（浙江专用）2020版高考数学大一轮复习 第五章 平面向量、复数 第1讲 平面向量的概念及线性运算课

第五章平面向量、复数知识点考纲下载平面向量的几何意义及基本概念理解平面向量及几何意义，理解零向量、向量的模、单位向量、向量相等、平行向量、向量夹角的概念.向量的线性运算掌握平面向量加法、减法、数乘的概念，并理解其几何意义.第五章平面向量、复数知识点考纲下载平面向量的基本定理及坐标表示理解平面向量的基本定理及其意义，会用平面向量基本定理解决简单问题．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．掌握平面向量的加法、减法与数乘的坐标运算.第五章平面向量、复数知识点考纲下载平面向量的数量积及向量的应用理解平面向量数量积的概念及其几何意义．掌握平面向量数量积的坐标运算，掌握数量积与两个向量的夹角之间的关系．会用坐标表示平面向量的平行与垂直．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.第五章平面向量、复数知识点考纲下载复数了解复数的定义、复数的模和复数相等的概念．了解复数的加、减运算的几何意义．理解复数代数形式的四则运算.第五章平面向量、复数第1讲平面向量的概念及线性运算1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有_____的量叫做向量，向量的大小叫做向量的___．(2)零向量：长度为__的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于________的向量．方向模01个单位(4)平行向量：方向相同或_____的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向_____的向量．(6)相反向量：长度相等且方向_____的向量．相同相反相反2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：a＋b＝_____；结合律：(a＋b)＋c＝____________b＋aa＋(b＋c)向量运算定义法则(或几何意义)运算律减法求a与b的相反向量－b的和的运算a－b＝a＋(－b)向量运算定义法则(或几何意义)运算律数乘求实数λ与向量a的积的运算|λa|＝______，当λ0时，λa与a的方向_____；当λ0时，λa与a的方向_____；当λ＝0时，λa＝__λ(μa)＝________；(λ＋μ)a＝__________；λ(a＋b)＝_______|λ||a|相同相反0(λμ)aλa＋μaλa＋λb3.两个向量共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得______．[说明]三点共线的等价关系A，P，B三点共线⇔AP→＝λAB→(λ≠0)⇔OP→＝(1－t)·OA→＋tOB→(O为平面内异于A，P，B的任一点，t∈R)⇔OP→＝xOA→＋yOB→(O为平面内异于A，P，B的任一点，x∈R，y∈R，x＋y＝1)．b＝λa判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段表示向量．()(2)AB→＋BC→＋CD→＝AD→.()(3)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．()(4)若向量AB→与向量CD→是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．()(5)若a∥b，b∥c，则a∥c.()(6)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．()×√×××√如图所示，D是△ABC的边AB的中点，则向量CD→＝()A．－BC→＋12BA→B．－BC→＋12AB→C．BC→－12BA→D．BC→＋12BA→解析：选A.因为CD→＝CB→＋BD→，CB→＝－BC→，BD→＝12BA→，所以CD→＝－BC→＋12BA→.(2019·瑞安模拟)在四边形ABCD中，若AC→＝AB→＋AD→，则四边形ABCD一定是()A．矩形B．菱形C．正方形D．平行四边形解析：选D.依题意得AB→＋BC→＝AB→＋AD→，则BC→＝AD→，因此BC∥AD，且BC＝AD，所以四边形ABCD是平行四边形，故选D.给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a，b都是单位向量，则a＝b；③向量AB→与BA→相等．则所有正确命题的序号是________．解析：根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量AB→与BA→互为相反向量，故③错误．答案：①已知平面内四点A，B，C，D，若AD→＝2DB→，CD→＝13CA→＋λCB→，则λ的值为________．解析：依题意知点A，B，D三点共线，于是有13＋λ＝1，λ＝23.答案：23给出下列命题：①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；③若A，B，C，D是不共线的四点，且AB→＝DC→，则ABCD为平行四边形；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；其中真命题的序号是________．平面向量的有关概念【解析】①是错误的，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点．②是错误的，|a|＝|b|，但a，b方向不确定，所以a，b不一定相等或相反．③是正确的，因为AB→＝DC→，所以|AB→|＝|DC→|且AB→∥DC→；又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形．④是错误的，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以“|a|＝|b|且a∥b”不是“a＝b”的充要条件，而是必要不充分条件．【答案】③平面向量有关概念的四个关注点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的移动混淆．(4)非零向量a与a|a|的关系：a|a|是与a同方向的单位向量．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量一定是共线向量；②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；③若λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；④已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中正确命题的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：选A.①错误．两向量共线要看其方向而不是看起点与终点．②正确．因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．③错误．当a＝0时，无论λ为何值，λa＝0.④错误．当λ＝μ＝0时，λa＝μb，此时，a与b可以是任意向量．平面向量的线性运算包括向量的加、减及数乘运算，是高考考查向量的热点．常以选择题、填空题的形式出现．主要命题角度有：(1)用已知向量表示未知向量；(2)求参数的值．平面向量的线性运算(高频考点)角度一用已知向量表示未知向量如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个靠近B点的三等分点，那么EF→等于()A．12AB→－13AD→B．14AB→＋12AD→C．13AB→＋12DA→D．12AB→－23AD→【解析】在△CEF中，有EF→＝EC→＋CF→.因为点E为DC的中点，所以EC→＝12DC→.因为点F为BC的一个靠近B点的三等分点，所以CF→＝23CB→.所以EF→＝12DC→＋23CB→＝12AB→＋23DA→＝12AB→－23AD→，故选D.【答案】D角度二求参数的值如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AH⊥BC于点H，M为AH的中点．若AM→＝λAB→＋μBC→，则λ＋μ＝________．【解析】因为AB＝2，∠ABC＝60°，AH⊥BC，所以BH＝1.因为点M为AH的中点，所以AM→＝12AH→＝12(AB→＋BH→)＝12AB→＋13BC→＝12AB→＋16BC→，又AM→＝λAB→＋μBC→，所以λ＝12，μ＝16，所以λ＋μ＝23.【答案】23向量线性运算的解题策略(1)向量的加减常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．1．(2019·嘉兴质检)已知平行四边形ABCD，点M1，M2，M3，…，Mn－1和N1，N2，N3，…，Nn－1分别将线段BC和DC进行n等分(n∈N*，n≥2)，如图，若AM1→＋AM2→＋…＋AMn－1＋AN1→＋AN2→＋…＋ANn－1＝45AC→，则n＝()A．29B．30C．31D．32解析：选C.由题图知，因为AM1→＝AB→＋1nBC→，AM2→＝AB→＋2nBC→，…，AMn－1＝AB→＋n－1nBC→，AN1→＝AD→＋1nDC→，AN2→＝AD→＋2nDC→，…，ANn－1＝AD→＋n－1nDC→.AB→＝DC→，AD→＝BC→.所以AM1→＋AM2→＋…＋AMn－1＋AN1→＋AN2→＋…＋ANn－1＝n－1＋1n＋2n＋…＋n－1n·(AD→＋AB→)＝3（n－1）2AC→，所以3（n－1）2＝45，解得n＝31.故选C.2．已知D为三角形ABC的边BC的中点，点P满足PA→＋BP→＋CP→＝0，AP→＝λPD→，则实数λ的值为________．解析：因为D为边BC的中点，所以PB→＋PC→＝2PD→，又PA→＋BP→＋CP→＝0，所以PA→＝PB→＋PC→＝2PD→，所以AP→＝－2PD→，与AP→＝λPD→比较，得λ＝－2.答案：－2设两个非零向量a与b不共线．(1)若AB→＝a＋b，BC→＝2a＋8b，CD→＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．平面向量共线定理的应用【解】(1)证明：因为AB→＝a＋b，BC→＝2a＋8b，CD→＝3(a－b)，所以BD→＝BC→＋CD→＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5AB→，所以AB→，BD→共线，又它们有公共点B，所以A，B，D三点共线．(2)因为ka＋b与a＋kb共线，所以存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即(k－λ)a＝(λk－1)b.又a，b是两个不共线的非零向量，所以k－λ＝λk－1＝0.所以k2－1＝0.所以k＝±1.1．设e1，e2是两个不共线的向量，则向量a＝2e1－e2与向量b＝e1＋λe2(λ∈R)共线的充要条件是()A．λ＝0B．λ＝－1C．λ＝－2D．λ＝－12解析：选D.因为a＝2e1－e2，b＝e1＋λe2，e1，e2不共线，因为a，b共线⇔b＝12a⇔b＝e1－12e2⇔λ＝－12.2.如图，在△ABC中，D为BC的四等分点，且靠近点B，E，F分别为AC，AD的三等分点，且分别靠近A，D两点，设AB→＝a，AC→＝b.(1)试用a，b表示BC→，AD→，BE→；(2)证明：B，E，F三点共线．解：(1)△ABC中，AB→＝a，AC→＝b，所以BC→＝AC→－AB→＝b－a，AD→＝AB→＋BD→＝AB→＋14BC→＝a＋14(b－a)＝34a＋14b，BE→＝BA→＋AE→＝－AB→＋13AC→＝－a＋13b.(2)证明：BE→＝－a＋13b，BF→＝BA→＋AF→＝－AB→＋23AD→＝－a＋2334a＋14b＝－12a＋16b＝12－a＋13b，所以BF→＝12BE→，所以BF→与BE→共线，且有公共点B，所以B，E，F三点共线．求解向量共线问题的五个策略(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．(3)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.(4)直线的向量式参数方程：A，P，B三点共线⇔OP→＝(1－t)·OA→＋tOB→(O为平面内任一点，t∈R)．(5)OA→＝λOB→＋μOC→(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.易错防范(1)作两个向量的差时，首先将两向量的起点平移到同一点，要注意差向量的方向是由减向量的终点指向被减向量的终点．(2)在向量共线的重要条件中易忽视“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．