2019-2020学年高中数学 第1讲 坐标系 第4课时 极坐标和直角坐标的互化课件 新人教A版选修

第4课时极坐标和直角坐标的互化极坐标与直角坐标的互化平面内任意一点P的直角坐标与极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则x＝ρcosθ，y＝ρsinθ⇔ρ2＝x2＋y2，tanθ＝yxx≠0.直角坐标化为极坐标时，通常有不同的表示方法，极角可取__________________，即(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)．一般确定θ时，根据点所在象限取最小正角，即ρ≥0，0≤θ＜2π．相差2π的整数倍1．在满足直角坐标与极坐标互化的条件下，点P2，π3的直角坐标是()A．(3，1)B．(1，3)C．(2，2)D．(1，2)【答案】B【解析】利用互化公式x＝ρcosθ＝2·cosπ3＝1，y＝ρsinθ＝2·sinπ3＝3.2．在满足直角坐标与极坐标互化的条件下，点P(1，－1)的极坐标是()A．2，π4B．2，3π4C．2，5π4D．2，7π4【答案】D【解析】利用互化公式ρ2＝x2＋y2＝2，tanθ＝yx＝－1得ρ＝2.又点P在第四象限，故θ可取7π4．3.在满足直角坐标与极坐标互化的条件下，点P4，－π4关于极点对称的点的直角坐标为______．【答案】(－22，22)【解析】点P4，－π4关于极点对称的点为P′－4，－π4，代入公式x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得直角坐标为－22，22．4．已知P5，23π，O为极点，求使△POP′是正三角形的P′点坐标．【解析】设P′(ρ，θ)，因为是正三角形，所以ρ＝5.又∠POP′＝π3，利用图象可得θ＝π3或θ＝π，如图．∴P′5，π3或P′(5，π)．【例1】已知点的极坐标分别为A3，π4，B2，2π3，C(4，－π)，求这些点的直角坐标．【解题探究】已知点的极坐标实际上就是知道了ρ，θ的值，代入公式x＝ρcosθ，y＝ρsinθ求出x，y的值．极坐标化为直角坐标【解析】对于A点，ρ＝3，θ＝π4，得x＝ρcosθ＝3·cosπ4＝322，y＝ρsinθ＝3·sinπ4＝322.∴A点的直角坐标为322，322．对于B点，ρ＝2，θ＝2π3，得x＝ρcosθ＝2·cos2π3＝－1，y＝ρsinθ＝2·sin2π3＝3.∴B点的直角坐标为(－1，3)．对于C点，ρ＝4，θ＝－π，得x＝ρcosθ＝4·cos－π＝－4，y＝ρsinθ＝4·sin－π＝0.∴C点的直角坐标为(－4,0)．极坐标化为直角坐标较为简单，只需直接代入公式求出x，y的值即可．1．已知点的极坐标分别为M4，π2，N(2，π)，求它们的直角坐标．【解析】对于M点，ρ＝4，θ＝π2，得x＝ρcosθ＝4·cosπ2＝0，y＝ρsinθ＝4·sinπ2＝4，∴M点的直角坐标为(0,4)．对于N点，ρ＝2，θ＝π，得x＝ρcosθ＝2cosπ＝－2，y＝ρsinθ＝2sinπ＝0，∴N点的直角坐标为(－2,0)．【例2】已知直角坐标系中的点分别为A(3，3)，B(－2，－23)，C0，－53，求这些点的极坐标．直角坐标化为极坐标【解题探究】已知点的直角坐标实际上就是知道了x，y的值，代入公式ρ2＝x2＋y2，tanθ＝yx求出ρ，θ的值．【解析】对于A点，x＝3，y＝3，代入公式ρ2＝x2＋y2＝12，得ρ＝23，tanθ＝yx＝33，又点A在第一象限，∴θ＝π6.∴A点的极坐标为23，π6．对于B点，x＝－2，y＝－23，代入公式ρ2＝x2＋y2＝16，得ρ＝4，tanθ＝yx＝3，又点A在第三象限，∴θ＝4π3.∴B点的极坐标为4，4π3．对于C点，x＝0，y＝－53，代入公式ρ2＝x2＋y2＝59，得ρ＝53，∵x＝0，y＜0，∴点A在y轴负半轴．∴θ＝3π2.∴C点的极坐标为53，3π2．已知点的直角坐标求极坐标时，一般取ρ≥0，关键是确定θ的值，此时要注意点在哪一个象限或坐标轴上，以及0≤θ＜2π．2．已知直角坐标系中的点E32，0，求E的极坐标．【解析】对于E点，x＝32，y＝0，代入公式ρ2＝x2＋y2＝94，得ρ＝32，tanθ＝0，点E在x正半轴．∴θ＝0.∴E点的极坐标为32，0．【例3】在极坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A5，π2，B8，5π6，C3，7π6，判断△ABC的形状．【解题探究】由极坐标和直角坐标互化公式求出三个顶点的直角坐标，求出其边长即可．极坐标下的几何问题【解析】利用极坐标与直角坐标互化公式可得A，B，C的直角坐标分别为A(0,5)，B(－43，4)，C－332，－32，利用两点间距离公式可得AB＝7，BC＝7，AC＝7，∴△ABC为等边三角形．也可不用转化为直角坐标，直接利用极坐标系中两点间距离公式，求出三边长即可．3．在极坐标系中，已知A2，π6，B4，5π6，求A，B两点之间的距离．【解析】对于2，π6，x＝2cosπ6＝3，y＝2sinπ6＝1，∴A(3，1)．对于4，56π，x＝4cos56π＝－23，y＝4sin56π＝2，∴B(－23，2)．由两点间的距离公式可得|AB|＝3＋232＋1－22＝27.∴A，B两点之间的距离为27．1．极坐标与直角坐标的互化的前提条件：(1)极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；(2)极轴与x轴的正半轴重合；(3)两坐标系中取相同的长度单位．2．极坐标与直角坐标互化的常用方法：代入法，平方法，两边同乘以或除以ρ等．3．当x≠0时，θ角才能由tanθ＝yx确定．当x＝0时，tanθ没有意义．可分三种情况：(1)当x＝0，y＝0时，θ可取任何值；(2)当x＝0，y＞0时，可取θ＝π2；(3)当x＝0，y＜0时，可取θ＝3π2．