2019-2020学年高中数学 第1章 不等式的基本性质和证明的基本方法 1.2 基本不等式课件 新

第一章不等式的基本性质和证明的基本方法1.2基本不等式学习目标：1.理解两个正数的基本不等式.2.了解三个正数和一般形式的基本不等式.3.会用基本不等式求一些函数的最值及实际应用题．自主预习探新知教材整理基本定理(重要不等式及基本不等式)1．定理1设a，b∈R，则a2＋b22ab，当且仅当时，等号成立．2．定理2如果a，b为数，则a＋b2ab，当且仅当ab时，等号成立．这个不等式我们称之为基本不等式或平均值不等式．同时，我们称a＋b2为正数a，b的平均值，称ab为正数a，b的平均值，该定理又可叙述为：两个正数的算术平均值它们的几何平均值．≥a＝b正≥＝算术几何大于或等于教材整理基本定理(重要不等式及基本不等式)3．定理3如果a，b，c为，则a＋b＋c3≥3abc，当且仅当_________时，等号成立．4．定理4如果a1，a2，…，an为n个，则a1＋a2＋…＋annna1a2…an，当且仅当时，等号成立．正数a＝b＝c正数≥a1＝a2＝…＝an设0ab，则下列不等式中正确的是()A．ababa＋b2B．aaba＋b2bC．aabba＋b2D.abaa＋b2b[解析]∵0ab，∴aa＋b2b，A，C错误；ab－a＝a(b－a)0，即aba，故选B.[答案]B合作探究提素养利用基本不等式证明不等式【例1】已知a，b，c都是正数，求证：a2b＋b2c＋c2a≥a＋b＋c.[精彩点拨]观察不等号两边差异，利用基本不等式来构造关系．[自主解答]∵a0，b0，c0，∴a2b＋b≥2a2b·b＝2a，同理：b2c＋c≥2b，c2a＋a≥2c.三式相加得：a2b＋b2c＋c2a＋(b＋c＋a)≥2(a＋b＋c)，∴a2b＋b2c＋c2a≥a＋b＋c.1．首先根据不等式两端的结构特点进行恒等变形，或配凑使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式或其变形进行证明．2．当且仅当a＝b＝c时，上述不等式中“等号”成立，若三个式子中有一个“＝”号取不到，则三式相加所得的式子中“＝”号取不到．1．(2019·全国卷Ⅰ)已知a，b，c为正数，且满足abc＝1.证明：(1)1a＋1b＋1c≤a2＋b2＋c2；(2)(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.[证明](1)因为a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，又abc＝1，故有a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca＝ab＋bc＋caabc＝1a＋1b＋1c.所以1a＋1b＋1c≤a2＋b2＋c2.(2)因为a，b，c为正数且abc＝1，故有(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥33a＋b3b＋c3a＋c3＝3(a＋b)(b＋c)(a＋c)≥3×(2ab)×(2bc)×(2ac)＝24，所以(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.利用基本不等式求最值【例2】(1)已知x，y∈R＋，且x＋2y＝1，求1x＋1y的最小值；(2)已知x0，y0，且5x＋7y＝20，求xy的最大值．[精彩点拨]根据题设条件，合理变形，创造能用基本不等式的条件．[自主解答](1)因为x＋2y＝1，所以1x＋1y＝x＋2yx＋x＋2yy＝3＋2yx＋xy≥3＋22yx·xy＝3＋22，当且仅当2yx＝xy，x＋2y＝1，即x＝2－1，y＝1－22时，等号成立．所以当x＝2－1，y＝1－22时，1x＋1y取最小值3＋22.(2)xy＝135(5x·7y)≤1355x＋7y22＝1352022＝207，当且仅当5x＝7y＝10，即x＝2，y＝107时，等号成立，此时xy取最大值207.在求最值时，除了注意“一正、二定、三相等”之外，还要掌握配项、凑系数等变形技巧，有时为了便于应用公式，还用换元法，多用于分母中有根式的情况．2．若将本例(1)的条件改为“已知x0，y0，且1x＋9y＝1”，试求x＋y的最小值．[解]∵x0，y0，且1x＋9y＝1，∴x＋y＝(x＋y)1x＋9y＝yx＋9xy＋10≥2yx·9xy＋10＝16.当且仅当yx＝9xy，即y＝3x时等号成立．又1x＋9y＝1，∴当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.基本不等式的实际应用【例3】某厂家拟举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x＝3－km＋1(k为常数)，如果不搞促销活动，该产品的年销售量只能是1万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为年平均每件产品成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)．(1)将该产品的年利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；(2)该厂家的年促销费用投入为多少万元时，厂家的年利润最大？最大年利润是多少万元？[精彩点拨](1)可先通过m＝0时，x＝1求出常数k，再根据条件列出y关于m的函数；(2)在(1)的函数关系式下，利用基本不等式求最值．[自主解答](1)依题意得m＝0时，x＝1，代入x＝3－km＋1，得k＝2，即x＝3－2m＋1.年成本为8＋16x＝8＋163－2m＋1(万元)，所以y＝(1.5－1)8＋163－2m＋1－m＝28－m－16m＋1(m≥0)．(2)由(1)得y＝29－m＋1＋16m＋1≤29－2m＋1·16m＋1＝21.当且仅当m＋1＝16m＋1，即m＝3时，厂家的年利润最大，为21万元．设出变量――→建立数学模型――→定义域利用均值不等式求最值――――→“＝”成立的条件结论3．某工厂建一底面为矩形(如图)，面积为162m2，且深为1m的无盖长方体的三级污水池，由于受地形限制，底面的长和宽都不能超过16m，如果池外围四壁建造单价为400元/m2，中间两条隔墙建造单价为248元/m2，池底建造单价为80元/m2，试设计污水池的长和宽，使总造价最低．[解]设污水池的宽为xm，则长为162xm，则总造价f(x)＝400×2x＋2×162x＋248×2x＋80×162＝1296x＋1296×100x＋12960＝1296x＋100x＋12960.由限制条件，知0＜x≤16，0＜162x≤16，得818≤x≤16.设g(x)＝x＋100x818≤x≤16，因为g(x)在818，16上是增函数，所以当x＝818时此时162x＝16，g(x)有最小值，即f(x)有最小值，f(x)min＝1296×818＋80081＋12960＝38882(元)．所以当长为16m，宽为818m时，总造价最低，为38882元.基本不等式的特点[探究问题]1．在基本不等式a＋b2≥ab中，为什么要求a0，b0?[提示]对于不等式a＋b2≥ab，如果a，b中有两个或一个为0，虽然不等式仍成立，但是研究的意义不大，当a，b都为负数时，不等式不成立；当a，b中有一个为负数，另一个为正数，不等式无意义．2．你能给出基本不等式的几何解释吗？[提示]如图，以a＋b为直径的圆中，DC＝ab，且DC⊥AB.因为CD为圆的半弦，OD为圆的半径，长为a＋b2，根据半弦长不大于半径，得不等式ab≤a＋b2.显然，上述不等式当且仅当点C与圆心重合，即当a＝b时，等号成立．因此，基本不等式的几何意义是：圆的半弦长不大于半径；或直角三角形斜边的中线不小于斜边上的高．3．利用基本不等式，怎样求函数的最大值或最小值？[提示]利用算术平均数与几何平均数定理(即基本不等式)可以求函数的最大值、最小值．(1)已知x，y∈(0，＋∞)，如果积xy是定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2P.(2)已知x，y∈(0，＋∞)，如果和x＋y是定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值14S2.以上两条可简记作：和一定，相等时，积最大；积一定，相等时，和最小．条件满足：“一正、二定、三相等”．【例4】求下列函数的值域．(1)y＝x2＋12x；(2)y＝2xx2＋1.[精彩点拨]把函数转化为y＝ax＋bx或y＝1ax＋bx的形式，再利用基本不等式求解．[自主解答](1)y＝x2＋12x＝12x＋1x，当x＞0时，x＋1x≥2，∴y≥1；当x＜0时，－x＞0，－x＋1－x≥2，x＋1x≤－2，∴y≤－1，综上函数y＝x2＋12x的值域为{y|y≤－1或y≥1}．(2)当x＞0时，y＝2xx2＋1＝2x＋1x.因为x＋1x≥2，所以0＜1x＋1x≤12，所以0＜y≤1，当且仅当x＝1时，等号成立；当x＜0时，x＋1x≤－2，所以0＞1x＋1x≥－12，所以－1≤y＜0，当且仅当x＝－1时，等号成立；当x＝0时，y＝0.综上，函数y＝2xx2＋1的值域为{y|－1≤y≤1}．形如y＝cx2＋ex＋fax＋b型的函数，一般可先通过配凑或变量替换等变形为y＝t＋Pt＋C(P，C为常数)型函数，再利用基本不等式求最值，但要注意变量t的取值范围．4．求函数y＝x2＋8x－1(x＞1)的最小值．[解]因为x＞1，所以x－1＞0.所以y＝x2＋8x－1＝x－12＋2x＋7x－1＝x－12＋2x－1＋9x－1＝(x－1)＋9x－1＋2≥2x－1·9x－1＋2＝8，当且仅当x－1＝9x－1，即x＝4时，等号成立．所以当x＝4时，ymin＝8.当堂达标固双基1．函数y＝1x－3＋x(x3)的最小值是()A．5B．4C．3D．2[解析]原式变形为y＝1x－3＋x－3＋3.∵x3，∴x－30，∴1x－30，∴y≥2x－3·1x－3＋3＝5，当且仅当x－3＝1x－3，即x＝4时等号成立．[答案]A2．下列函数中最小值为4的是()A．y＝x＋4xB．y＝sinx＋4sinx(0＜x＜π)C．y＝3x＋4×3－xD．y＝lgx＋4logx10[解析]A项，当x＜0时，y＝x＋4x＜0，故A项错误；B项，当0＜x＜π时，sinx＞0，∴y＝sinx＋4sinx≥2sinx·4sinx＝4，当且仅当sinx＝4sinx，即sinx＝2时取等号，但sinx≤1，B项错误；C项，由指数函数的性质可得3x＞0，所以y＝3x＋4·3－x≥24＝4，当且仅当3x＝2，即x＝log32时取得最小值4，故C项正确；D项，当0＜x＜1时，lgx＜0，logx10＜0，所以y＝lgx＋4logx10＜0，故D项错误．[答案]C3．若a，b∈R，且ab0，则下列不等式中，恒成立的是()A．a2＋b22abB．a＋b≥2abC．1a＋1b2abD．ba＋ab≥2[解析]A选项中，当a＝b时，a2＋b2＝2ab，则排除A；当a0，b0时，a＋b02ab，1a＋1b02ab，则排除B，C选项；D选项中，由ba0，ab0，得ba＋ab≥2ba·ab＝2，当且仅当a＝b时取“＝”，所以选D.[答案]D4．不等式ba＋ab2成立的充要条件是________．[解析]由ba＋ab2，知ba0，即ab0，又ba≠ab，∴a≠b.因此ba＋ab2的充要条件是ab0且a≠b.[答案]ab0且a≠b5．(2019·全国卷Ⅲ)设x，y，z∈R，且x＋y＋z＝1.(1)求(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2的最小值；(2)若(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2≥13成立，证明：a≤－3或a≥－1.[解](1)由于[(x－1)＋(y＋1)＋(z＋1)]2＝(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2＋2[(x－1)(y＋1)＋(y＋1)(z＋1)＋(z＋1)(x－1)]≤3[(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2]，故由已知得(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2≥43，当且仅当x＝53，y＝－13，z＝－13时等号成立．所以(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2的最小值为43.(2)证