2019-2020学年高中数学 第1讲 不等式和绝对值不等式 第2课时 基本不等式课件 新人教A版选

第2课时基本不等式1．基本不等式(1)如果a，b∈R，则a2＋b2≥______(当且仅当a＝b时取“＝”)；(2)如果a＞0，b＞0，则a＋b2≥______(当且仅当a＝b时取“＝”)．变式：ab≤________；a＋b22≤________.2ababa＋b22a2＋b222．几何平均数，算术平均数当a＞0，b＞0时，称______为两个正数a，b的算术平均数；称______为两个正数a，b的几何平均数；两个正数的____________不小于两个正数的______________．a＋b2ab算术平均数几何平均数1．在下列函数中，最小值是2的是()A．y＝x＋1xB．y＝sinx＋1sinx0＜x＜π2C．y＝x2＋2＋1x2＋2D．y＝2x＋2－x【答案】D【解析】∵2x＞0,2－x＞0，∴2x＋2－x≥22x·2－x＝2，当且仅当2x＝2－x即x＝0时取得最小值．2．(2016年乌鲁木齐模拟)已知x，y都是正数且xy＝1，则1x＋4y的最小值为()A．6B．5C．4D．3【答案】C【解析】∵x，y∈R＋且xy＝1，∴1x＋4y≥21x×4y＝24＝4，∴当且仅当x＝12，y＝2时，1x＋4y取最小值4.故选C．3．若关于x的方程9x＋(4＋a)·3x＋4＝0有解，则实数a的取值范围为______________．【答案】(－∞，－8]【解析】∵－(a＋4)＝9x＋43x＝3x＋43x≥4，∴a≤－8.4．设x，y∈(0，＋∞)且xy－(x＋y)＝1，求xy的取值范围．【解析】∵x＋y≥2xy，∴1＝xy－(x＋y)≤xy－2xy，即(xy)2－2xy－1≥0，解得xy≥2＋1或xy≤1－2(舍去)，∴xy≥3＋22(当且仅当x＝y＝1＋2时取等号)，故xy的取值范围是[3＋22，＋∞)．【例1】若正数a，b满足ab＝3＋a＋b，求a＋b的取值范围．【解题探究】注意观察已知条件，涉及两个正数的和与积，可考虑用基本不等式．用基本不等式求取值范围【解析】方法一：∵a＞0，b＞0，∴ab≤a＋b22，∴a＋b＋3≤a＋b22，即(a＋b)2－4(a＋b)－12≥0.∴a＋b≥6或a＋b≤－2(舍去)．故a＋b的取值范围为[6，＋∞)．方法二：由ab＝3＋a＋b解得b＝a＋3a－1＞0，∴a＞1，∴a＋b＝a＋a＋3a－1＝a＋a－1＋4a－1＝a－1＋4a－1＋2≥2a－1·4a－1＋2＝6，当且仅当a－1＝4a－1，即a＝3，b＝3时a＋b＝6，故a＋b的取值范围为[6，＋∞)．二元最值问题可利用基本不等式，也可以通过代入消元将二元问题转化为一元求值问题．1．若正数x，y满足3x＋2y＝12，求xy的取值范围．【解析】方法一：∵3x＋2y＝12，∴xy＝16·3x·2y≤16×3x＋2y22＝6.又x＞0，y＞0，∴xy＞0.故xy的取值范围是(0,6]．方法二：∵3x＋2y＝12，∴y＝6－32x.又y＞0，∴y＝6－32x＞0，解得x＜4，即0＜x＜4.则xy＝x6－32x＝－32(x－2)2＋6，x∈(0,4)，∴xy∈(0,6]．用基本不等式求最值【例2】函数y＝loga(x＋3)－1(a＞0，a≠1)的图象过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn＞0，求1m＋2n的最小值．【解题探究】合理转化，抓住实质，利用基本不等式．【解析】令x＋3＝1，则x＝－2，y＝－1，∴A(－2，－1)．∵点A在直线mx＋ny＋1＝0上，∴－2m－n＋1＝0，∴2m＋n＝1，∴1m＋2n＝(2m＋n)1m＋2n＝4＋nm＋4mn≥4＋2nm·4mn＝8.∴1m＋2n≥8.当且仅当m＝n2＝14，即m＝14，n＝12时取等号，故1m＋2n的最小值为8.如果ax＋by与cx＋dy中有一项为定值，求另一项的最值，通常采取配乘的方法(ax＋by)·cx＋dy，然后展开，再利用基本不等式，以保证能取等号．2．若正数x，y满足x＋3y＝5xy，求3x＋4y的最小值．【解析】由x＋3y＝5xy得15y＋35x＝1(其中x＞0，y＞0)，所以3x＋4y＝(3x＋4y)15y＋35x＝135＋3x5y＋12y5x≥135＋23x5y·12y5x＝5，当且仅当3x5y＝12y5x，即x＝2y＝1时取等号．故3x＋4y的最小值为5.用基本不等式解决恒成立问题【例3】已知a＞b＞c，且1a－b＋1b－c≥ma－c恒成立，求实数m的取值范围．【解题探究】关键是变形后求(a－c)1a－b＋1b－c的最值．【解析】由a＞b＞c，得a－b＞0，b－c＞0，a－c＞0，由1a－b＋1b－c≥ma－c得m≤(a－c)1a－b＋1b－c.又(a－c)1a－b＋1b－c＝[(a－b)＋(b－c)]1a－b＋1b－c≥2a－bb－c·21a－b·1b－c＝4.当且仅当a－b＝b－c即b＝a＋c2时取等号，故实数m的取值范围为(－∞，4]．首先要分解变量，使不等式变为m≤(a－c)·1a－b＋1b－c，然后再求(a－c)1a－b＋1b－c的最值，从而确定m的范围．3．已知不等式x＋y≤ax＋y对一切x＞0，y＞0恒成立，求实数a的取值范围．【解析】不等式x＋y≤ax＋y等价为a≥x＋yx＋y恒成立．设m＝x＋yx＋y，则m2＝x＋y＋2xyx＋y＝1＋2xyx＋y≤1＋2xy2xy＝2，当且仅当x＝y时取等号．∴m2≤2，即0≤m≤2.∵a≥x＋yx＋y恒成立，∴a≥2.∴实数a的取值范围是[2，＋∞)．1．(1)学习时注意不等式左右两边的结构特征：平方和、积、和；利用基本不等式可以使“和式”和“积式”相互转化；(2)创造应用均值不等式的条件，合理拆添项或配凑因式是常用的解题技巧，而拆与凑的前提在于使等号能够成立．2．“和定积最大，积定和最小”；应用时要注意三方面“一正、二定、三相等”．