漫谈提高解几解题速度的策略

漫谈提高《解几》解题速度的策略苏州外国语学校张锦成解析几何就是运用坐标法解决两类基本问题：一类是求满足给定条件的点的轨迹即曲线，通过建立适当的坐标系求其方程也就是求曲线的方程；另一类是通过对曲线方程的讨论，研究方程所表示的曲线性质。高考中对于解析几何要求较高，究竟“考什么、怎么考、考多难”，结合08年课改后各省市及全国高考卷中的解析几何题，可以看出高考中的解析几何就是围绕解析几何的两类基本问题来考查的，大部分学生觉得题难，有点让人摸索不透，很多学生为其而烦。解几题如果方法不当，则很难实施解题，即便免强能解，也是运算量超大，让人如临大敌，因此提高解题技巧，优化解题方法，就显得尤为重要，现就解几中常见的题型，强调几个应注意的策略：一、.把向量条件数量化是解决以向量为背景的解析几何问题的第一程序解析几何在数学中体现了重要的数学思想“数形结合”，它能有效的培养学生的分析、解决问题的能力，其中以向量与解几的结合是数形结合的最佳载体，既有数的运算又有相应的几何意义。当解析几何问题中涉及到夹角、平行、垂直、共线、求动点轨迹等问题时可借助于向量进行解决。要充分利用向量条件中的信息，将位置关系转化为向量，将向量转化为坐标，这样复杂的问题就能简单化，容易理解、便于解决。例1设椭圆2222:10xyCabab的左焦点为F，上顶点为A，过A与AF垂直的直线分别交椭圆C和x轴正半轴于P，Q两点，且85APPQ。⑴求椭圆C的离心率；⑵若过A，Q，F三点的圆恰好与直线:330lxy相切，求椭圆C的方程。【分析】：本题若通过直线方程来处理题设中的垂直，通过线段的长度来处理向量的关系，一定很烦；若是用向量处理垂直问题，设出相应的点，用点的坐标去表示向量，巧妙地将形转化为数，这样会使问题简单易解。详解如下：解：⑴设0,0,,0,0,QxFcAb，则OFAPQyx0,,,,FAcbAQxbFAAQ由，得0FAAQ，22000bcxbxc设1111011,,,,,PxyAPxybPQxxy则，由85APPQ得：210110118885131385513xxxxxbybyyb，由点P在椭圆上，得22222815111313bbab2222323bacacac2123202eee所以椭圆的离心率为12。⑵由1122cecaa，所以13,0,,022FaQa又090FAQ，所以AFQ的外接圆的圆心为11,0,22CarFQa半径于是C到直线l的距离13222adaa，则1,3cb所以椭圆方程为22143xy二、认清问题的本质，把问题化归彻底有些学生在处理问题的时候，不是不具备解析法的思想也不是没有处理解几问题应该具备的计算、分析能力，而是没有透过现象，认清问题的本质，或者说没有读懂题，就急于解题，这样的解题，切不可取。此时一定要分析问题的中心是什么，是什么量决定了问题的可研究性，例2（江苏高考调研）已知在直角三角形PMN中，90PMN，4,3MNPM，若椭圆以M、N为焦点，且经过P点.(1)试建立恰当的直角坐标系，求出椭圆的标准方程；(2)若经过左焦点M的直线与椭圆交于A、B两点，问是否存在不等于零的实数，满足0POBOAO？若存在，求出实数的值，若不存在，说明理由。【分析】：该题的第二问是对的探求问题，向量表达式0POBOAO的形的意义就是线段AB的中点C、点P、O三点共线，即当直线的斜率k取一确定值时能保证上述条件，所以该问题应该围绕直线的斜率来讨论，先确定k的值然后再确定的值。有的同学没有搞清问题的本质，围绕来做文章，那么这个问题的处理就进了死胡同。解略。例3如图所示,已知圆22:(1)4Exy交x轴分别于A,B两点,交y轴的负半轴于点M,过点M作圆E的弦MN.（Ⅰ）若弦MN所在直线的斜率为2,求弦MN的长；（Ⅱ）若弦MN的中点恰好落在x轴上,求弦MN所在直线的方程；（Ⅲ）设弦MN上一点P(不含端点)满足,,PAPOPB成等比数列(其中O为坐标原点),试探求PAPB的取值范围.【分析】：将三道小题都集中在圆的一条动弦上,同时考查了直线方程、圆的方程、平面向量的数量积、一元二次不等式、等比数列这五个C级知识点,另外还考查了直线与圆的位置关系、点与圆的位置关系等知识点.现在高考命题的趋势就是在直线与圆内寻找新的亮点.很多情况下,新意达到了,同时题目的难度也上去了。有的同学不懂该题第三问的意思不知如何下手，实际上点P是动弦上的动点，P就是圆内任意一点，,,PAPOPB成等比数列，则P又在一双曲线上，即双曲线在圆内的部分就是P的轨迹，这样问题就好处理了。三、充分利用平面几何知识简化解题初中对“平几”已作了深入研究，“解析几何”首先以直线和圆作为研究对象，其目的是让我们更易，更快，更深的掌握解析法。这部分内容有着“承上启下”的特点，“解析几何”中往往会涉及初中平面几何知识，在处理问题时，有时要走出解几的思维模式，有机地运用平面几何知识，能起到化敏为简的功效。需要特别提醒的是：在用解析法研究直线与圆的过程中不要忽视它自身的几何性质。要擅于应用它们的“几何性质”解题，在很多情况下“几何性质”显得更为容易，方法显得更为灵巧。ABMxyOE例4（05浙江）如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点12,FF在x轴上，长轴A1A2的长为4，左准线l与x轴的交点为M，|MA1|∶|A1F1|＝2∶1．求若点P在直线l上运动，求∠F1PF2取最大值时点P的坐标．【分析】：该题如果从函数角度考虑，最终转化为求正切函数的最大值。略解如下：易求1,3,2cba准线方程4x，不妨设P点坐标为P),4(m当0m时，120FPF；当0m时，22102FPFPFM，只需求22tanFPF的最大值即可奎屯王新敞新疆||5tan,||3tan21mMPFmMPF,则1522||15||215||2151||3||5)tan(tan221221mmmmmmmMPFMPFPFF当且仅当15||m时，12FPF最大，当点P的坐标为)15,4(时，12FPF最大。另法：根据圆的知识要保证12FPF最大，则以线段21FF为弦的圆的半径要最小，而点P在直线l上，故圆与直线l又要相切，所以满足上述两条件的圆与直线l的切点就是所求的P点。由切割线定理知212MFMFMP,所以15MP则P点坐标为)15,4(。用此方法解决下例就很方便。例5（09无锡一模）某人在一小斜坡上的P点处（坡高h=10m）观看对面一座大楼顶上的广告画，如图所示，画高BC=8m，画所在的大楼高OB=22m，图上所示的山坡坡面可视为CBOAPDlA1F1MxyPF2A2Ol直线l，A为直线l与水平地面的交点，OA=20m，l与水平地面的夹角为，21tan，若点P在直线l上，试问：P距水平地面多高时，此人观看广告画的视角BPC最大？（不计此人身高）【分析】：该题当然可以用例4的方法，借助于正切函数的单调性来处理，但同样也可以用平面几何的知识来处理。以BC为弦与直线l相切的切点，就是此人应该所处的位置。下面以解析法处理比较方便。具体过程略。四、形成几个条件反射1.当有点在曲线上的条件时，要注意该点的两重性，一是点满足曲线的定义，二是点坐标满足曲线的方程。圆锥曲线定义揭示了它的本质的属性，利用定义解题，是最基本的方法。圆锥曲线中的许多问题，是直接由定义延伸或转化而来的，旨在考查学生对重要概念的深层次理解以及灵活运用的能力，巧用定义结合图形解题，有利于洞察数量关系和结构关系，是一种简洁的思维形式，常常可收到事半功倍的效果。由于圆锥曲线是用“距离”来定义的，所以便于运用比例的性质来建立数量关系，结合相关几何背景，利用定比将线段转移，并经过比例运算，从而确定相关的几何量。例6若椭圆1:22221byaxC的左准线为l，左、右焦点分别为1F，2F，抛物线2C的准线也为l，焦点为2F，点P为1C和2C的一个交点，则21121PFPFPFFF.【分析】：设P到l的距离为d，P在2C上则dPF2那么122222212122121121PFPFPFPFaPFPFPFaccPFPFedcPFPFPFFF例7.已知椭圆)0(12222babyax的左右焦点分别为21,FF，其半焦距为c，圆M的方程为222916)35(cycx。（1）若P是圆上的任意一点，求证：21PFPF为定值；MPF1F2QOxy（2）若椭圆经过圆上的一点Q且1611cos21QFF，求椭圆的离心率；（3）在（2）的条件下，若331OQ（O为坐标原点），求圆M的方程。【分析】：（1）如果一动点到两定点的距离之比是非1的常数，那么动点的轨迹是阿波罗圆。显然21PFPF是定值。（2）求离心率就是再找一A个关于cba,,的关系，而根据Q点的双重属性结合圆与椭圆的定义，易知aQFaQF32||,34||21，而cFF2||21，根据余弦定理，可以求出离心是22，那么acb22。(3)这一小题的解法比较多，可以说从不同的角度分析，就有不同的方法。第一种思路是紧抓点的坐标满足曲线的方程，由点的双重属性，可以直接求出点的坐标（用c表示），再由两点之间的距离公式求出c，就可得到圆的方程。但这种方法涉及解方程组，计算比较繁一点；第二种思路是围绕椭圆的第二定义，求出点Q的横坐标或纵坐标，设Q点坐标为),(00yx，过Q点作左准线的垂线垂足为M，aexaQFMQ342)(2||2||01，从而解得0x，另一途径是由||2tan021221ycQFFbSQFF，解得0y，进而求出圆的方程；第三种思路是根据向量的数量积来处理，QOQFQF221两边平方，得93141611323429491622aaaa，求得1,2ca。所以圆M的方程是916)35(22yx。2当直线经过圆锥曲线的焦点时，注意这条直线的一些特殊性质。例8（09南通调研）抛物线24yx的焦点为F，11221212(,),(,)(,0,0)AxyBxyxxyy在抛物线上，且存在实数λ，使AFBF0，25||4AB．（1）求直线AB的方程；（2）求△AOB的外接圆的方程．【分析】：本题主要考查向量、直线与圆以及椭圆的相关知识，要求学生灵活运用圆的标准方程或一般方程求圆的方程，理解三角形外接圆圆心是三边中垂线的交点，也可求出交点坐标．关注弦长公式：2121||lkxx，抛物线22(0)ypxp的焦点弦长为12lxxp．关键是要抓住表达式AFBF0的几何意义A、B、F三点共线解：（1）抛物线24yx的准线方程为1x．∵AFBF0，∴A，B，F三点共线．由抛物线的定义，得|AB|=122xx．设直线AB：(1)ykx，而12121212,,0,0,0.yykxxyykxx由2(1),4,ykxyx得22222(2)0kxkxk。∴2122122(2),1,kxxkxx|AB|=122xx=222(2)2524kk．∴2169k．从而43k，故直线AB的方程为4(1)3yx，即4340xy。（2）由24340,4,xyyx求得A（4，4），B（14，－1）．设△AOB的外接圆方程为220xyDxEyF，则0,1616440,111()0.164FDEFDEF解得29,43,40.DEF故△AOB的外接圆的方程为222