能被3整除的整数不是奇数．(4)命题p的否定：存在一个四边形的四个顶点不共圆．对全称命题和特称命题进行否定的步骤与方法1．确定类型：是特称命题还是全称命题．2．改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词；把存在量词换为恰当的全称量词．3．否定性质：原命题中“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等．提醒：无量词的全称命题要先补回量词再否定．2．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并写出其否定形式．(1)对数函数都是单调函数；(2)至少有一个整数能被2整除且能被5整除；(3)存在x∈R，使log2x＞0成立；(4)对任意m∈Z，都有m2－3＞0成立．[解](1)命题省略了全称量词“所有”，所以是全称命题；否定形式：有的对数函数不是单调函数．(2)命题含有存在量词“至少”，所以是特称命题；否定形式：所有整数不能被2整除或不能被5整除．(3)命题含有存在量词，所以是特称命题；否定形式：对任意x∈R，都有log2x≤0.(4)命题中含有全称量词“任意”，所以是全称命题；否定形式：存在m∈Z，使m2－3≤0成立．利用两种命题求参数的取值范围[探究问题]1．命题p：对任意的实数x，af(x)恒成立，该命题是什么命题？如何求实数a的取值范围？[提示]该命题是全称命题，求实数a的取值范围只要af(x)max即可．2．命题p：若存在一个实数x0，使af(x0)成立，该命题是什么命题？如何求实数a的取值范围？[提示]该命题是特称命题，求实数a的取值范围只要af(x)min即可．【例3】已知函数f(x)＝x2，g(x)＝12x－m，若对任意x1∈[－1，3]，存在x2∈[0，2]，使得f(x1)≥g(x2)，求实数m的取值范围．[思路探究]存在x2∈[0，2]，m≥12x2，只需m大于或等于12x2在[0，2]上的最小值即可．[解]因为x1∈[－1，3]，所以f(x1)∈[0，9]，又因为对任意x1∈[－1，3]，存在x2∈[0，2]，使得f(x1)≥g(x2)，即存在x2∈[0，2]，g(x2)≤0，即12x2－m≤0，所以m≥12x2，m≥122，即m≥14.1.(变条件)把题设条件“对任意x1∈[－1，3]，存在x2∈[0，2]，使得f(x1)≥g(x2)”换成“存在x1∈[－1，3]，对任意x2∈[0，2]，使得f(x1)≥g(x2)”，求实数m的取值范围．[解]因为x1∈[－1，3]，所以f(x1)∈[0，9]，又因为存在x1∈[－1，3]，对任意x2∈[0，2]，使得f(x1)≥g(x2)，即任意x2∈[0，2]，g(x2)≤9，即12x2－m≤9，所以m≥12x2－9，m≥120－9，即m≥－8.所以实数m的取值范围为[－8，＋∞)．2.(变条件)把题设条件“对任意x1∈[－1，3]，存在x2∈[0，2]，使得f(x1)≥g(x2)”换成“对任意x∈[0，2]，使得f(x)≥g(x)”，求实数m的取值范围．[解]对任意x∈[0，2]，使得f(x)≥g(x)等价于对任意x∈[0，2]x2≥12x－m，即m≥－x2＋12x恒成立，因为y＝－x2＋12x在[0，2]上为减函数，故－154≤－x2＋12x≤1，所以只需m≥1即可．即实数m的取值范围为[1，＋∞)．利用全称命题与特称命题求参数范围的两类题型1．全称命题的常见题型是“恒成立”问题，全称命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质；也可以根据函数等数学知识来解决．2．特称命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表达．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设．当堂达标固双基1．命题p：任意x∈R，x≥0的否定是()A．任意x∈R，x0B．存在x∈R，x≤0C．存在x∈R，x0D．任意x∈R，x≤0C[因为命题是全称命题，根据全称命题的否定是特称命题，所以命题的否定：存在x∈R，x0.故选C.]2．命题“存在实数x，使x1”的否定是()A．对任意实数x，都有x1B．不存在实数x，使x≤1C．对任意实数x，都有x≤1D．存在实数x，使x≤1C[利用特称命题的否定为全称命题可知，原命题的否定为：对于任意的实数x，都有x≤1.]3．给出下列四个命题：①梯形的对角线相等；②对任意实数x，均有x＋2x；③不存在实数x，使x2＋x＋10；④有些三角形不是等腰三角形．其中所有正确命题的序号为________．②③④[①中直角梯形的对角线不相等；②显然成立；③x2＋x＋1＝x＋122＋340，成立；④显然成立．]4．若“任意x∈0，π4，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．1[由题意，原命题等价于tanx≤m在区间0，π4上恒成立，即y＝tanx在0，π4上的最大值小于或等于m，又y＝tanx在0，π4上的最大值为1，所以m≥1，即m的最小值为1.]5．判断下列命题是否为全称命题或特称命题，若是，用符号表示，并判断其真假．(1)对任意实数α，有sin2α＋cos2α＝1；(2)存在一条直线，其斜率不存在；(3)对所有的实数a，b，方程ax＋b＝0都有唯一解；(4)存在实数x0，使得1x20－x0＋1＝2.[解](1)是全称命题，用符号表示为“α∈R，sin2α＋cos2α＝1”，是真命题．(2)是特称命题，用符号表示为“l，l的斜率不存在”，是真命题．(3)是全称命题，用符号表示为“a，b∈R，方程ax＋b＝0都有唯一解”，是假命题．(4)是特称命题，用符号表示为“x0∈R，1x20－x0＋1＝2”，是假命题．