2019-2020学年高中数学 第1讲 相似三角形的判定及有关性质讲末复习与小结课件 新人教A版选修

讲末复习与小结一、知识结构(一)平行线等分线段定理1．平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．2．推论1：经过三角形一边的中点与另外一边平行的直线必平分第三边．3．推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰．二、要点提示(二)平行线分线段成比例定理1．平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．2．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．3．比例的性质(1)比例的基本性质：若bd≠0，则ab＝cd⇔ad＝bc.特殊地，若bc≠0，则ab＝bc⇔b2＝ac，其中b叫做a和c的比例中项．(2)合比性质：ab＝cd⇔a＋bb＝c＋dd，ab＝cd⇔a－bb＝c－dd.(3)等比性质：ab＝cd＝…＝mn⇒a＋c＋…＋mb＋d＋…＋n＝mn(b＋d＋…＋n≠0)．4．黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC，且使AC2＝AB·BC，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC＝5－12AB≈0.618AB．(三)相似三角形的判定及性质1．相似三角形的判定(1)相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形．相似三角形对应边的比值叫做相似比(或相似系数)．(2)预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．(3)判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．(4)判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．(5)引理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．(6)判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．(7)两个直角三角形相似的判定定理：①如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似；②如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似；③如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．2．相似三角形的性质(1)相似三角形的性质定理：①相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；②相似三角形周长的比等于相似比；③相似三角形面积的比等于相似比的平方．(2)两个相似三角形的外接圆的直径比、周长比、面积比与相似比的关系：两个相似三角形的外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方．(3)两个相似三角形的内切圆的直径比、周长比、面积比与相似比的关系：两个相似三角形的内切圆的直径比、周长比等于相似比，内切圆的面积比等于相似比的平方．(四)直角三角形的射影定理1．射影的有关概念(1)从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影．(2)一条线段的两个端点在一条直线上的正射影之间的线段，叫做这条线段在这条直线上的正射影．(3)点和线段的正射影简称为射影．2．直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上的射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上的射影与斜边的比例中项．【例1】如图所示，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，E是CD的中点，EF∥BC交AB于点F，FG∥BD交AD于点G.求证：AG＝DG.三、题型探究【解题探究】要证明AG＝DG，只要证明G是AD的中点即可．因为FG∥BD，所以只要证明F是AB的中点．又AD∥BC，EF∥BC，E是CD的中点，所以由平行线等分线段定理，问题得证．【规范解答】因为AD∥BC，EF∥BC，所以AD∥BC∥EF.又E是CD的中点，所以由平行线等分线段定理，知F是AB的中点．又因为FG∥BD，所以G是AD的中点．所以AG＝DG.本题的关键是利用平行线等分线段定理，先证明F是AB的中点，再证明G是AD的中点．【例2】如图所示，已知平面α∥平面β，点P是平面α，β外一点，且直线PAB，PCD分别与平面α，β相交于A，B，C，D四点．(1)求证：AC∥BD；(2)若PA＝4cm，AB＝5cm，PC＝3cm，求PD的长．【解题探究】(1)利用立体几何中的面面平行的性质定理“两个平行平面和第三个平面相交，则交线平行”，可证AC∥BD；(2)在△PBD中，因为AC∥BD，所以由平行线分线段成比例定理，可得PAAB＝PCCD，从而求出CD，PD．【规范解答】(1)因为平面α∥平面β，且平面PBD∩α＝AC，平面PBD∩β＝BD，所以由面面平行的性质定理，得AC∥BD．(2)在△PBD中，因为AC∥BD，所以由平行线分线段成比例定理，得PAAB＝PCCD.又因为PA＝4cm，AB＝5cm，PC＝3cm，所以45＝3CD，解得CD＝154cm.所以PD＝PC＋CD＝3＋154＝274(cm)．本题将立体几何与平面几何的知识相结合，第(1)问主要考查立体几何中面面平行的性质定理，第(2)问主要考查平面几何中平行线分线段成比例定理．【例3】如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，CD＝2，E，F分别是AD，BC上的点，且EF＝3，EF∥AB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为______．【解题探究】本题可先作辅助线CG∥AD，然后在△CGB中，因为EF∥AB，所以HF∥GB，再利用相似三角形的性质定理，可推得F是BC边的中点，从而有EF是梯形ABCD的中位线，进而可求得梯形ABFE和梯形EFCD的面积．【规范解答】在梯形ABCD中，过点C作CG∥AD，分别交EF于点H，交AB于点G，则HF＝EF－EH＝3－2＝1，GB＝AB－AG＝4－2＝2.又因为EF∥AB，即HF∥GB，所以△CHF∽△CGB．所以CFCB＝HFGB＝12，即CF＝12CB．所以F是BC边的中点．所以EF是梯形ABCD的中位线．设梯形EFCD的高为h，则梯形ABFE的高也为h，所以S梯形ABFE＝AB＋EF·h2＝4＋3·h2＝72h，S梯形EFCD＝CD＋EF·h2＝2＋3·h2＝52h.所以S梯形ABFE∶S梯形EFCD＝72h∶52h＝7∶5.【答案】7∶5本题综合考查了相似三角形的性质定理、梯形中位线和梯形的面积等知识．【例4】如图所示，过圆O外一点M作它的一条切线，切点为A，过A点作直线AP垂直于直线OM，垂足为P.(1)求证：OM·OP＝OA2；(2)N为线段AP上一点，直线NB垂直于直线ON，且交圆O于点B，过B点的切线交直线ON于点K.求证：∠OKM＝90°.【解题探究】(1)在Rt△OMA中，利用射影定理证明即可；(2)可在Rt△OKB中利用射影定理证明．【规范解答】(1)因为MA是圆O的切线，所以OA⊥AM.又因为AP⊥OM，所以在Rt△OAM中，由射影定理，得OA2＝OM·OP.(2)如图所示，因为BK是圆O的切线，BN⊥OK，所以在Rt△OBK中，由射影定理，得OB2＝ON·OK.又OB＝OA，所以OM·OP＝ON·OK，即ONOP＝OMOK.又∠NOP＝∠MOK，所以△ONP∽△OMK.故∠OKM＝∠OPN＝90°.本题主要考查射影定理与圆的切线的性质，由于圆的切线与半径可围成直角三角形，因此常用射影定理来解．四、素质训练1．如图所示，AD是△ABC的高，E为AB的中点，EF⊥BC于点F，如果DC＝13BD，那么FC是BF的()A．53倍B．43倍C．32倍D．23【答案】A【解析】因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC．又因为EF⊥BC于点F，所以EF∥AD．又因为E为AB的中点，所以F为BD的中点．所以BF＝FD．又DC＝13BD，所以FC＝FD＋DC＝BF＋13BD＝BF＋13×(2BF)＝53BF.故选A．2．如图所示，正方形ABCD中，E为AB上的任一点，作EF⊥BD于点F，那么EFBE＝()A．22B．12C．63D．2【答案】A【解析】设正方形的边长为a，则BD＝2a.依题意，知△BEF∽△BDA，∴EFBE＝ADBD.∴EFBE＝ADBD＝a2a＝22.故选A．3．如图所示，把△ABC沿边AB平移到△A1B1C1的位置，它们的重叠部分(图中阴影部分)的面积是△ABC的面积的一半，若AB＝2，则此三角形移动的距离AA1是()A．12B．22C．1D．2－1【答案】D【解析】依题意，知△A1BD∽△ABC，∴S△A1BDS△ABC＝A1BAB2＝12⇒A1B＝12AB．又AB＝2，∴A1B＝12AB＝1.∴AA1＝AB－A1B＝2－1.故选D．4．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AD＝3，BD＝2，则AC∶BC＝()A．3∶2B．9∶4C．3∶2D．2∶3【答案】C【解析】∵AD＝3，BD＝2，∴AB＝AD＋BD＝3＋2＝5.由直角三角形的射影定理，得AC2＝AD·AB＝3×5＝15，BC2＝BD·AB＝2×5＝10，所以AC2BC2＝1510＝32⇒ACBC＝32，即AC∶BC＝3∶2.故选C．5．(2015年汕头模拟)如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，AE＝2，EC＝1，BC＝4，则BF＝________.【答案】43【解析】由题知DE∥BC，DF∥AC，∴BFBC＝BDAB＝ECAC.又∵AE＝2，EC＝1，BC＝4，∴BF4＝11＋2，∴BF＝43.6．三角形的周长扩大为原来的12倍，若形状不变，则面积为原来的________倍．【答案】144【解析】设原三角形的周长为l1，面积为S1，扩大后的三角形的周长为l2，面积为S2，则依题意，有l2＝12l1.由于原三角形和扩大后的三角形相似，所以由相似三角形的性质定理，得S1S2＝l1l22＝l112l12＝1144.所以S1S2＝1144，即S2＝144S1.7．(2015年广东)如图，已知AB是圆O的直径，AB＝4，EC是圆O的切线，切点为C，BC＝1.过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于点D和点P，则OD＝________.【答案】8【解析】连接OC，则OC⊥CD．∵AB是圆O的直径，∴BC⊥AC，OC＝12AB＝2.∵OP∥BC，∴OP⊥AC，OP＝12CB＝12.在Rt△OCD中，由射影定理可得OC2＝OP·OD，∴4＝12OD，∴OD＝8.8．(2016年达州模拟)如图所示，在□ABCD中，E是AB延长线上一点，DE交AC于点G，交BC于点F.求证：(1)DG2＝GE·GF；(2)CFCB＝ABAE.【答案】【证明】(1)在□ABCD中，∵CD∥AE，∴DGGE＝CGAG.∵AD∥CF，∴GFDG＝CGAG.∴DGGE＝GFDG，即DG2＝GE·GF.(2)∵BF∥AD，∴ABAE＝DFDE.∵CD∥BE，∴CFCB＝DFDE.∴CFCB＝ABAE