2019-2020年高考数学学业水平测试一轮复习 专题三 立体几何初步 第14讲 垂直关系课件

专题三立体几何初步第14讲垂直关系1．直线与平面垂直项目图形条件结论a⊥b，b⊂α(b为α内的________一条直线)a⊥αa⊥m，a⊥n，m、n⊂α，____________a⊥α判定a∥b，______b⊥αa⊥α，______a⊥b性质a⊥α，b⊥α______答案：任意m∩n＝Oa⊥αb⊂αa∥b2.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义．两个平面相交，如果它们所成的二面角是_______，就说这两个平面互相垂直．(2)判定定理与性质定理.分类文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条________，那么这两个平面互相垂直l⊂β，l⊥α⇒α⊥β性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们________的直线垂直于另一个平面β⊥α，α∩β＝a，l⊂β，l⊥a⇒____答案：(1)直二面角(2)垂线交线l⊥α1．直线与平面垂直的判定与性质如图所示，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AA1，∠CAB＝π2.(1)证明：CB1⊥BA1；(2)已知AB＝2，BC＝5，求三棱锥C1-ABA1的体积．(1)证明：如图，连接AB1，因为ABC-A1B1C1是直三棱柱，∠CAB＝90°，所以AC⊥平面ABB1A1，故AC⊥BA1.又因为AB＝AA1，所以四边形ABB1A1是正方形，所以BA1⊥AB1，又CA∩AB1＝A，所以BA1⊥平面CAB1，故CB1⊥BA1.(2)解：因为AB＝AA1＝2，BC＝5，所以AC＝A1C1＝1，由(1)知，A1C1⊥平面ABA1，所以VC1－ABA1＝13S△ABA1·A1C1＝13×2×1＝23.剖析：(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质．(2)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．(3)线面垂直的性质，常用来证明线线垂直．2．平面与平面垂直的判定与性质如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．求证：(1)直线EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面PAD.证明：(1)在△PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EF∥PD.又因为EF⊄平面PCD，PD⊂平面PCD.所以直线EF∥平面PCD.(2)连接BD.因为AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD为正三角形．因为F是AD的中点，所以BF⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD，BF⊂平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面PAD.又因为BF⊂平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD.剖析：面面垂直的性质应用技巧：(1)两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面．这是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”．(2)两个相交平面同时垂直于第三个平面，那么它们的交线也垂直于第三个平面，此性质在不是很复杂的题目中，要对此进行证明．3．垂直关系中的探索性问题如图(1)所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图(2)所示．图(1)图(2)(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．(1)证明：因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DE∥BC.又因为DE⊄平面A1CB，BC⊂平面A1CB，所以DE∥平面A1CB.(2)证明：由已知得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC，所以DE⊥A1D，DE⊥CD，所以DE⊥平面A1DC.而A1F⊂平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，CD∩DE＝D，所以A1F⊥平面BCDE，所以A1F⊥BE.(3)解：线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图所示，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC.又因为DE∥BC，所以DE∥PQ，所以平面DEQ即为平面DEP.由(2)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，所以A1C⊥DP，因为DE∩DP＝D，所以A1C⊥平面DEP，从而A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.剖析：同“平行关系中的探索性问题”的规律方法一样，一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个三等分点，然后给出符合要求的证明．1．直线a⊥平面α，b∥α，则a与b的关系为()A．a⊥b，且a与b相交B．a⊥b，且a与b不相交C．a⊥bD．a与b不一定垂直答案：C2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则()A．MN∥C1D1B．MN⊥BC1C．MN⊥平面ACD1D．MN⊥平面ACC1答案：D3．设l是直线，α，β是两个不同的平面()A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α∥β，l∥α，则l⊥β答案：B4．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD构成几何体ABCD，则在几何体ABCD中，下列结论正确的是()A．平面ADC⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ABD⊥平面ABC解析：由已知得BA⊥AD，CD⊥BD，又平面ABD⊥平面BCD，所以CD⊥平面ABD，从而CD⊥AB，故AB⊥平面ADC.又AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ADC.答案：A5．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱A1B1，BB1，B1C1的中点，则下列结论：①FG⊥BD；②B1D⊥平面EFG；③平面EFG∥平面ACC1A1；④EF∥平面CDD1C1.其中正确结论的序号是()A．①②B．③④C．①③D．②④解析：如图所示，连接A1C1，A1B，BC1，BD，B1D，E，F，G分别是棱A1B，BB1，B1C1的中点．对于①，因为FG∥BC1，△BDC1是正三角形，所以FG与BD不垂直；对于②，因为平面A1C1B∥平面EFG，并且B1D⊥平面A1C1B，所以B1D⊥平面EFG.对于③，显然不正确；对于④，EF∥CD1，所以EF∥平面CDD1C1.答案：D6.如图，直三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E.要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为________．解析：设B1F＝x，因为AB1⊥平面C1DF，DF⊂平面C1DF，所以AB1⊥DF.由已知可得A1B1＝2，设Rt△AA1B1斜边AB1上的高为h，则DE＝12h.又2×2＝h×22＋（2）2，所以h＝233，DE＝33.在Rt△DB1E中，B1E＝222－332＝66.由面积相等得66×x2＋222＝22x，解得x＝12.答案：127．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点E是棱BB1的中点，则点B1到平面ADE的距离为________．解析：由于E是BB1的中点，故点B1到平面ADE的距离等价于点B到平面ADE的距离，过B作BF⊥AE，交AE于F，由于BF⊥AD，AD∩AE＝A，故BF⊥平面ADE.在直角三角形ABE中，AB＝1，BE＝12，AE＝52，所以12·AB·BE＝12·AE·BF，解得BF＝55.答案：558．设l，m，n为三条不同的直线，α为一个平面，给出下列命题①若l⊥α，则l与α相交②若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α③若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α④若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n其中正确命题的序号为________．解析：①显然正确；对②，只有当m，n相交时，才能l⊥α，故②错误；对③，由l∥m，m∥n⇒l∥n，由l⊥α得n⊥α，故③正确；对④，由l∥m，m⊥α⇒l⊥α，再由n⊥α⇒l∥n.故④正确．答案：①③④9．如图，三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝1，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°.(1)求三棱锥P­ABC的体积；(2)证明：在线段PC上存在点M，使得AC⊥BM，并求PMMC的值．(1)解：由题设AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，可得S△ABC＝12·AB·AC·sin60°＝32.由PA⊥平面ABC，可知PA是三棱锥P­ABC的高，又PA＝1.所以三棱锥P­ABC的体积V＝13·S△ABC·PA＝36.(2)证明：如图，在平面ABC内，过点B作BN⊥AC，垂足为N，在平面PAC内，过点N作MN∥PA交PC于点M，连接BM.由PA⊥平面ABC知PA⊥AC，所以MN⊥AC.由于BN∩MN＝N，故AC⊥平面MBN，又BM⊂平面MBN，所以AC⊥BM.在Rt△BAN中，AN＝AB·cos∠BAC＝12，从而NC＝AC－AN＝32，由MN∥PA，得PMMC＝ANNC＝13.10．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，CD⊥AD，BC∥AD，BC＝CD＝12AD.(1)求证：CD⊥PD；(2)求证：BD⊥平面PAB；(3)在棱PD上是否存在点M，使CM∥平面PAB，若存在，确定点M的位置，若不存在，请说明理由．(1)证明：因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以CD⊥PA.因为CD⊥AD，PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD.因为PD⊂平面PAD，所以CD⊥PD.(2)证明：因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥PA.在直角梯形ABCD中，BC＝CD＝12AD，由题意可得AB＝BD＝2BC，所以AD2＝AB2＋BD2，所以BD⊥AB.因为PA∩AB＝A，所以BD⊥平面PAB.(3)解：在棱PD上存在点M，使CM∥平面PAB，且M是PD的中点．证明如下：取PA的中点N，连接MN，BN，因为M是PD的中点，所以MN12AD，因为BC12AD，所以MNBC.所以四边形MNBC是平行四边形，所以CM∥BN，因为CM⊄平面PAB，BN⊂平面PAB.所以CM∥平面PAB.