2019-2020年高考数学学业水平测试一轮复习 专题三 立体几何初步 第12讲 空间图形的基本关系

专题三立体几何初步第12讲空间图形的基本关系与公理1．四个公理公理1：如果一条直线上的______在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)．公理2：经过________________________的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们____________________通过这个点的公共直线．公理4：平行于同一条直线的两条直线________．答案：两点不在同一条直线上有且只有一条平行2．直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类．共面直线直线.直线.异面直线：不同在一个平面内，没有公共点.(2)异面直线所成的角．①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的_______________叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．②范围：________．答案：(1)平行相交任何(2)锐角(或直角)0°，90°3．直线与平面的位置关系有__________、__________、____________三种情况．答案：平行相交在平面内4．平面与平面的位置关系有__________、__________两种情况．答案：平行相交5．等角定理空间中，如果两个角的____________________，那么这两个角相等或互补．答案：两条边分别对应平行1．平面基本性质的应用如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点．求证：(1)E、C、D1、F四点共面；(2)CE、D1F、DA三线共点．证明：(1)连接EF，CD1，A1B.因为E、F分别是AB、AA1的中点，所以EF∥BA1.又A1B∥D1C，所以EF∥CD1，所以E、C、D1、F四点共面．(2)因为EF∥CD1，EF＜CD1，所以CE与D1F必相交，设交点为P，则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD，同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，所以P∈直线DA.所以CE、D1F、DA三线共点．剖析：公理1是判断一条直线是否在某个平面内的依据；公理2是判断或证明点、线共面的依据；公理3是证明三线共点或三点共线的依据．2．判断空间两直线的位置关系如图是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图，G、H、M、N分别为DE、BE、EF、EC的中点，在这个正四面体中，①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．解析：把正四面体的平面展开图还原，如图所示，GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE⊥MN.答案：②③④剖析：空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定．对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决．3．求两条异面直线所成的角(1)如图所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是()A．45°B．60°C．90°D．120°(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1，AB的中点，则异面直线EF和C1D所成角的大小是()A.π6B.π4C.π3D.π2解析：(1)连接AB1，易知AB1∥EF，连接B1C，B1C与BC1交于点G，取AC的中点H，连接GH，则GH∥AB1∥EF.设AB＝BC＝AA1＝a，连接HB，在△GHB中，易知GH＝HB＝GB＝22a，故所求的两直线所成的角即为∠HGB＝60°.(2)如图，因为E，F分别是棱AA1，AB的中点，所以EF∥A1B，又因为C1D∥AB1，AB1⊥A1B，所以EF⊥C1D，所以EF和C1D所成的角为π2.答案：(1)B(2)D剖析：(1)求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．(2)求异面直线所成的角的三步曲：即“一作、二证、三求”．其中空间选点任意，但要灵活，经常选择“端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，作出异面直线所成的角，转化为解三角形问题，进而求解．1．下列命题：①经过三点确定一个平面；②梯形可以确定一个平面；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．3答案：C2．已知a、b是两条异面直线，c∥a，那么c与b的位置关系()A．一定是异面B．一定是相交C．不可能平行D．不可能垂直答案：C3．分别在两个平面内的两条直线的位置关系是()A．异面B．平行C．相交D．以上都有可能答案：D4．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线AC和BC1所成角的大小为()A.π3B.π2C.2π3D.π3或2π3解析：连接AD1，CD1，因为BC1∥AD1，所以∠D1AC即为异面直线AC与BC1所成角．又AD1＝AC＝CD1，所以D1AC＝π3，即异面直线AC与BC1所成角为π3.答案：A5．在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB＝BB1，D是CC1的中点，则CA1与BD所成角的大小是()A．60°B．75°C．90°D．105°解析：取A1C1的中点E，连接DE，BE，设该棱柱的棱长为2a,则有BD＝5a，DE＝2a，BE＝7a，所以BD2＋DE2＝BE2，所以∠EDB＝90°，根据异面直线所成角的定义，可知CA1与BD所成角的大小是90°，故选C.答案：C6．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A-BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，且AB＝BC＝CD＝4，M为AD的中点，则异面直线BM与CD夹角的余弦值为()A.23B.34C.33D.24解析：设F是AC中点，连接MF，BF，由于M，F分别是AD，AC中点，MF是三角形ACD的中位线，故FM∥CD，所以∠FMB是两条异面直线所成的角，根据鳖臑的几何性质可知AC＝42，AD＝43.故BF＝22，BM＝23，FM＝2，在三角形BMF中，由余弦定理得cos∠FMB＝12＋4－82×23×2＝33.答案：C7．如图是表示一个正方体表面的一种平面展开图，图中的四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有________对．解析：画出展开图复原的几何体，所以C与G重合，F，B重合，所以：四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有：AB与GH，AB与CD，GH与EF，共有3对．答案：38．如图所示，点A是平面BCD外一点，AD＝BC＝2，E、F分别是AB，CD的中点，且EF＝2，则异面直线AD和BC所成的角为________．解析：如图，设G是AC的中点，连接EG，FG.因为E，F分别是AB，CD的中点，故EG∥BC且EG＝12BC＝1，FG∥AD，且FG＝12AD＝1.即∠EGF为所求的角，又EF＝2，由勾股定理逆定理可得∠EGF＝90°.答案：90°9．如图所示，在圆锥SO中，AB，CD为底面圆的两条直线，AB∩CD＝O，且AB⊥CD，SO＝OB＝2，P为SB的中点，则异面直线SA和PD所成角的正切值为________．解析：连接PO，则PO∥SA，所以∠OPD即为异面直线SA和PD所成的角，又SO⊥CD，AB⊥CD，SO∩AB＝O，所以CD⊥平面SAB，所以CD⊥OP，即DO⊥OP，所以△OPD为直角三角形，所以tan∠OPD＝ODOP＝22＝2.答案：210．如图，空间四边形ABCD中，E、F、G分别在AB、BC、CD上，且满足AE∶EB＝CF∶FB＝2∶1，CG∶GD＝3∶1，过E、F、G的平面交AD于点H.(1)求AH∶HD；(2)求证：EH、FG、BD三线共点．(1)解：因为AEEB＝CFFB＝2，所以EF∥AC，所以EF∥平面ACD，而EF⊂平面EFGH，平面EFGH∩平面ACD＝GH，所以EF∥GH，所以AC∥GH.所以AHHD＝CGGD＝3.所以AH∶HD＝3∶1.(2)证明：因为EF∥GH，且EFAC＝13，GHAC＝14，所以EF≠GH，所以四边形EFGH为梯形．令EH∩FG＝P，则P∈EH，而EH⊂平面ABD，又P∈FG，FG⊂平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以P∈BD.所以EH、FG、BD三线共点．