理)二轮增分策略课件12不等式与线性规划

第2讲不等式与线性规划专题一集合与常用逻辑用语、不等式高考真题体验热点分类突破高考押题精练栏目索引高考真题体验12341.(2014·大纲全国)不等式组xx＋20，|x|1的解集为()A.{x|－2x－1}B.{x|－1x0}C.{x|0x1}D.{x|x1}解析由xx＋20，|x|1，得x0或x－2，－1x1，所以0x1，所以原不等式组的解集为{x|0x1}，故选C.C12342.(2015·广东)若变量x，y满足约束条件4x＋5y≥8，1≤x≤3，0≤y≤2，则z＝3x＋2y的最小值为()A.4B.235C.6D.3151234解析不等式组所表示的可行域如图所示，由z＝3x＋2y得y＝－32x＋z2，依题当目标函数直线l：y＝－32x＋z2经过A1，45时，z取得最小值即zmin＝3×1＋2×45＝235，故选B.答案B12343.(2015·浙江)有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位：m2)分别为x，y，z，且x＜y＜z，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m2)分别为a，b，c，且a＜b＜c.在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是()A.ax＋by＋czB.az＋by＋cxC.ay＋bz＋cxD.ay＋bx＋cz1234解析令x＝1，y＝2，z＝3，a＝1，b＝2，c＝3.A项：ax＋by＋cz＝1＋4＋9＝14；B项：az＋by＋cx＝3＋4＋3＝10；C项：ay＋bz＋cx＝2＋6＋3＝11；D项：ay＋bx＋cz＝2＋2＋9＝13.故选B.答案B12344.(2015·重庆)设a，b＞0，a＋b＝5，则a＋1＋b＋3的最大值为________.解析∵a，b＞0，a＋b＝5，∴(a＋1＋b＋3)2＝a＋b＋4＋2a＋1b＋3≤a＋b＋4＋(a＋1)2＋(b＋3)2＝a＋b＋4＋a＋b＋4＝18，当且仅当a＝72，b＝32时，等号成立，则a＋1＋b＋3≤32，即a＋1＋b＋3最大值为32.32考情考向分析1.利用不等式性质比较大小，利用基本不等式求最值及线性规划问题是高考的热点；2.一元二次不等式常与函数、数列结合考查一元二次不等式的解法和参数取值范围；3.利用不等式解决实际问题.热点一不等式的解法热点分类突破1.一元二次不等式的解法先化为一般形式ax2＋bx＋c0(a≠0)，再求相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集.2.简单分式不等式的解法(1)fxgx0(0)⇔f(x)g(x)0(0)；(2)fxgx≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.3.指数不等式、对数不等式及抽象函数不等式，可利用函数的单调性求解.例1(1)已知一元二次不等式f(x)0的解集为x|x－1或x12，则f(10x)0的解集为()A.{x|x－1或x－lg2}B.{x|－1x－lg2}C.{x|x－lg2}D.{x|x－lg2}解析由已知条件010x12，解得xlg12＝－lg2.D(2)已知函数f(x)＝(x－2)(ax＋b)为偶函数，且在(0，＋∞)单调递增，则f(2－x)0的解集为()A.{x|x2或x－2}B.{x|－2x2}C.{x|x0或x4}D.{x|0x4}解析由题意可知f(－x)＝f(x).即(－x－2)(－ax＋b)＝(x－2)(ax＋b)，(2a－b)x＝0恒成立，故2a－b＝0，即b＝2a，则f(x)＝a(x－2)(x＋2).又函数在(0，＋∞)单调递增，所以a0.f(2－x)0即ax(x－4)0，解得x0或x4.故选C.C思维升华(1)对于和函数有关的不等式，可先利用函数的单调性进行转化；(2)求解一元二次不等式的步骤：第一步，二次项系数化为正数；第二步，解对应的一元二次方程；第三步，若有两个不相等的实根，则利用“大于在两边，小于夹中间”得不等式的解集；(3)含参数的不等式的求解，要对参数进行分类讨论.跟踪演练1(1)关于x的不等式x2－2ax－8a20(a0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a＝________.解析由x2－2ax－8a20，得(x＋2a)(x－4a)0，因为a0，所以不等式的解集为(－2a,4a)，即x2＝4a，x1＝－2a，由x2－x1＝15，得4a－(－2a)＝15，解得a＝52.52(2)已知f(x)是R上的减函数，A(3，－1)，B(0,1)是其图象上两点，则不等式|f(1＋lnx)|1的解集是__________.解析∵|f(1＋lnx)|1，∴－1f(1＋lnx)1，∴f(3)f(1＋lnx)f(0)，又∵f(x)在R上为减函数，∴01＋lnx3，∴－1lnx2，∴1exe2.(1e，e2)热点二基本不等式的应用利用基本不等式求最大值、最小值，其基本法则是：(1)如果x0，y0，xy＝p(定值)，当x＝y时，x＋y有最小值(简记为：积定，和有最小值)；(2)如果x0，y0，x＋y＝s(定值)，当x＝y时，xy有最大值(简记为：和定，积有最大值).2p14s2例2(1)已知向量a＝(3，－2)，b＝(x，y－1)，且a∥b，若x，y均为正数，则3x＋2y的最小值是()A.53B.83C.8D.24解析∵a∥b，∴3(y－1)＋2x＝0，即2x＋3y＝3.∵x0，y0，∴3x＋2y＝(3x＋2y)·13(2x＋3y)＝13(6＋6＋9yx＋4xy)≥13(12＋2×6)＝8.当且仅当3y＝2x时取等号.答案C(2)已知关于x的不等式2x＋2x－a≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为()A.1B.32C.2D.52解析2x＋2x－a＝2(x－a)＋2x－a＋2a≥2·2x－a·2x－a＋2a＝4＋2a，由题意可知4＋2a≥7，得a≥32，即实数a的最小值为32，故选B.B思维升华在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.跟踪演练2(1)(2015·天津)已知a＞0，b＞0，ab＝8，则当a的值为________时，log2a·log2(2b)取得最大值.解析log2a·log2(2b)＝log2a·(1＋log2b)≤log2a＋1＋log2b22＝log2ab＋122＝log28＋122＝4，当且仅当log2a＝1＋log2b，即a＝2b时，等号成立，此时a＝4，b＝2.4(2)若直线2ax－by＋2＝0(a0，b0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则1a＋1b的最小值是________.解析易知圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的半径为2，圆心为(－1,2)，因为直线2ax－by＋2＝0(a0，b0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，所以直线2ax－by＋2＝0(a0，b0)过圆心，把圆心坐标代入得：a＋b＝1，所以1a＋1b＝(1a＋1b)(a＋b)＝2＋ba＋ab≥4，当且仅当ba＝ab，a＋b＝1，即a＝b＝12时等号成立.答案4热点三简单的线性规划问题解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决.例3(1)(2015·北京)若x，y满足x－y≤0，x＋y≤1，x≥0，则z＝x＋2y的最大值为()A.0B.1C.32D.2解析可行域如图所示.目标函数化为y＝－12x＋12z，当直线y＝－12x＋12z过点A(0,1)时，z取得最大值2.答案D(2)(2014·安徽)x，y满足约束条件x＋y－2≤0，x－2y－2≤0，2x－y＋2≥0.若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为()A.12或－1B.2或12C.2或1D.2或－1解析如图,由y＝ax＋z知z的几何意义是直线在y轴上的截距，故当a0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝2；当a0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝－1.答案D思维升华(1)线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是确定目标函数中的字母系数的取值范围.(2)一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.跟踪演练3已知x，y满足y≥x，y≤－x＋2，x≥a，且目标函数z＝2x＋y的最小值为9，则实数a的值是()A.1B.2C.3D.7解析依题意，不等式组所表示的可行域如图所示(阴影部分)，观察图象可知，当目标函数z＝2x＋y过点B(a，a)时，zmin＝2a＋a＝3a；因为目标函数z＝2x＋y的最小值为9，所以3a＝9，解得a＝3，故选C.答案C高考押题精练12341.若点A(a，b)在第一象限，且在直线x＋2y＝1上，则ab的最大值为()A.1B.12C.14D.18押题依据基本不等式在历年高考中的地位都很重要，已成为高考的重点和热点，用基本不等式求函数(和式或积式)的最值问题，有时与解析几何、数列等知识相结合.1234解析因为点A(a，b)在第一象限，且在直线x＋2y＝1上，所以a0，b0，且a＋2b＝1，所以ab＝12·a·2b≤12·(a＋2b2)2＝18，当且仅当a＝2b＝12，即a＝12，b＝14时，“＝”成立.故选D.答案D12342.已知A(1，－1)，B(x，y)，且实数x，y满足不等式组2x－y＋2≥0，x＋y≥2，x≤2，则z＝OA→·OB→的最小值为()A.2B.－2C.－4D.－6押题依据线性规划是每年高考的热点，其实质是数形结合思想的应用.本题中目标函数用向量数量积形式给出，符合高考知识点交汇命题的思想.1234解析画出不等式组所表示的可行域为如图所示的△ECD的内部(包括边界),其中E(2,6)，C(2,0)，D(0,2).目标函数z＝OA→·OB→＝x－y.令直线l：y＝x－z，要使直线l过可行域上的点且在y轴上的截距－z取得最大值，只需直线l过点E(2,6).此时z取得最小值，且最小值zmin＝2－6＝－4.故选C.答案C12343.已知函数f(x)＝x＋3x－2x2，log22－xx2，则不等式f(x)≤4的解集为________.押题依据不等式的解法作为数学解题的一个基本工具，在高考中是必考内容.往往与函数的单调性相结合，最后转化成一元一次不等式或一元二次不等式.1234解析由题意得x2，x＋3x－2≤4或x2，log22－x≤4，解得x≥113或－14≤x2，故不等式f(x)≤4的解集为{x|－14≤x2或x≥113}.答案{x|－14≤x2或x≥113}12344.已知不等式2x－1≥15|a2－a|对于x∈[2,6]恒成立，则a的取值范围是________.押题依据“恒成立”问题是函数和不等式交汇处的重要题型，可综合考查不等式的性质，函数的值域等知识，是高考的热点.1234解析设y＝2x－1，y′＝－2x－12，故y＝2x－1在x∈[2,6]上单调递减，即ymin＝26－1＝25，故不等式2x－1≥15|a2－a|对于x∈[2,6]恒成立等价于15|a2－a|≤25恒成立，1234化简得a2－a－2≤0，a2－a＋2≥0，解得－1≤a≤2，故a的取值范围是[－1,2].答案[－1,2]