（浙江专用）2020版高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 第9讲 曲线与方程课件

第九章平面解析几何第9讲曲线与方程1．曲线与方程在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是_____________；(2)以这个方程的解为坐标的点都在_______．那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线．这个方程的解曲线上2．曲线的交点设曲线C1的方程为F1(x，y)＝0，曲线C2的方程为F2(x，y)＝0，则C1，C2的交点坐标即为方程组F1（x，y）＝0，F2（x，y）＝0的_______，若此方程组无解，则两曲线无交点．实数解3．求动点的轨迹方程的一般步骤(1)建系——建立适当的坐标系；(2)设点——设轨迹上的任一点P(x，y)；(3)列式——列出动点P所满足的关系式；(4)代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于x，y的方程式，并化简；(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件．()(2)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线．()(3)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的．()(4)方程y＝x与x＝y2表示同一曲线．()(5)y＝kx与x＝1ky表示同一直线．()√××××方程x＝1－4y2所表示的曲线是()A．双曲线的一部分B．椭圆的一部分C．圆的一部分D．直线的一部分解析：选B.x＝1－4y2两边平方，可变为x2＋4y2＝1(x≥0)，表示的曲线为椭圆的一部分．已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1，2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程是()A．2x＋y＋1＝0B．2x－y－5＝0C．2x－y－1＝0D．2x－y＋5＝0解析：选D.由题意知，M为PQ中点，设Q(x，y)，则P为(－2－x，4－y)，代入2x－y＋3＝0得2x－y＋5＝0.(教材习题改编)已知方程ax2＋by2＝2的曲线经过点A0，53和B(1，1)，则曲线方程为________．解析：由题意得259b＝2，a＋b＝2，解得a＝3225，b＝1825.所以曲线方程为3225x2＋1825y2＝2，即1625x2＋925y2＝1.答案：1625x2＋925y2＝1平面上有三个不同点A(－2，y)，B0，y2，C(x，y)，若AB→⊥BC→，则动点C的轨迹方程为________．解析：AB→＝2，－y2，BC→＝x，y2，由AB→⊥BC→，得AB→·BC→＝0，即2x＋－y2·y2＝0，所以动点C的轨迹方程为y2＝8x(x≠0)．答案：y2＝8x(x≠0)已知A(－5，0)，B(5，0)，动点P满足|PB→|，12|PA→|，8成等差数列，则点P的轨迹方程为________．定义法求轨迹方程【解析】由已知得|PA→|－|PB→|＝8，所以点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支，且a＝4，b＝3，c＝5，所以点P的轨迹方程为x216－y29＝1(x≥4)．【答案】x216－y29＝1(x≥4)若将本例中的条件“|PB→|，12|PA→|，8”改为“|PA→|，12|PB→|，8”，求点P的轨迹方程．解：由已知得|PB→|－|PA→|＝8，所以点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的左支，且a＝4，b＝3，c＝5，所以点P的轨迹方程为x216－y29＝1(x≤－4)．定义法求轨迹方程(1)在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程；(2)利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制．1．(2019·百所名校联考)已知△ABC的顶点B(0，0)，C(5，0)，AB边上的中线长|CD|＝3，则顶点A的轨迹方程为__________________．解析：设A(x，y)，由题意可知Dx2，y2.又因为|CD|＝3，所以x2－52＋y22＝9，即(x－10)2＋y2＝36，由于A、B、C三点不共线，所以点A不能落在x轴上，即y≠0，所以点A的轨迹方程为(x－10)2＋y2＝36(y≠0)．答案：(x－10)2＋y2＝36(y≠0)2．(2019·杭州七校模拟)已知动圆C过点A(－2，0)，且与圆M：(x－2)2＋y2＝64相内切．求动圆C的圆心的轨迹方程．解：圆M：(x－2)2＋y2＝64，圆心M的坐标为(2，0)，半径R＝8.因为|AM|＝4R，所以点A(－2，0)在圆M内．设动圆C的半径为r，依题意得r＝|CA|，且|CM|＝R－r，即|CM|＋|CA|＝8|AM|.所以圆心C的轨迹是中心在原点，焦点为A，M，长轴长为8的椭圆，设其方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，则a＝4，c＝2.所以b2＝a2－c2＝12.所以动圆C的圆心的轨迹方程为x216＋y212＝1.直接法求点的轨迹方程是求轨迹方程的一种重要方法，也是高考考查的重要内容．主要命题角度有：(1)已知动点满足的关系式求轨迹方程(或判断轨迹)；(2)无明确等量关系求轨迹方程．直接法求轨迹方程(高频考点)角度一已知动点满足的关系式求轨迹方程(或判断轨迹)已知点F(0，1)，直线l：y＝－1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且QP→·QF→＝FP→·FQ→，则动点P的轨迹C的方程为()A．x2＝4yB．y2＝3xC．x2＝2yD．y2＝4x【解析】设点P(x，y)，则Q(x，－1)．因为QP→·QF→＝FP→·FQ→，所以(0，y＋1)·(－x，2)＝(x，y－1)·(x，－2)，即2(y＋1)＝x2－2(y－1)，整理得x2＝4y，所以动点P的轨迹C的方程为x2＝4y.【答案】A角度二无明确等量关系求轨迹方程(2019·金华十校联考)已知直角三角形ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)．求直角顶点C的轨迹方程．【解】法一：设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.因为AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1，又kAC＝yx＋1，kBC＝yx－3，所以yx＋1·yx－3＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．法二：设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1，0)，由直角三角形的性质知|CD|＝12|AB|＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．直接法求曲线方程的一般步骤(1)建立合理的直角坐标系；(2)设出所求曲线上点的坐标，把几何条件或等量关系用坐标表示为代数方程；(3)化简整理这个方程，检验并说明所求的方程就是曲线的方程．直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系“翻译”为代数方程，要注意“翻译”的等价性．[提醒]对方程化简时，只要前后方程解集相同，证明一步可以省略，必要时可说明x，y的取值范围．1．已知|AB|＝2，动点P满足|PA|＝2|PB|，则动点P的轨迹方程为________．解析：如图所示，以AB的中点O为原点，直线AB为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(－1，0)，B(1，0)．设P(x，y)，因为|PA|＝2|PB|，所以（x＋1）2＋y2＝2（x－1）2＋y2，整理得x2＋y2－103x＋1＝0，即x－532＋y2＝169.所以动点P的轨迹方程为x－532＋y2＝169.答案：x－532＋y2＝1692．如图，过点P(2，4)作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴非负半轴于A点，l2交y轴非负半轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程．解：设点M坐标为(x，y)．因为M(x，y)为线段AB中点，所以点A，B的坐标分别为A(2x，0)，B(0，2y)．当x≠1时，因为l1⊥l2，且l1，l2过点P(2，4)，所以kPA·kPB＝－1，即0－42x－2·2y－40－2＝－1(x≠1)，化简得x＋2y－5＝0(x≠1)．当x＝1时，A，B分别为(2，0)，(0，4)，所以线段AB的中点为(1，2)，满足方程x＋2y－5＝0(x≥0，y≥0)．综上得M的轨迹方程为x＋2y－5＝0(x≥0，y≥0)．(2019·杭州模拟)已知点Q在椭圆C：x216＋y210＝1上，点P满足OQ→＝12(OF1→＋OP→)(其中O为坐标原点，F1为椭圆C的左焦点)，则点P的轨迹为()A．圆B．抛物线C．双曲线D．椭圆利用相关点法(代入法)求轨迹方程【解析】因为点P满足OQ→＝12(OF1→＋OP→)，所以Q是线段PF1的中点．设P(x1，y1)，由于F1为椭圆C：x216＋y210＝1的左焦点，则F1(－6，0)，故Qx1－62，y12，由点Q在椭圆C：x216＋y210＝1上，则点P的轨迹方程为（x1－6）264＋y2140＝1，故点P的轨迹为椭圆．【答案】D1．(2019·百所名校联考)已知双曲线x22－y2＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P(x1，y1)，Q(x1，－y1)是双曲线上不同于A1、A2的两个不同的动点，则直线A1P与A2Q交点的轨迹方程为________．解析：由题设知|x1|2，A1(－2，0)，A2(2，0)，则有直线A1P的方程为y＝y1x1＋2(x＋2)，①直线A2Q的方程为y＝－y1x1－2(x－2)，②联立①②，解得x＝2x1，y＝2y1x1，所以x1＝2x，y1＝2yx，③所以x≠0，且|x|2，因为点P(x1，y1)在双曲线x22－y2＝1上，所以x212－y21＝1.将③代入上式，整理得所求轨迹的方程为x22＋y2＝1(x≠0，且x≠±2)．答案：x22＋y2＝1(x≠0，且x≠±2)2．(2017·高考全国卷Ⅱ节选)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：x22＋y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足NP→＝2NM→.求点P的轨迹方程．解：设P(x，y)，M(x0，y0)，则N(x0，0)，NP→＝(x－x0，y)，NM→＝(0，y0)．由NP→＝2NM→得x0＝x，y0＝22y.因为M(x0，y0)在C上，所以x22＋y22＝1.因此点P的轨迹方程为x2＋y2＝2.求轨迹方程的常用方法(1)直接法：根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式(两点距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等)进行整理、化简，即把这种关系“翻译”成含x，y的等式就得到曲线的轨迹方程．(2)定义法：若动点轨迹满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量，求出动点的轨迹方程．(3)相关点法：有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的，如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程．易错防范(1)轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，前者指曲线的形状、位置、大小等特征，后者指方程(包括范围)．(2)求轨迹方程时易忽视轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响．