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第四章三角函数、解三角形核心素养提升(四)本部分知识为浙江省高考必考内容,考查形式为一大一小两题呈现,分值为20分左右,难度均控制在中低档水平,是考生的易得分点.由三角函数解析式求解函数的性质经典考题1已知函数f(x)=4tanx·sinπ2-x·cos(x-π3)-3.(1)求f(x)的定义域与最小正周期;(2)讨论f(x)在区间-π4,π4上的单调性.【解】(1)f(x)的定义域为{x|x≠π2+kπ,k∈Z}.f(x)=4tanxcosxcosx-π3-3=4sinxcosx-π3-3=4sinx12cosx+32sinx-3=2sinxcosx+23sin2x-3=sin2x+3(1-cos2x)-3=sin2x-3cos2x=2sin2x-π3.所以f(x)的最小正周期T=2π2=π.(2)令z=2x-π3,函数y=2sinz的单调递增区间是-π2+2kπ,π2+2kπ,k∈Z.由-π2+2kπ≤2x-π3≤π2+2kπ,得-π12+kπ≤x≤5π12+kπ,k∈Z.设A=-π4,π4,B=x-π12+kπ≤x≤5π12+kπ,k∈Z,易知A∩B=-π12,π4.所以,当x∈-π4,π4时,f(x)在区间-π12,π4上单调递增,在区间-π4,-π12上单调递减.第一步:标准化已知解析式―――――――――――――――→三角函数基本关系与公式辅助角关系f(x)=Asin(ωx+φ)+B.第二步:整体思想将ωx+φ看成整体X,利用y=sinX的基本性质求解(但要注意函数的定义域).由三角函数图象求解析式及性质经典考题2某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)ω0,|φ|π2在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:ωx+φ0π2π3π22πxπ35π6Asin(ωx+φ)05-50(1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数f(x)的解析式;(2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ0)个单位长度,得到y=g(x)的图象.若y=g(x)图象的一个对称中心为5π12,0,求θ的最小值.【解】(1)根据表中已知数据,得A=5,ω=2,φ=-π6.数据补全如表:ωx+φ0π2π3π22πxπ12π37π125π61312πAsin(ωx+φ)050-50且函数解析式为f(x)=5sin2x-π6.(2)由(1)知f(x)=5sin2x-π6,则g(x)=5sin2x+2θ-π6.因为函数y=sinx图象的对称中心为(kπ,0),k∈Z.令2x+2θ-π6=kπ,解得x=kπ2+π12-θ,k∈Z.由于函数y=g(x)的图象关于点5π12,0成中心对称,所以令kπ2+π12-θ=5π12,解得θ=kπ2-π3,k∈Z.由θ0可知,当k=1时,θ取得最小值π6.第一步:从图形(或数据表)提取信息,求出解析式f(x)=Asin(ωx+φ).①A⇔最高(低)点.②T⇔图象与x轴交点(水平点)⇔ω=2πT.③φ⇔特殊点(一般为图象与x轴的交点),但要注意φ的范围.第二步:整体思想将ωx+φ看成整体X,利用y=sinX的基本性质求解.对三角函数与解三角形结合考查经典考题3设f(x)=sinxcosx-cos2x+π4.(1)求f(x)的单调区间;(2)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若fA2=0,a=1,求△ABC面积的最大值.【解】(1)由题意知f(x)=sin2x2-1+cos2x+π22=sin2x2-1-sin2x2=sin2x-12.由-π2+2kπ≤2x≤π2+2kπ,k∈Z,可得-π4+kπ≤x≤π4+kπ,k∈Z.由π2+2kπ≤2x≤3π2+2kπ,k∈Z,可得π4+kπ≤x≤3π4+kπ,k∈Z.所以,f(x)的单调递增区间是[-π4+kπ,π4+kπ](k∈Z);单调递减区间是π4+kπ,3π4+kπ(k∈Z).(2)由fA2=sinA-12=0,得sinA=12,由题意知A为锐角,所以cosA=32.由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,可得1+3bc=b2+c2≥2bc,即bc≤2+3,当且仅当b=c时等号成立.因此12bcsinA≤2+34.所以△ABC面积的最大值为2+34.第一步:标准化已知解析式――――――――――――→三角函数基本关系与公式辅助角关系f(x)=Asin(ωx+φ)+B.第二步:根据△ABC内角解三角函数关系,求出相应的角.第三步:根据解三角形的原理和方法求解三角形.已知边角关系求解三角形经典考题4△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c.(1)求C;(2)若c=7,△ABC的面积为332,求△ABC的周长.【解】(1)法一:由已知及正弦定理得,2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC,2cosCsin(A+B)=sinC,故2sinCcosC=sinC.可得cosC=12,因为C∈(0,π),所以C=π3.法二:由已知和余弦定理得,2cosCa·a2+c2-b22ac+b·b2+c2-a22bc=c.所以2ccosC=c,即cosC=12.因为C∈(0,π),所以C=π3.(2)由已知,12absinC=332.又C=π3,所以ab=6.由已知及余弦定理得,a2+b2-2abcosC=7,故a2+b2=13,从而(a+b)2=25.所以△ABC的周长为5+7.第一步:边角关系①仅有边与角的正弦关系―――――――→正弦定理边转化为角关于角的三角函数―――――――→标准化在(0,π)上求角度.②有边角的正、余弦关系―――――――――→正(或余)弦定理边角互化关于边(或角)的关系角的关系―――――→标准化在(0,π)上求角度.边的关系―――――→余弦定理求角度.③在△ABC中,acosB+bcosA=c,acosC+ccosA=b,bcosC+ccosB=a,可直接引用.第二步:三有三选①问题中含三边一角(已知与求解)选余弦定理.②问题中两边一角或两角一边(已知与求解)选正弦定理.③问题中含面积时,选择“夹角”面积公式.已知三边关系求解三角形及最值经典考题5在△ABC中,a2+c2=b2+2ac.(1)求角B的大小;(2)求2cosA+cosC的最大值;(3)(名师加编)若b=4,求△ABC面积的最大值与周长的范围.【解】(1)由余弦定理及题设得cosB=a2+c2-b22ac=2ac2ac=22.又0Bπ,所以B=π4.(2)由(1)知A+C=3π4,则2cosA+cosC=2cosA+cos3π4-A=2cosA-22cosA+22sinA=22cosA+22sinA=cosA-π4.因为0A3π4,所以当A=π4时,2cosA+cosC取得最大值1.(3)由题意知a2+c2-2ac=16,由基本不等式得16≥(2-2)ac.所以ac≤162-2=8(2+2),当且仅当a=c=24+22时取等号.所以S△ABC=12acsinB≤12×8(2+2)×22=4(2+1),即当a=c=24+22时,S△ABC的最大值为4(2+1).又由a2+c2-2ac=16,得(a+c)2-(2+2)ac=16.由均值不等式a+c2≥ac知ac≤14(a+c)2,当且仅当a=c时取等号,所以(a+c)2-162+2≤14(a+c)2,所以(a+c)2≤32(2+2),所以a+c≤44+22,当且仅当a=c=24+22时,取等号.又a+cb=4,所以a+b+c2b,所以8a+b+c≤4(4+22+1),即周长的范围为(8,44+22+4].第一步:根据余弦定理求出需求的角度.第二步:求三角形的面积、周长的范围(最值)问题(函数思想的应用)(1)求面积的最大值.①利用第一步求出的角(例如B角)与余弦定理建立已求角与两边的二元二次关系.②根据基本不等式a2+c2≥2ac与①中的二元二次关系推出a,c的不等关系ac≤M.③根据夹角面积公式(例如S=12acsinB)得出面积的最大值.例如S≤12MsinB,当且仅当a=c时,Smax=12MsinB.(2)求周长的范围的两种突破方法.法一:①利用正弦定理asinA=bsinB=csinC(例如c与C已知)将边a,b用角的三角函数表示出来.②将周长a+b+c用角的三角函数表示,并化成msin(ωα+φ)+n的形式,根据α的范围求出msin(ωα+φ)+n的范围.③结合a+bc,从而求出周长a+b+c的最值(或范围).法二:①利用第一步求出的角(如C角)与余弦定理建立已求角的两边(a与b)的二元二次关系,并进行配方成(a+b)2+kab=c2(k为常数,c为已知).②根据均值不等式a+b2≥ab⇔ab≤14(a+b)2,与①中的式子结合,得出(a+b)2≤t(t为常数).③解出a+b的范围,结合a+bc,从而可得周长a+b+c的最值(或范围).已知角之间的关系解、证三角形经典考题6在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知2(tanA+tanB)=tanAcosB+tanBcosA.(1)证明:a+b=2c;(2)求cosC的最小值.【解】(1)证明:由题意知2sinAcosA+sinBcosB=sinAcosAcosB+sinBcosAcosB,化简得2(sinAcosB+sinBcosA)=sinA+sinB,即2sin(A+B)=sinA+sinB,因为A+B+C=π,所以sin(A+B)=sin(π-C)=sinC.从而sinA+sinB=2sinC.由正弦定理得a+b=2c.(2)由(1)知c=a+b2,所以cosC=a2+b2-c22ab=a2+b2-a+b222ab=38(ab+ba)-14≥12,当且仅当a=b时,等号成立.故cosC的最小值为12.第一步:化归,将给出的关于△ABC内角的三角函数关系化为正弦或余弦形式,根据三角函数公式,并结合内角和定理将式子与目标联系.第二步:根据正(余)弦定理,将角的形式转化为边的形式,根据目标进行化简求解.利用三角形中的几何元素转化求解三角形经典考题7在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,AD为边BC上的高,已知AD=36a,b=1.(1)若A=2π3,求c;(2)求c+1c的最大值.【解】(1)因为S△ABC=12bcsinA=12a·AD,即1·c·32=a·36a,3c=a2,根据余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,有3c=1+c2-2c·-12,即(c-1)2=0,故c=1.(2)因为S△ABC=12a·AD=12×36·a2,又因为S△ABC=12bcsinA=12csinA,所以36a2=csinA,则a2=23csinA,又因为cosA=c2+1-a22c=c2+1-23csinA2c,所以c+1c=23sinA+2cosA=4sinA+π6,当A=π3时,有c+1cmax=4.第一步:作出示意图,并适当标注已知元素.第二步:将条件和结论相结合对照,视其关系选择相关定理列式(要特别关注两三角形公共边(角)或邻角(邻补角)的关系,列方程(组)求解).第三步:求解过程中应注意三角形所固有的性质(例如:内角和定理,边角大小对应关系,两边之和(差)与第三边的关系等).
本文标题:(浙江专用)2020版高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形核心素养提升(四)课件
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