2019-2020学年高中数学 第1讲 不等式和绝对值不等式 第6课时 绝对值不等式的解法（二）课件

第6课时绝对值不等式的解法(二)解|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型绝对值不等式的关键是，根据绝对值的定义去掉_____________，将绝对值不等式转化为______________．绝对值符号不等式组1．不等式|x－1|＋|x－2|＞5的解集为()A．{x|x＜－1或x＞4}B．{x|x≤－1或x≥2}C．{x|x≤1}D．{x|x≥2}【答案】A【解析】取x＝2代入验证，B、D不合题意，取x＝1代入验证C不合题意．2．不等式|x＋2|＋|x－1|＜4的解集为()A．{x|x≤－2}B．{x|x≥1}C．{x|－2≤x≤1}D.x－52＜x＜32【答案】D【解析】显然x＝1成立，排除A，取x＝－2.1不等式成立，排除B，C．3．已知|1－x|＋x2－4x＋4＝1，则x的取值范围为______________．【答案】[1,2]【解析】∵|1－x|＋x2－4x＋4＝|x－1|＋|x－2|＝1，∴x－1≥0，x－2≤0，故1≤x≤2.4．解不等式2|x|－3＜|x|＋1.【解析】由|2|x|－3|＜|x|＋1得－|x|－1＜2|x|－3＜|x|＋1，即23＜|x|＜4，所以23＜x＜4或－4＜x＜－23.故不等式的解集为－4，－23∪23，4.【例1】解不等式|x－3|＋|x＋2|≥7.【解题探究】解含绝对值的不等式，关键是去掉绝对值，此类问题主要是分区求解．解|x－a|＋|x－b|≥c型绝对值不等式【解析】当x≤－2时，有－x＋3－x－2≥7，即x≤－3，所以x≤－3.当－2＜x＜3时，有x＋2＋3－x≥7，即5≥7，所以x∈∅.当x≥3时，有x－3＋x＋2≥7，即x≥4，所以x≥4.综上，不等式的解集为(－∞，－3]∪[4，＋∞)．合理分区，规范表达是做对做全的保证，该类问题还可以利用函数y＝|x－3|＋|x＋2|的图象及数轴等求解．1．(2016年新课标Ⅰ)已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.(1)在图中画出y＝f(x)的图象；(2)求不等式|f(x)|＞1的解集．【解析】(1)f(x)＝x－4，x≤－1，3x－2，－1＜x＜32，4－x，x≥32，由分段函数的图象画法，f(x)的图象如图所示．(2)由|f(x)|＞1，可得当x≤－1时，|x－4|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x≤－1；当－1＜x＜32时，|3x－2|＞1，解得x＞1或x＜13，即有－1＜x＜13或1＜x＜32；当x≥32时，|4－x|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x＞5或32≤x＜3.综上可得，x＜13或1＜x＜3或x＞5.则|f(x)|＞1的解集为－∞，13∪(1,3)∪(5，＋∞)．【例2】解不等式|x|＋|x－2|＜2.【解题探究】基本方法与例1相同，注意处理好端点．【解析】当x≤0时，有－x－x＋2＜2，即x＞0，所以x∈∅.当0＜x＜2时，有x＋2－x＜2，即2＜2，所以x∈∅.当x≥2时，有x＋x－2＜2，即x＜2，所以x∈∅.综上，不等式的解集为∅.解|x－a|＋|x－b|≤c型绝对值不等式正确分区，规范表达，注意端点和方向．2．解不等式|x＋1|＋|x－2|≤5.【解析】|x＋1|＋|x－2|≤5当x≤－1时，有－(x＋1)－(x－2)≤5，解得x≥－2，即－2≤x≤－1；当－1＜x＜2时，有(x＋1)－(x－2)≤5，即3≤5恒成立，则－1＜x＜2；当x≥2时，有(x＋1)＋(x－2)≤5，解得x≤3，即2≤x≤3.综上，不等式的解集为[－2,3]．【例3】已知不等式|x＋2|－|x＋3|＞m.(1)若不等式有解，求m的取值范围；(2)若不等式的解集为R，求m的取值范围；(3)若不等式的解集为∅，求m的取值范围．【解题探究】关键是求出|x＋2|－|x＋3|的最大值和最小值，再分别写出三种情况下m的范围．解含参数的绝对值不等式【解析】∵||x＋2|－|x＋3||≤|(x＋2)－(x＋3)|＝1，∴－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1.(1)要使不等式有解，只需m＜1.(2)要使不等式的解集为R，只需m＜－1.(3)要使不等式的解集为∅，只需m≥1.问题(1)是存在性问题，只要求存在满足条件的x即可；不等式解集为R或为空集时，都属于恒成立问题．f(x)＜a恒成立⇔f(x)max＜a；f(x)＞a恒成立⇔f(x)min＞A．3.(2018年南昌模拟)已知函数f(x)＝|2x－a|＋|x－1|，a∈R.(1)若不等式f(x)≤2－|x－1|有解，求实数a的取值范围；(2)当a2时，函数f(x)的最小值为3，求实数a的值.【解析】(1)由f(x)≤2－|x－1|，得x－a2＋|x－1|≤1.由绝对值的几何意义，得x－a2＋|x－1|≥a2－1.由不等式f(x)≤2－|x－1|有解，得a2－1≤1，即0≤a≤4.∴实数a的取值范围是[0,4].(2)f(x)＝|2x－a|＋|x－1|.当a2，即a21时，f(x)＝∴f(x)min＝fa2＝－a2＋1＝3，解得a＝－42，符合题意.∴a＝－4.解|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型绝对值不等式的方法及一般步骤：零点分段法．第一步：令每个绝对值符号里的一次式为0，求出相应的根．第二步：把这些根由小到大排序，把数轴分为若干个区间．第三步：在所分区间上，根据绝对值的定义去掉绝对值符号，解所得的不等式组，得到在这个区间上的解集．第四步：这些解集的并集就是原不等式的解集．