2020年湖南省普通高中学业水平考试数学试题(解析版)

第1页共11页2020年湖南省普通高中学业水平考试数学试题一、单选题1．如图所示的几何体是（）A．圆锥B．棱锥C．圆台D．棱柱【答案】D【解析】分析几何体的结构，可得出合适的选项.【详解】由图形可知，该几何体有两个面平行且全等，侧棱平行且相等，故该几何体为棱柱.故选：D.【点睛】本题考查几何体的识别，属于基础题.2．已知向量2,1ar，11b,，若,2abx，则x（）A．0B．1C．2D．3【答案】B【解析】根据平面向量的坐标运算可求得x的值.【详解】已知向量2,1ar，11b,，则1,2,2abx，因此，1x.故选：B.【点睛】本题考查利用平面向量的坐标运算求参数的值，考查计算能力，属于基础题.3．圆C:x2+y2=1的面积是（）A．4B．2C．πD．2π【答案】C【解析】根据圆的方程即可知圆的半径，由圆的面积公式即可求其面积.第2页共11页【详解】由圆的方程知：圆C的半径为1，所以面积2Sr，故选：C【点睛】本题考查了圆的标准方程，由圆的方程求面积，属于简单题.4．盒子里装有大小相同的2个红球和1个白球，从中随机取出1个球，取到白球的概率是（）A．13B．12C．23D．1【答案】A【解析】直接由古典概型的概率公式求解即可【详解】解：由题意可知盒子里装有大小相同的红球和白球共3个，其中1个白球，所以从中随机取出1个球，取到白球的概率是13,故选：A【点睛】此题考查古典概型的概率的计算，属于基础题5．要得到函数y=1+sinx的图象，只需将函数y=sinx的图象（）A．向上平移1个单位长度B．向下平移1个单位长度C．向右平移1个单位长度D．向左平移1个单位长度【答案】A【解析】由函数图象平移原则即可知如何平移y=sinx的图象得到y=1+sinx的图象.【详解】根据“左加右减，上加下减”的原则，将函数y=sinx的图象向上平移1个单位可得y=1+sinx的图象，故选：A.【点睛】本题考查了由平移前后的函数解析式描述图象变换过程，属于简单题.6．已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an，则a4=（）A．4B．8C．16D．32【答案】B【解析】由已知可得通项公式12nna-=，即可求a4的值.【详解】第3页共11页由题意an+1=2an可知，数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，故可得数列的通项公式为12nna-=，∴3428a，故选：B.【点睛】本题考查了等比数列，由定义法求等比数列通项公式，进而求项，属于简单题.7．已知函数2,0(),0xxfxxx，若f(0)=a，则f(a)=（）A．4B．2C．2D．0【答案】C【解析】先由f(0)=a，可得2a，从而可求出f(a)的值【详解】解：因为f(0)=a，代入分段函数中可得02a，得2a，所以()(2)2faf，故选：C【点睛】此题考查分段函数求值问题，属于基础题8．函数2sincosfxxx的最小正周期是（）A．2B．C．2D．4【答案】B【解析】利用二倍角的正弦公式化简函数fx的解析式，利用正弦型函数的周期公式可求得结果.【详解】2sincossin2fxxxx，所以，函数fx的最小正周期为22T.故选：B.【点睛】本题考查正弦型函数周期的求解，同时也考查了二倍角正弦公式的应用，考查计算能力，属于基础题.9．用12cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形，则这个矩形的面积是（）第4页共11页A．3cm2B．6cm2C．9cm2D．12cm2【答案】C【解析】由已知可得6xy，而矩形的面积Sxy，应用基本不等式即可求矩形的最大面积.【详解】设矩形的长、宽分别为,xycm，则有2()12xy，即6xy，∵矩形的面积Sxy，∴2()94xySxycm2，当且仅当3xy时等号成立，故选：C【点睛】本题考查了基本不等式的应用，由和定求积的最大值，属于简单题.10．已知定义在[3,3]上的函数y=f(x)的图象如图所示.下述四个结论:①函数y=f(x)的值域为[2,2]②函数y=f(x)的单调递减区间为[1,1]③函数y=f(x)仅有两个零点④存在实数a满足()()0fafa其中所有正确结论的编号是（）A．①②B．②③C．③④D．②④【答案】D第5页共11页【解析】由图像直接得其最小值和最大值，单调区间，由图像与x轴交点的个数可得其零点的个数，当1a时，可得()()0fafa【详解】解：由图像可知函数的最大值大于2，最小值小于2，所以①错误；由图像可知函数y=f(x)的单调递减区间为[1,1]，所以②正确；由图像可知其图像与x轴交点的个数为3，所以函数有3个零点，所以③错误；当1a时，有()()(1)(1)220fafaff，所以④正确，故选：D【点睛】此题考查函数图像的应用，考查函数的零点，单调性，考查数形结合的思想，属于基础题二、填空题11．已知集合2{|1},{|}AxxBxxa，若AB，则a______________.【答案】1【解析】由AB，得到1是方程2xa是方程的根，代入即可求解.【详解】由题意，集合2{|1},{|}AxxBxxa，因为AB，所以1B，即1是方程2xa是方程的根，解得1a，当1a，可得集合1,1b,此时满足AB，所以1a.故答案为：1.【点睛】本题主要考查了根据集合间的关系求解参数问题，其中解答中熟记集合件的包含关系，结合元素与集合的关系，列出方程求解是解答的关键，属于基础题.12．某班视力近视的学生有15人，视力正常的学生有30人.为了解该班学生近视形成的原因，拟采用分层抽样的方法抽取部分学生，调查相关信息，则抽取的学生中视力近视与视力正常的人数之比为_____________【答案】12第6页共11页【解析】利用分层抽样的定义直接求解即可【详解】解：因为某班视力近视的学生有15人，视力正常的学生有30人，所以用分层抽样的方法抽取部分学生中，视力近视与视力正常的人数之比为151302，故答案为：12【点睛】此题考查分层抽样的应用，属于基础题13．已知直线l1:y=x，l2:y=kx.若l1⊥l2，则k=______________.【答案】-1【解析】由两直线垂直有斜率之积为-1，即可求k值.【详解】由l1⊥l2，知：1k，故答案为：-1.【点睛】本题考查了根据直线垂直求斜率，属于简单题.14．已知等差数列{an}满足a1=1，a2=2，则{an}的前5项和S5=__________.【答案】15【解析】由题意可得等差数列通项公式nan，结合1()2nnnaaS可得前n项和公式，进而求5S即可.【详解】由等差数列{an}满足a1=1，a2=2，知：公差1d，∴{an}是首项为1，公差为1的等差数列，故通项公式为1(1)naandn，∴由等差数列前n项和公式1()(1)22nnnaannS，即可得55(51)152S，故答案为：15.【点睛】本题考查了求等差数列前n项和，属于简单题.15．已知角α的终边经过点(3，4)，则cosα=______________.第7页共11页【答案】35【解析】利用任意角的三角函数的定义直接求解即可【详解】解：因为角α的终边经过点(3，4)，所以2233cos534xr，故答案：35【点睛】此题考查任意角的三角函数的定义的应用，属于基础题三、解答题16．2020年春季，受疫情的影响，学校推迟了开学时间.上级部门倡导“停课不停学”，鼓励学生在家学习，复课后，某校为了解学生在家学习的周均时长(单位:小时)，随机调查了部分学生，根据他们学习的周均时长，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求该校学生学习的周均时长的众数的估计值;（2）估计该校学生学习的周均时长不少于30小时的概率.【答案】（1）25小时；（2）0.3.【解析】（1）根据直方图，频率最大的区间中点横坐标为众数即可求众数；（2）由学习的周均时长不少于30小时的区间有[30,40)、[40,50)，它们的频率之和，即为该校学生学习的周均时长不少于30小时的概率.【详解】（1）根据直方图知：频率最大的区间中点横坐标即为众数，∴由频率最大区间为[20,30)，则众数为2030252；第8页共11页（2）由图知：不少于30小时的区间有[30,40)、[40,50)，∴该校学生学习的周均时长不少于30小时的概率0.03100.3P.【点睛】本题考查了根据直方图求众数、概率，应用了众数的概念、频率法求概率，属于简单题.17．如图所示，△ABC中，AB=AC=2，BC=23.（1）求内角B的大小;（2）设函数f(x)=2sin(x+B)，求f(x)的最大值，并指出此时x的值.【答案】（1）6B，（2）f(x)的最大值为2，此时2,3xkkZ【解析】（1）利用余弦定理求解即可；（2）利用正弦函数的性质直接求其最大值【详解】解：（1）因为△ABC中，AB=AC=2，BC=23.所以2222222(23)23cos222223ABBCACBABBC，因为(0,)B，所以6B，（2）由（1）可知()2sin()6fxx，所以当2,62xkkZ时，()fx取最大值2，即2,3xkkZ【点睛】此题考查余弦定理的应用，考查正弦函数的性质的应用，属于基础题18．如图所示，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，且E，F分别为BC，PC的中点.第9页共11页（1）求证:EF//平面PAB;（2）已知AB=AC=4，PA=6，求三棱锥F-AEC的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）4.【解析】（1）连接EF有中位线//EFPB，结合,EFPB与面PAB的关系，由线面平行的判定即可证//EF面PAB；（2）过F作//FGPA交AC于G易知FG是三棱锥F-AEC的高，结合已知有2ABCAECSS即可求三棱锥F-AEC的体积.【详解】（1）连接EF，在△PBC中EF为中位线，故//EFPB，∵EF面PAB，PB面PAB∴//EF面PAB；（2）过F作//FGPA交AC于G，如下图示：第10页共11页∵PA⊥平面ABC，∴FG⊥平面ABC，即FG是三棱锥F-AEC的高，又F为PC的中点，∴由PA=6，则32PAFG，又AB=AC=4，E为BC的中点且AB⊥AC，知：44424ABCAECSS，∴三棱锥F-AEC的体积143AECVFGS.【点睛】本题考查了应用线面平行的判定证明线面平行，应用三棱锥体积公式求体积，属于简单题.19．已知函数(())xxfxagxa，，其中0a，且1a.（1）判断()fx的奇偶性，并说明理由;（2）若不等式()()fxgx对xR都成立，求a的取值范围;（3）设(1)2f，直线1yt与()yfx的图象交于AB，两点，直线2yt与()ygx的图象交于CD，两点，得到四边形ABCD.证明:存在实数12tt，，使四边形ABCD为正方形.【答案】（1）偶函数，理由见解析；（2）1a；（3）证明见解析【解析】（1）利用函数的奇偶性做出判断;（2）()()xxxfxgaa对xR都成立，可求出a的范围（3）由(1)2f，求出2a，由已知ABBC得到000222xxx，求得121tt得证.【详解】(1)()fx是偶函数()xfxa，))((xxfxaafx=,()fx是偶函数（2）))((xxfxagax，(())xxxfxgaa当1a时0xxxxR满足题意，当01a时00xxxx不满足题意所以1a第11页共11页（3）(1)2,2fa()22()xxfxgx，因为四边形ABCD为正方形，所以ABBC,设01(,)Bxt则02