2019-2020学年高中数学 第1讲 相似三角形的判定及有关性质 第3课时 相似三角形的判定课件

第3课时相似三角形的判定1．相似三角形的定义：对应角________，对应边______的两个三角形叫做相似三角形．相似三角形对应边的比值叫做相似比(或相似系数)．2．预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形________．相等成比例相似3．判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角________，那么这两个三角形相似．简述为：两角________，两三角形相似．4．判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边___________，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边____________且夹角________，两三角形相似．5．引理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线与三角形的第三边________．对应相等对应相等对应成比例对应成比例相等平行6．判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边____________，那么这两个三角形相似．简述为：三边__________，两三角形相似．7．两个直角三角形相似的判定定理：(1)如果两个直角三角形有一个锐角____________，那么它们相似；(2)如果两个直角三角形的两条直角边____________，那么它们相似；(3)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边____________，那么这两个直角三角形相似．对应成比例对应成比例对应相等对应成比例对应成比例1．如图，已知直线a∥b∥c，直线m，n与a，b，c分别交于点A，C，E，B，D，F，若AC＝4，CE＝6，BD＝3，则DF的值是()A．4B．4.5C．5D．5.5【答案】B【解析】∵直线a∥b∥c，AC＝4，CE＝6，BD＝3，∴ACCE＝BDDF，解得DF＝4.5.2．如图所示，AD∥EF∥BC，GH∥AB，则图中与△BOC相似的三角形有()A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】△AOD，△EOF，△HGC都与△BOC相似．【答案】C3．如图，已知AB，CD，EF都与BD垂直，垂足分别是B，D，F，且AB＝1，CD＝3，那么EF的长是()A．13B．23C．34D．45【解析】∵AB，CD，EF都与BD垂直，∴AB∥CD∥EF.∴△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD．∴EFAB＝DFDB，EFCD＝BFBD.∴EFAB＋EFCD＝DFDB＋BFBD＝BDBD＝1.又AB＝1，CD＝3，解得EF＝34.故选C．4．在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，DE∥AC．若BD＝4，DA＝2，BE＝3，则EC＝______.【答案】32【例1】如图所示，正方形ABCD的边长为1，P是CD边的中点，点Q在线段BC上，当△ADP与△PCQ相似时，求BQ的长．【解题探究】由两个三角形相似，可以建立边的比例式，通过比例式，求BQ的长．相似三角形的定义【解析】因为∠D＝∠C＝90°，所以△ADP与△PCQ均为直角三角形．(1)当△ADP∽△PCQ时，ADDP＝PCCQ，所以112＝12CQ⇒CQ＝14.所以BQ＝1－CQ＝1－14＝34.(2)当△ADP∽△QCP时，ADQC＝DPCP，所以1QC＝1212⇒QC＝1.所以BQ＝1－CQ＝1－1＝0.综上可知，当△ADP与△PCQ相似时，BQ＝0或34.利用相似三角形对应边成比例求线段的长，关键是找准对应顶点．在本题中，由正方形ABCD可知∠D＝∠C＝90°，构成的两个直角三角形相似，其对应顺序有两种可能，即△ADP∽△PCQ或△ADP∽△QCP，很容易忽视其中的一种情况．1．已知三角形ABC∽A1B1C1，AB＝2，A1B1＝4，AC＝3，B1C1＝8，则A1C1＝______，BC＝______.【答案】64【例2】如图所示，在△ABC中，点D在AB上，且DE∥BC交AC于点E，点F在AD上，且AD2＝AF·AB．求证：△AEF∽△ACD．相似三角形的判定【解题探究】要证△AEF∽△ACD，只需证AEAC＝AFAD，且∠A＝∠A．【证明】∵DE∥BC，∴ADAB＝AEAC.又∵AD2＝AF·AB，∴ADAB＝AFAD.∴AEAC＝AFAD.又∠A＝∠A，∴△AEF∽△ACD．本题的证明利用了判定定理2.当然，本题也可证明EF∥CD，利用定理“平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似”证明．2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD为角平分线．求证：△ABC∽△BCD．【证明】∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝72°.∵BD为角平分线，∴∠DBC＝12∠ABC＝36°＝∠A．又∠C＝∠C，∴△ABC∽△BCD．【例3】如图所示，∠ABC＝∠CDB＝90°，AC＝a，BC＝b，当BD与a，b之间满足怎样的关系式时，图中两个直角三角形相似？直角三角形相似的判定【解题探究】题目与边长有关，要使两个直角三角形相似，可以考虑使两个三角形的斜边和一条直角边对应成比例．由于条件没有给出相似三角形的对应关系，所以要分类讨论，即分△ABC∽△CDB和△ABC∽△BDC．【解析】∠ABC＝∠CDB＝90°.当ACBC＝BCBD时，△ABC∽△CDB，即ab＝bBD.∴当BD＝b2a时，△ABC∽△CDB．当ACBC＝ABBD时，△ABC∽△BDC，即ab＝a2－b2BD.∴当BD＝ba2－b2a时，△ABC∽△BDC．综上所述，当BD＝b2a或ba2－b2a时，图中两个直角三角形相似．判断两个直角三角形相似，可以在已有一个角(直角)对应相等的基础上寻找其他条件用一般三角形相似的判定方法来判断．还可以利用斜边和一条直角边对应成比例来判断．3．如图，△ABC中，CD是边AB上的高且ADCD＝CDBD.求证：△ACD∽△CBD．【证明】∵CD是边AB上的高，∴∠ADC＝∠CDB＝90°.∵ADCD＝CDBD，∴△ACD∽△CBD．1．全等三角形是相似比为1的两个相似三角形，是相似三角形的特殊情况．全等三角形的对应边相等，相似三角形的对应边成比例．2．判定定理1是判定两个三角形相似的基本方法之一，用其判定两个三角形相似十分方便．其中，对应角的找法：(1)对应边所对的角；(2)两对应边所夹的角；(3)公共角．3．引理的证明可用“同一法”，容易看出，引理实质上是平行线分线段成比例定理的推论的逆命题．4．应用判定定理3时，对应边的找法：(1)对应角所对的边；(2)两对应角所夹的边；(3)两最大角所对的边；(4)两最小角所对的边．5．由于直角三角形的特殊性，判断两个直角三角形相似较为简单，应首先考虑是否有一组锐角对应相等，然后再考虑两直角边是否对应成比例，最后考虑一条直角边与斜边的对应成比例问题．6．判定两个三角形相似，除定义外，一般有四种方法：预备定理和判定定理1,2,3.预备定理需要有平行的条件，三个判定定理的选择，一般是：先找两对内角相等；若只有一对内角相等，再找夹这个角的两边看是否成比例；若无角相等，再利用三边对应成比例．即方法选择为：判定定理1→判定定理2→判定定理3.7．解决相似问题时，利用好转化与化归的思想．某些看似与三角形相似无关的问题，经过仔细审题、观察以后，可通过转化所求未知量与相似三角形密切联系起来．