（浙江专用）2020高考数学二轮复习 专题二 三角函数、平面向量与复数 第3讲 平面向量与复数课件

数学第2部分高考热点专题突破专题二三角函数、平面向量与复数第3讲平面向量与复数01考点102考点203考点304考点405专题强化训练[核心提炼]1．在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化；2．在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量．平面向量的概念与线性运算[典型例题](1)(2019·杭州模拟)如图所示，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，AB→＝a，AC→＝b，则AD→＝()A．a－12bB．12a－bC．a＋12bD．12a＋b(2)(2019·金华市十校联考)已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，点P满足OP→＝14(OA→＋OB→＋2OC→)，则S△PABS△OAB为()A．32B．23C．2D．12(3)(2019·嘉兴七校联考)在△ABC中，点D满足BD→＝34BC→，当点E在射线AD(不含点A)上移动时，若AE→＝λAB→＋μAC→，则(λ＋1)2＋μ2的取值范围为________．【解析】(1)连接CD，由点C，D是半圆弧的三等分点，得CD∥AB且CD→＝12AB→＝12a，所以AD→＝AC→＋CD→＝b＋12a.(2)如图，延长CO，交AB中点D，O是△ABC的重心，则OP→＝14(OA→＋OB→＋2OC→)＝14(2OD→＋2OC→)＝14(－OC→＋2OC→)＝14OC→，所以OP＝14OC＝14×23CD＝16CD；所以DP＝DO＋OP＝13CD＋16CD＝12CD，DO＝13CD；所以S△PABS△OAB＝DPDO＝12CD13CD＝32.(3)因为点E在射线AD(不含点A)上，设AE→＝kAD→(k0)，又BD→＝34BC→，所以AE→＝k(AB→＋BD→)＝kAB→＋34（AC→－AB→）＝k4AB→＋3k4AC→，所以λ＝k4μ＝3k4，(λ＋1)2＋μ2＝k4＋12＋916k2＝58k＋252＋9101，故(λ＋1)2＋μ2的取值范围为(1，＋∞)．【答案】(1)D(2)A(3)(1，＋∞)平面向量的线性运算技巧(1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底，同时注意共线向量定理的灵活运用．(2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系．[对点训练]1．(2019·瑞安市四校联考)设M是△ABC边BC上的点，N为AM的中点，若AN→＝λAB→＋μAC→，则λ＋μ的值为()A.14B.13C.12D.1解析：选C.因为M在BC边上，所以存在实数t∈[0，1]使得BM→＝tBC→.AM→＝AB→＋BM→＝AB→＋tBC→＝AB→＋t(AC→－AB→)＝(1－t)AB→＋tAC→，因为N为AM的中点，所以AN→＝12AM→＝1－t2AB→＋t2AC→，所以λ＝1－t2，μ＝t2，所以λ＋μ＝1－t2＋t2＝12，故C正确．2．(2019·宁波诺丁汉大学附中期中考试)在△ABC中，BC＝7，AC＝6，cosC＝267.若动点P满足AP→＝(1－λ)AB→＋2λ3AC→，(λ∈R)，则点P的轨迹与直线BC，AC所围成的封闭区域的面积为()A．5B．10C．26D．46解析：选A.设AD→＝23AC→，因为AP→＝(1－λ)AB→＋2λ3AC→＝(1－λ)AB→＋λAD→，所以B，D，P三点共线．所以P点轨迹为直线BC.在△ABC中，BC＝7，AC＝6，cosC＝267，所以sinC＝57，所以S△ABC＝12×7×6×57＝15，所以S△BCD＝13S△ABC＝5.3．(2019·高考浙江卷)已知正方形ABCD的边长为1.当每个λi(i＝1，2，3，4，5，6)取遍±1时，|λ1AB→＋λ2BC→＋λ3CD→＋λ4DA→＋λ5AC→＋λ6BD→|的最小值是________，最大值是________．解析：以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图，则A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)，所以λ1AB→＋λ2BC→＋λ3CD→＋λ4DA→＋λ5AC→＋λ6BD→＝(λ1－λ3＋λ5－λ6，λ2－λ4＋λ5＋λ6)，所以当λ1－λ3＋λ5－λ6＝0λ2－λ4＋λ5＋λ6＝0时，可取λ1＝λ3＝1，λ5＝λ6＝1，λ2＝－1，λ4＝1，此时|λ1AB→＋λ2BC→＋λ3CD→＋λ4DA→＋λ5AC→＋λ6BD→|取得最小值0；取λ1＝1，λ3＝－1，λ5＝λ6＝1，λ2＝1，λ4＝－1，则|λ1AB→＋λ2BC→＋λ3CD→＋λ4DA→＋λ5AC→＋λ6BD→|取得最大值22＋42＝25.答案：025[核心提炼]1．平面向量的数量积的两种运算形式(1)数量积的定义：a·b＝|a||b|cosθ(其中θ为向量a，b的夹角)；(2)坐标运算：a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)时，a·b＝x1x2＋y1y2.平面向量的数量积2．平面向量的三个性质(1)若a＝(x，y)，则|a|＝a·a＝x2＋y2.(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB→|＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2.(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cosθ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22.[典型例题](1)(2018·高考浙江卷)已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为π3，向量b满足b2－4e·b＋3＝0，则|a－b|的最小值是()A．3－1B．3＋1C．2D．2－3(2)(2019·浙江新高考研究联盟)已知向量a，b，c满足|a|＝1，|b|＝k，|c|＝2－k且a＋b＋c＝0，则b与c夹角的余弦值的取值范围是________．【解析】(1)设O为坐标原点，a＝OA→，b＝OB→＝(x，y)，e＝(1，0)，由b2－4e·b＋3＝0得x2＋y2－4x＋3＝0，即(x－2)2＋y2＝1，所以点B的轨迹是以C(2，0)为圆心，1为半径的圆．因为a与e的夹角为π3，所以不妨令点A在射线y＝3x(x0)上，如图，数形结合可知|a－b|min＝|CA→|－|CB→|＝3－1.故选A.(2)设b与c的夹角为θ，由题b＋c＝－a，所以b2＋c2＋2b·c＝1.即cosθ＝2k2－4k＋32k2－4k＝1＋32（k－1）2－2.因为|a|＝|b＋c|≥|b－c|，所以|2k－2|≤1.所以12≤k≤32.所以－1≤cosθ≤－12.【答案】(1)A(2)－1，－12(1)平面向量数量积的计算①涉及数量积和模的计算问题，通常有两种求解思路(ⅰ)直接利用数量积的定义；(ⅱ)建立坐标系，通过坐标运算求解．②在利用数量积的定义计算时，要善于将相关向量分解为图形中模、夹角和已知的向量进行计算．(2)求解向量数量积最值问题的两种思路①直接利用数量积公式得出代数式，依据代数式求最值．②建立平面直角坐标系，通过坐标运算得出函数式，转化为求函数的最值．[对点训练]1．(2019·嘉兴市高考一模)已知平面向量a、b满足|a|＝|b|＝1，a·b＝12，若向量c满足|a－b＋c|≤1，则|c|的最大值为()A．1B．2C．3D．2解析：选D.由平面向量a、b满足|a|＝|b|＝1，a·b＝12，可得|a|·|b|·cos〈a，b〉＝1·1·cos〈a，b〉＝12，由0≤〈a，b〉≤π，可得〈a，b〉＝π3，设a＝(1，0)，b＝12，32，c＝(x，y)，则|a－b＋c|≤1，即有12＋x，y－32≤1，即为x＋122＋y－322≤1，故|a－b＋c|≤1的几何意义是在以－12，32为圆心，半径等于1的圆上和圆内部分，|c|的几何意义是表示向量c的终点与原点的距离，而原点在圆上，则最大值为圆的直径，即为2.2．如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于点O.记I1＝OA→·OB→，I2＝OB→·OC→，I3＝OC→·OD→，则()A．I1＜I2＜I3B．I1＜I3＜I2C．I3＜I1＜I2D．I2＜I1＜I3解析：选C.如图所示，四边形ABCE是正方形，F为正方形的对角线的交点，易得AOAF，而∠AFB＝90°，所以∠AOB与∠COD为钝角，∠AOD与∠BOC为锐角．根据题意，I1－I2＝OA→·OB→－OB→·OC→＝OB→·(OA→－OC→)＝OB→·CA→＝|OB→|·|CA→|·cos∠AOB0，所以I1I2，同理得，I2I3，作AG⊥BD于G，又AB＝AD，所以OBBG＝GDOD，而OAAF＝FCOC，所以|OA→|·|OB→||OC→|·|OD→|，而cos∠AOB＝cos∠COD0，所以OA→·OB→OC→·OD→，即I1I3.所以I3I1I2.3．(2019·金华十校高考模拟)若非零向量a，b满足：a2＝(5a－4b)·b，则cos〈a，b〉的最小值为________．解析：非零向量a，b满足：a2＝(5a－4b)·b，可得a·b＝15(a2＋4b2)＝15(|a|2＋4|b|2)≥15·2|a|2·4|b|2＝45|a|·|b|，即有cos〈a，b〉＝a·b|a|·|b|≥45·|a|·|b||a|·|b|＝45，当且仅当|a|＝2|b|，取得最小值45.答案：45[核心提炼]平面向量具有代数形式与几何形式的“双重身份”，常与三角函数、解三角形、平面解析几何、函数、数列、不等式等知识交汇命题，平面向量的“位置”为：一是作为解决问题的工具，二是通过运算作为命题条件．平面向量与其他知识的交汇[典型例题](1)如图，已知点D为△ABC的边BC上一点，BD→＝3DC→，En(n∈N*)为边AC上的列点，满足EnA→＝14an＋1·EnB→－(3an＋2)EnD→，其中实数列{an}中，an＞0，a1＝1，则数列{an}的通项公式为an＝()A．3·2n－1－2B．2n－1C．3n－1D．2·3n－1－1(2)已知在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量p＝(cosB＋sinB，2sinB－2)，q＝(sinB－cosB，1＋sinB)，且p⊥q.①求B的大小；②若b＝2，△ABC的面积为3，求a，c.【解】(1)选D.因为BD→＝3DC→，所以EnC→＝EnB→＋BC→＝EnB→＋43BD→＝EnB→＋43(BEn→＋EnD→)＝－13EnB→＋43EnD→.设mEnC→＝EnA→，则由EnA→＝14an＋1EnB→－(3an＋2)EnD→，得(14an＋1＋13m)EnB→－(43m＋3an＋2)EnD→＝0，则－13m＝14an＋1，43m＝－(3an＋2)，所以14an＋1＝14(3an＋2)，所以an＋1＋1＝3(an＋1)．因为a1＋1＝2，所以数列{an＋1}是以2为首项，3为公比的等比数列，所以an＋1＝2·3n－1，所以an＝2·3n－1－1.(2)①因为p⊥q，所以p·q＝(cosB＋sinB)(sinB－cosB)＋(2sinB－2)·(1＋sinB)＝0，即3sin2B－cos2B－2＝0，即sin2B＝34，又角B是锐角三角形ABC的内角，所以sinB＝32，所以B＝60°.②由①得B＝60°，又△ABC的面积为3，所以S△ABC＝12acsinB，即ac＝4.①由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，又b＝2，所以a2＋c2＝8，②联立①②，解得a＝c＝2.平面向量与其他知识的交汇点主要体现在与三角函数、立体几何、解析几何，求最值．(1)利用平面向量的知识给出三角函数之间的一些关系，解题的关键还是三角函数的知识．在解析几何中只是利用向量知识给出一些几何量的位置关系和数量关系，在解题中要善于根据向量知识分析解析几何