2019-2020年高考数学学业水平测试一轮复习 专题十一 数列 第38讲 等差数列及其前n项和课件

专题十一数列第38讲等差数列及其前n项和1．等差数列的定义一般地，如果一个数列______________________，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的________，通常用字母________表示．答案：从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数公差d2．等差数列的通项公式如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是__________．答案：an＝a1＋(n－1)d3．等差中项如果A＝a＋b2，那么A叫做a与b的等差中项．4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am＋________(n，m∈N*)．(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则__________．(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为________．(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为________的等差数列．答案：(1)(n－m)d(2)ak＋al＝am＋an(3)2d(5)md5．等差数列的前n项和公式设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝n（a1＋an）2或Sn＝na1＋n（n－1）2d.6．等差数列的前n项和公式与函数的关系Sn＝d2n2＋a1－d2n.数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．7．等差数列的前n项和的最值在等差数列{an}中，a10，d0，则Sn存在最________值；若a10，d0，则Sn存在最________值．答案：大小1．等差数列基本量的运算(1)已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2＝()A．－4B．－6C．－8D．－10(2)已知等差数列{an}中，a3，a15是方程x2－6x－1＝0的两根，则a7＋a8＋a9＋a10＋a11等于()A．18B．－18C．15D．12解析：(1)因为a1，a3，a4成等比数列，所以有a23＝a1·a4⇒(a1＋2d)2＝a1·(a1＋3d)⇒a1·d＝－4d2，又因为d＝2，所以a1＝－8.所以a2＝a1＋d＝－6.故答案为B.(2)由题意知a3、a15是方程x2－6x－1＝0的两根，所以a3＋a15＝6，则由等差数列的性质得：a7＋a8＋a9＋a10＋a11＝(a7＋a11)＋(a8＋a10)＋a9＝6＋6＋3＝15，故选C.答案：(1)B(2)C2．等差数列的判定与证明(1)若Sn是数列{an}的前n项和，若Sn＝n2，则{an}是()A．等比数列，但不是等差数列B．等差数列，但不是等比数列C．等差数列，而且也是等比数列D．既非等比数列，也非等差数列(2)在数列{an}中，若a1＝1，a2＝12，2an＋1＝1an＋1an＋2(n∈N*)，则该数列的通项为()A．an＝1nB．an＝2n＋1C．an＝2n＋2D．an＝3n解析：(1)当n＝1时，a1＝S1＝12＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，又n＝1时，a1＝2－1＝1，满足通项公式，所以此数列为等差数列．(2)由已知式2an＋1＝1an＋1an＋2可得1an＋1－1an＝1an＋2－1an＋1，知{1an}是以首项为1a1＝1，公差为1a2－1a1＝2－1＝1的等差数列，所以1an＝n，即an＝1n.答案：(1)B(2)A剖析：等差数列的四个判定方法：(1)定义法：证明对任意正整数n都有an＋1－an等于同一个常数．(2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2，可递推得出an＋2－an＋1＝an＋1－an＝an－an－1＝an－1－an－2＝…＝a2－a1，根据定义得出数列{an}为等差数列．(3)通项公式法：得出an＝pn＋q后，得an＋1－an＝p对任意正整数n恒成立，根据定义判定数列{an}为等差数列．(4)前n项和公式法：得出Sn＝An2＋Bn后，根据Sn，an的关系，得出an，再使用定义法证明数列{an}为等差数列．3．等差数列的性质及应用(1)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a5＋a7＝4，a6＋a8＝－2，则当Sn取最大值时，n的值是()A．5B．6C．7D．8(2)设数列{an}是公差d＜0的等差数列，Sn为前n项和，若S6＝5a1＋10d，则当Sn取最大值时，n的值是()A．5B．6C．5或6D．11(3)若两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别是Sn，Tn，已知SnTn＝7nn＋3，则a5b5＝()A.23B.278C．7D.214解析：(1)依题意得2a6＝4，2a7＝－2，a6＝2＞0，a7＝－1＜0；又数列{an}是等差数列，因此在该数列中，前6项均为正数，自第7项起以后各项均为负数，于是当Sn取最大值时，n＝6，选B.(2)由题意得S6＝6a1＋15d＝5a1＋10d，所以a6＝0，故当n＝5或6时，Sn最大，选C.(3)a5b5＝2a52b5＝a1＋a9b1＋b9＝9（a1＋a9）29（b1＋b9）2＝S9T9＝7×99＋3＝214.答案：(1)B(2)C(3)D剖析：(1)等差数列的性质．①项的性质：在等差数列{an}中，am－an＝(m－n)d⇔am－anm－n＝d(m≠n)，其几何意义是点(n，an)，(m，am)所在直线的斜率等于等差数列的公差．②和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则a．S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；b．S2n－1＝(2n－1)an.(2)求等差数列前n项和Sn最值的两种方法：①函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．②邻项变号法：a．当a1＞0，d＜0时，满足am≥0，am＋1≤0，的项数m使得Sn取得最大值Sm；b．当a1＜0，d＞0时，满足am≤0，am＋1≥0，的项数m使得Sn取得最小值Sm.1．已知等差数列{an}满足a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝90，则a2＋a8等于()A．18B．30C．36D．45答案：C2．在等差数列{an}中，a1＝3，a4＝24，则a7＝()A．32B．45C．64D．96答案：B3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S33－a1＝1，则数列{an}的公差是()A.12B．1C．2D．3答案：B4．在等差数列{an}中，已知a7＋a9＝16，a4＝1，则a12等于()A．15B．30C．31D．46答案：A5．已知无穷等差数列{an}中，它的前n项和Sn，且S7S6，S7S8那么()A．{an}中a7最大B．{an}中a3或a4最大C．当n≥8时，an0D．一定有S3＝S11解析：由题意，因为无穷等差数列{an}中，它的前n项和Sn，且S7S6，S7S8，由S7S6，可得a7＝S7－S60，又由S7S8，可得a8＝S8－S70，所以d＝a8－a70，所以当1≤n≤7，n∈N*时，an0，当n≥8，n∈N*时，an0.答案：C6．已知数列{an}的首项为2，数列{bn}为等差数列且bn＝an＋1－an(n∈N*)．若b2＝－2，b7＝8，则a8＝________．解析：设等差数列{bn}的公差为d，则5d＝b7－b2＝10，解得d＝2.所以bn＝b2＋(n－2)·d＝2n－6，所以b1＝a2－a1＝－4，b2＝a3－a2＝－2，…b7＝a8－a7＝8，以上式相加可得，a8－a1＝－4＋(－2)＋…＋8＝7（－4＋8）2＝14，所以a8＝14＋a1＝14＋2＝16.答案：167．已知在等差数列{an}中，a10＝13，S9＝27，则公差d＝________，a100＝________．解析：因为S9＝9a5＝27，所以a5＝3，d＝a10－a55＝13－35＝2，所以a100＝a10＋90d＝13＋90×2＝193.答案：21938．若数列{an}的前n项和Sn＝n2－8n，n＝1，2，3，…，则满足an0的n的最小值为________．解析：(1)当n＝1时，a1＝S1＝12－8＝－7；(2)当n1时，由Sn＝n2－8n得：Sn－1＝(n－1)2－8(n－1)＝n2－10n＋9，两式相减，得：an＝2n－9，n＝1也符合，由an＝2n－90，得：n4.5，所以，满足an0的n的最小值为5.答案：59．已知等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{an}前k项和Sk＝－35，求k的值．解：(1)因为a3＝a1＋2d，所以d＝－2，所以an＝a1＋(n－1)d＝3－2n.(2)因为Sk＝ka1＋k（k－1）2d＝－35，所以k－k(k－1)＝－35，即k2－2k－35＝0，所以k＝7或k＝－5(舍)．所以k＝7.10．在等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a1＞0，S3＝S11，求当n为多少时，Sn最大？解：由S3＝S11得3a1＋3×22d＝11a1＋11×102d，则d＝－213a1.从而Sn＝d2n2＋a1－d2n＝－a113(n－7)2＋4913a1.又a1＞0，所以－a113＜0.故当n＝7时，Sn最大．