2019-2020年高考数学学业水平测试一轮复习 专题二 函数的概念与基本初等函数Ⅰ第4讲 函数的奇

专题二函数的概念与基本初等函数Ⅰ第4讲函数的奇偶性与周期性1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有______________，那么函数f(x)是偶函数关于______对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有______________，那么函数f(x)是奇函数关于______对称答案：f(－x)＝f(x)y轴f(－x)＝－f(x)原点2.周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有_____，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中________________的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．答案：(1)f(x＋T)＝f(x)(2)存在一个最小1．判断函数的奇偶性下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是()A．y＝－log2x(x＞0)B．y＝x3＋x(x∈R)C．y＝3x(x∈R)D．y＝－1x(x∈R，x≠0)(2)若函数f(x)＝3x＋3－x与g(x)＝3x－3－x的定义域均为R，则()A．f(x)与g(x)均为偶函数B．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数C．f(x)与g(x)均为奇函数D．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数解析：(1)A、C选项中的函数不是奇函数，D选项中的函数在定义域内不是增函数．(2)因为函数f(x)与g(x)的定义域均为R，f(－x)＝3－x＋3x＝f(x)，所以为偶函数，g(－x)＝3－x－3x＝－g(x)，所以为奇函数．答案：(1)B(2)D2．函数的周期性(1)已知函数f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，若对于任意的实数x≥0，都有f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0，2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(－2017)＋f(2018)的值为________．(2)设函数f(x)是奇函数，定义域为R，且满足f(x＋1)＝－f(x)．当0x1时，f(x)＝x－x2，则f20203＝____．解析：(1)因为f(x)是奇函数，且周期为2，又当x∈[0，2)，f(x)＝log2(x＋1)，所以f(－2017)＝－f(2017)＝－f(1)＝－log22＝－1，f(2018)＝f(0)＝0.所以f(－2017)＋f(2018)＝－1＋0＝－1.(2)因为f(x＋1)＝－f(x)，可得函数f(x)的周期T＝2，F20203＝f673＋13＝f－23＝－f23＝－29.答案：(1)－1(2)－29剖析：(1)函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质．对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值．(2)函数周期性的三个常用结论：①若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a，②若f(x＋a)＝1f（x），则T＝2a，③若f(x＋a)＝－1f（x），则T＝2a(a＞0)．3．函数性质的综合应用(1)设奇函数f(x)的定义域为[－6，6]．若当x∈[0，6]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)0的解集是________．(2)定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上递增，且f12＝0，则满足f(x)0的x的集合为________．解析：(1)奇函数的图象关于原点对称，作出函数f(x)在[－6，0]上的图象(图略)，由图象，可知不等式f(x)0的解集是[－6，－2)∪(0，2)．(2)由奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上递增，且f12＝0，得函数y＝f(x)在(－∞，0)上递增，且f－12＝0，所以f(x)0时，x12或－12x0.即满足f(x)0的x的集合为{x|－12x0或x12}．答案：(1)[－6，－2)∪(0，2)(2)x－12x0或x12剖析：(1)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题．(2)掌握以下两个结论，会给解题带来方便：①f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(|x|)．②若奇函数在x＝0处有意义，则f(0)＝0.1．若函数f(x)＝ax＋1x(a∈R)，则下列结论正确的是()A．∀a∈R，函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数B．∀a∈R，函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数C．∃a∈R，函数f(x)为奇函数D．∃a∈R，函数f(x)为偶函数答案：C2．已知函数f(x)＝ax2017＋bsinx－1，若f(2)＝10，则f(－2)＝()A．－10B．10C．－12D．12解析：依题意有f(2)＝22017a＋bsin2－1＝10，所以22017a＋bsin2＝11.所以f(－2)＝(－2)2017a＋bsin(－2)－1＝－(22017a＋bsin2)－1＝－11－1＝－12.答案：C3．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2019)＝()A．2019B．0C．1D．－1解析：由f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)得，f(x)的周期为4.又f(x)为奇函数，则f(1)＝1，f(2)＝－f(0)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，f(4)＝f(0)＝0.即f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0.故f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2019)＝[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]×504＋[f(1)＋f(2)＋f(3)]＝0.答案：B4．若偶函数f(x)在(－∞，0)内单调递减，则不等式f(－1)f(lgx)的解集是()A．(10，＋∞)B.0，110C.0，110∪(10，＋∞)D．(0，10)解析：因为函数f(x)为偶函数，且在(－∞，0)内单调递减，所以f(x)在(0，＋∞)单调递增；由f(－1)f(lgx)，可得|lgx|1，即lgx1或lgx－1，解得x10或0x110，所以原不等式的解集为0，110∪(10，＋∞)．答案：C5．若函数f(x)＝x2－2x，x≥0－x2＋ax，x0为奇函数，则实数a的值为()A．2B．－2C．1D．－1解析：因为f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，当x0时，－x0，则f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2x)＝－x2－2x.又x0时，f(x)＝－x2＋ax，所以a＝－2.答案：B6．函数f(x)在R上为奇函数，且当x0时，f(x)＝x＋1，则当x＜0时，f(x)＝________．解析：f(x)为奇函数，当x0时，f(x)＝x＋1，所以当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝－x＋1＝－f(x)，即x＜0时，f(x)＝－(－x＋1)＝－－x－1.答案：－－x－17．已知定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝0，则不等式f(x－2)≥0的解集是______．解析：由已知可得x－2≥1或x－2≤－1，解得x≥3或x≤1，所以所求解集是(－∞，1]∪[3，＋∞)．答案：(－∞，1]∪[3，＋∞)8．已知f(x)是定义在R上的偶函数，并满足f(x＋2)＝－1f（x），当1≤x≤2时，f(x)＝x－2，则f(6.5)＝_______．解析：由f(x＋2)＝－1f（x），得f(x＋4)＝－1f（x＋2）＝f(x)，那么f(x)的周期是4，得f(6.5)＝f(2.5)．因为f(x)是偶函数，得f(2.5)＝f(－2.5)＝f(1.5)．而1≤x≤2时，f(x)＝x－2，所以f(1.5)＝－0.5.由上知：f(6.5)＝－0.5.答案：－0.59．判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝lg（1－x2）|x2－2|－2；(2)f(x)＝x2＋x（x＜0），－x2＋x（x＞0）.解：(1)由1－x2＞0，|x2－2|－2≠0，得定义域(－1，0)∪(0，1)，这时f(x)＝lg（1－x2）－（x2－2）－2＝－lg（1－x2）x2.因为f(－x)＝－lg[1－（－x）2]（－x）2＝－lg（1－x2）x2＝f(x)．所以f(x)为偶函数．(2)当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝－(－x)2－x＝－(x2＋x)＝－f(x)．当x＞0时，－x＜0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－(－x2＋x)＝－f(x)．所以对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有f(－x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．10．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)＝－x2＋2x.(1)求函数f(x)在R上的解析式；(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数的取值范围．解：(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－x)＝－f(x)，且f(0)＝0，当x0时，－x0,则f(x)＝－f(－x)＝－(－x2－2x)＝x2＋2x，又f(0)满足f(x)＝x2＋2x，则f(x)＝－x2＋2x，x0x2＋2x，x≤0.(2)由(1)可得f(x)图象如下图所示：因为f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，所以－1a－2≤1，解得1a≤3.则a的取值范围为(1，3]．