（浙江专用）2020版高考数学大一轮复习 第七章 不等式 第4讲 基本不等式课件

第七章不等式第4讲基本不等式1．基本不等式：ab≤a＋b2(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当_____时取等号．(3)其中______称为正数a，b的算术平均数，_______称为正数a，b的几何平均数．a＝ba＋b2ab2．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥____(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．(2)ab≤a＋b22(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．(3)a2＋b22≥a＋b22(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．(4)ba＋ab≥__(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号．2ab23．利用基本不等式求最值已知x≥0，y≥0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当_____时，x＋y有最小值是____．(简记：积定和最小)(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当_____时，xy有最大值是___．(简记：和定积最大)x＝y2px＝ys24判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝x＋1x的最小值是2.()(2)ab≤a＋b22成立的条件是ab0.()(3)“x0且y0”是“xy＋yx≥2”的充要条件．()(4)若a0，则a3＋1a2的最小值是2a.()××××(教材习题改编)设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为()A．80B．77C．81D．82解析：选C.xy≤x＋y22＝1822＝81，当且仅当x＝y＝9时等号成立，故选C.(2019·温州模拟)设a0，b0，若a＋b＝1，则1a＋1b的最小值是()A．2B．14C．4D．8解析：选C.由题意1a＋1b＝a＋ba＋a＋bb＝2＋ba＋ab≥2＋2ba×ab＝4，当且仅当ba＝ab，即a＝b＝12时，取等号，所以最小值为4.(2019·舟山市普陀三中高三期中)已知函数f(x)＝x2－4x＋5x－2(x＞2)，当且仅当x＝________时，f(x)取到最小值为________．解析：因为x＞2，所以x－2＞0，所以函数f(x)＝x2－4x＋5x－2＝（x－2）2＋1x－2＝(x－2)＋1x－2≥2（x－2）·1x－2＝2，当且仅当x＝3时取等号，故最小值为2.答案：32(2019·宁波市余姚中学高三期中)已知实数x，y，实数a＞1，b＞1，且ax＝by＝2，(1)若ab＝4，则1x＋1y＝________；(2)a2＋b＝8，则2x＋1y的最大值是________．解析：(1)因为ax＝by＝2，所以x＝loga2，y＝logb2，由ab＝4，则1x＋1y＝1loga2＋1logb2＝log2(ab)＝2.(2)又a2＋b＝8，所以2x＋1y＝2loga2＋1logb2＝log2(a2b)≤log2a2＋b22＝4，当且仅当a2＝b＝4时取等号，因此最大值为4.答案：(1)2(2)4(高频考点)利用基本不等式求最值是高考的常考内容，题型主要为选择题、填空题．主要命题角度有：(1)求不含等式条件的函数最值；(2)求含有等式条件的函数最值．利用基本不等式求最值角度一求不含等式条件的函数最值(1)函数f(x)＝xx2＋3x＋1(x0)的最大值为________．(2)已知x54，则f(x)＝4x－2＋14x－5的最大值为________．【解析】(1)因为x0，则f(x)＝xx2＋3x＋1＝1x＋1x＋3≤12x·1x＋3＝15，当且仅当x＝1x时等号成立．(2)因为x54，所以5－4x0，则f(x)＝4x－2＋14x－5＝－5－4x＋15－4x＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x＝15－4x，即x＝1时，等号成立．故f(x)＝4x－2＋14x－5的最大值为1.【答案】(1)15(2)1角度二求含有等式条件的函数最值(1)已知x0，y0，lg2x＋lg8y＝lg2，则1x＋13y的最小值是()A．2B．22C．4D．23(2)(2019·杭州中学高三月考)函数y＝loga(x＋3)－1(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中m，n均大于0，则1m＋2n的最小值为()A．2B．4C．8D．16【解析】(1)因为lg2x＋lg8y＝lg2，所以x＋3y＝1，所以1x＋13y＝1x＋13y(x＋3y)＝2＋3yx＋x3y≥4，当且仅当3yx＝x3y，即x＝12，y＝16时，取等号．(2)因为x＝－2时，y＝loga1－1＝－1，所以函数y＝loga(x＋3)－1(a＞0，a≠1)的图象恒过定点(－2，－1)，即A(－2，－1)，因为点A在直线mx＋ny＋1＝0上，所以－2m－n＋1＝0，即2m＋n＝1，因为m＞0，n＞0，1m＋2n＝1m＋2n(2m＋n)＝2＋nm＋4mn＋2≥4＋2nm·4mn＝8，当且仅当m＝14，n＝12时取等号，故选C.【答案】(1)C(2)C利用基本不等式求最值的方法(1)知和求积的最值：“和为定值，积有最大值”．但应注意以下两点：①具备条件——正数；②验证等号成立．(2)知积求和的最值：“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件．(3)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解．1．设a，b0，a＋b＝5，则a＋1＋b＋3的最大值为________．解析：令t＝a＋1＋b＋3，则t2＝a＋1＋b＋3＋2（a＋1）（b＋3）＝9＋2（a＋1）（b＋3）≤9＋a＋1＋b＋3＝13＋a＋b＝13＋5＝18，当且仅当a＋1＝b＋3时取等号，此时a＝72，b＝32.所以tmax＝18＝32.答案：322．(2019·瑞安市龙翔高中高三月考)设x，y满足约束条件3x－y－2≤0x－y≥0x≥0，y≥0，若目标函数z＝ax＋by(a＞1，b＞2)的最大值为5，则1a－1＋4b－2的最小值为________．解析：由约束条件3x－y－2≤0x－y≥0x≥0，y≥0，作出可行域如图，联立x－y＝03x－y－2＝0，解得A(1，1)．由z＝ax＋by(a＞1，b＞2)，得y＝－abx＋zb，由图可知，zmax＝a＋b＝5.可得a－1＋b－2＝2.所以1a－1＋4b－2＝121a－1＋4b－2(a－1＋b－2)＝125＋b－2a－1＋4（a－1）b－2≥125＋2b－2a－1×4（a－1）b－2＝92.当且仅当b＝2a时等号成立，并且a＋b＝5，a1，b2即a＝53，b＝103时上式等号成立．所以1a－1＋4b－2的最小值为92.答案：92已知不等式(x＋y)1x＋ay≥9对任意的正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为________．利用转化思想求参数【解析】(x＋y)1x＋ay＝1＋a＋yx＋axy≥1＋a＋2a＝(a＋1)2(x，y，a0)，当且仅当y＝ax时取等号，所以(x＋y)·1x＋ay的最小值为(a＋1)2，于是(a＋1)2≥9恒成立．所以a≥4.【答案】4(1)涉及恒成立问题的数学问题，一般将其转化为最值问题处理，即a≥f(x)恒成立，则a≥f(x)max；a≤f(x)恒成立，则a≤f(x)min.(2)涉及多个变元问题时，用常量与变元的转化思想处理．如本例先把参数a看作常量，求得含参数a的最值，再将其转化为变量处理．1．(2019·浙江省名校联考)已知函数f(x)＝x＋ax＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a的值是()A．12B．32C．1D．2解析：选C.由题意可得a＞0，①当x＞0时，f(x)＝x＋ax＋2≥2a＋2，当且仅当x＝a时取等号；②当x＜0时，f(x)＝x＋ax＋2≤－2a＋2，当且仅当x＝－a时取等号．所以2－2a＝0，2a＋2＝4，解得a＝1，故选C.2．(2019·金丽衢十二校高三联考)若函数f(x)＝2x2－ax－1(a2)在区间(1，＋∞)上的最小值为6，则实数a的值为()A．2B．32C．1D．12解析：选B.f(x)＝2x2－ax－1＝2（x－1）2＋4（x－1）＋2－ax－1＝2(x－1)＋2－ax－1＋4≥22（x－1）·2－ax－1＋4＝24－2a＋4，当且仅当2(x－1)＝2－ax－1⇒x＝1＋2－a2时，等号成立，所以24－2a＋4＝6⇒a＝32，故选B.如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过点C，已知AB＝3米，AD＝2米．利用不等式解决实际问题(1)要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？(2)当DN的长度为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．【解】(1)设DN的长为x(x0)米，则|AN|＝(x＋2)米．因为|DN||AN|＝|DC||AM|，所以|AM|＝3（x＋2）x，所以S矩形AMPN＝|AN|·|AM|＝3（x＋2）2x.由S矩形AMPN32得3（x＋2）2x32.又x0得3x2－20x＋120，解得0x23或x6，即DN长的取值范围是0，23∪(6，＋∞)．(2)矩形花坛的面积为y＝3（x＋2）2x＝3x2＋12x＋12x＝3x＋12x＋12(x0)≥23x·12x＋12＝24.当且仅当3x＝12x即x＝2时，矩形花坛的面积最小为24平方米．(1)利用基本不等式求解实际问题的注意事项①根据实际问题抽象出目标函数的表达式，再利用基本不等式求得函数的最值．②设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．③解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．④在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．(2)此类问题还常与一元二次函数、一元二次不等式结合命题，求解关键是构建函数与不等关系，在实际条件下解决．某公司生产的商品A，当每件售价为5元时，年销售10万件．(1)据市场调查，若价格每提高1元，销量相应减少1万件，要使销售收入不低于原销售收入，该商品的销售价格最多可提高多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，公司决定对该商品的生产进行技术革新，将技术革新后生产的商品售价提高到每件x元，公司拟投入12(x2＋x)万元作为技改费用，投入x4万元作为宣传费用．试问：技术革新后生产的该商品销售量m至少应达到多少万件时，才能使技术革新后的该商品销售收入等于原销售收入与总投入之和？解：(1)设商品的销售价格提高a元，则(10－a)(5＋a)≥50，解得0≤a≤5.所以商品的价格最多可以提高5元．(2)由题意知，技术革新后的销售收入为mx万元，若技术革新后的销售收入等于原销售收入与总投入之和，只需满足mx＝12(x2＋x)＋x4＋50(x5)即可，此时m＝12x＋34＋50x≥2x2·50x＋34＝434，当且仅当12x＝50x，即x＝10时，取“＝”．故销售量至少应达到434万件，才能使技术革新后的销售收入等于原销售收入与总投入之和．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点．对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如：ab≤a＋b22≤a2＋b22，ab≤a＋b2≤a2＋b22(a0，b0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件．对使用基本不等式时等号取不到的情况，可考虑使用函数y＝x＋mx(m0)的单调性．易错防范(1)使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．(2)连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．