2019-2020学年高中数学 第1讲 相似三角形的判定及有关性质 第4课时 相似三角形的性质课件

第4课时相似三角形的性质1．相似三角形的性质定理：(1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于________；(2)相似三角形周长的比等于________；(3)相似三角形面积的比等于________________．相似比相似比相似比的平方2．两个相似三角形的外接圆的直径比、周长比、面积比与相似比的关系：两个相似三角形的外接圆的直径比、周长比等于________，外接圆的面积比等于______________．3．两个相似三角形的内切圆的直径比、周长比、面积比与相似比的关系：两个相似三角形的内切圆的直径比、周长比等于________，内切圆的面积比等于_____________．相似比相似比的平方相似比相似比的平方【答案】C1．如果两个相似三角形对应边的比为2∶3，那么这两个相似三角形面积的比是()A．2∶3B．2∶3C．4∶9D．8∶27【答案】C2．已知△ABC∽△A′B′C′且ABA′B′＝12，则S△ABC∶S△A′B′C′为()A．1∶2B．2∶1C．1∶4D．4∶1【答案】43．如图，∠A＝∠E，AB＝12BE，BD＝8，则BC＝______.4．如图，BD⊥AE，∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，AD＝3，则DE＝________，CE＝________.【答案】527【例1】如图所示，在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，△ABC的周长是24，面积是48，求△DEF的周长和面积．相似三角形的周长和面积【解题探究】由已知可证明△ABC∽△DEF，然后利用相似三角形的性质求解．【解析】在△ABC和△DEF中，∵AB＝2DE，AC＝2DF，∴DEAB＝DFAC＝12.又∠A＝∠D，∴△ABC∽△DEF且相似比为12.根据相似三角形周长的比等于相似比，得l△DEFl△ABC＝12，又l△ABC＝24，∴l△DEF＝12.同理，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，得S△DEFS△ABC＝122＝14，又S△ABC＝48，∴S△DEF＝14S△ABC＝14×48＝12.在求面积时，应注意相似三角形面积的比等于相似比的平方而非相似比，同时应注意比的顺序．1．(2014年广东)如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB＝2AE，AC与DE交于点F，则△CDF的面积△AEF的面积＝________.【答案】9【例2】如图所示，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3，在△A′B′C′中，最长边A′B′＝12且△ABC∽△A′B′C′.试求：(1)△ABC的内切圆和外接圆的面积；(2)△A′B′C′的内切圆和外接圆的面积．相似三角形的外接圆和内切圆【解题探究】因为两个三角形相似，故可利用相似三角形的性质解之．【解析】(1)在△ABC中，因为AB＝5，AC＝4，BC＝3，所以AB2＝AC2＋BC2.所以AC⊥BC．设△ABC的内切圆半径为r，外接圆半径为R，则S△ABC＝12×(3＋4＋5)r＝12·BC·AC⇒6r＝12×3×4⇒r＝1，R＝12AB＝52，设△ABC的内切圆和外接圆的面积分别为S内切圆，S外接圆，则S内切圆＝πr2＝π，S外接圆＝πR2＝π×522＝254π.(2)因为△ABC∽△A′B′C′，且△A′B′C′的最长边为A′B′＝12，所以相似比为ABA′B′＝512.设△A′B′C′的内切圆和外接圆的面积分别为S′内切圆，S′外接圆，则S内切圆S′内切圆＝5122⇒S′内切圆＝S内切圆×1252＝14425π，S外接圆S′外接圆＝5122⇒S′外接圆＝S外接圆×1252＝25π4×14425＝36π.在涉及相似三角形有关元素的计算时，利用相似三角形的性质定理往往可使解题过程简化．2．如图，在△ABC和△DBE中，ABDB＝BCBE＝ACDE＝53，则△ABC与△DBE外接圆面积比是______．【答案】25∶9【例3】如图所示，已知D是△ABC中AB边上一点，DE∥BC且交AC于点E，EF∥AB且交BC于点F，且S△ADE＝1，S△EFC＝4，试求四边形BFED的面积．相似三角形性质的应用【解题探究】本题由题意显然有△ADE∽△EFC，由面积比能得出相似比，再由相似比转化为面积比，从而得到四边形BFED的面积．【解析】因为DE∥BC，EF∥AB，所以∠AED＝∠C，∠A＝∠CEF.所以△ADE∽△EFC．因为S△ADE＝1，S△EFC＝4，所以S△ADES△EFC＝14＝AEEC2.所以相似比为AEEC＝12.所以AEAC＝13.又因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC．所以S△ADES△ABC＝AEAC2＝132＝19.又S△ADE＝1，所以S△ABC＝9.所以SBFED＝S△ABC－S△ADE－S△EFC＝9－1－4＝4.转化的思想在数学解题中有着广泛的应用．本题的关键是利用转化的思想把三角形的面积比与相似比进行相互转化．3．(2016年重庆模拟)如图，在△ABC中，BE∶EA＝1∶2，F是AC的中点，线段CE与BF交于点G，则△BEG的面积与△ABC的面积之比是______．【答案】1121．相似三角形的性质定理常用于：(1)计算边长、周长、面积等；(2)用来证明线段成比例、角相等．应用相似三角形的性质求周长、边长、面积等，常常结合方程的思想进行．2．在研究相似三角形的性质的时候，切记从相似入手即可，涉及线段的比均等于相似比，只有面积的比等于相似比的平方．3．在三角形中有平行于一边的直线时，通常考虑三角形相似，利用比例获得线段的长或三角形的面积．4．利用相似三角形的性质，可以解决某些实际问题，如测量物体的高度、余料的利用、材料的最优利用等问题．5．利用相似三角形性质解题时，关键在于求出相似比，具体的论证过程往往是相似三角形的判定定理和性质定理的综合运用．