（浙江专用）2020版高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 第5讲 椭圆课件

第九章平面解析几何第5讲椭圆1．椭圆的定义条件结论1结论2平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2M点的轨迹为椭圆_______为椭圆的焦点_________为椭圆的焦距|MF1|＋|MF2|＝2a2a＞|F1F2|F1、F2|F1F2|2.椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)图形标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a性质对称性对称轴：_____________对称中心：(0，0)顶点A1(－a，0)，A2(a，0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b，0)，B2(b，0)轴长轴A1A2的长为___短轴B1B2的长为___焦距|F1F2|＝___离心率e＝___，e∈(0，1)a，b，c的关系c2＝_______x轴、y轴2a2b2ccaa2－b23.点与椭圆的位置关系已知点P(x0，y0)，椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)，则(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔x20a2＋y20b21；(2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔x20a2＋y20b2＝1；(3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔x20a2＋y20b21.4．椭圆中四个常用结论(1)P是椭圆上一点，F为椭圆的焦点，则|PF|∈[a－c，a＋c]，即椭圆上的点到焦点距离的最大值为a＋c，最小值为a－c；(2)椭圆的通径(过焦点且垂直于长轴的弦)长为2b2a，通径是最短的焦点弦；(3)P是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点，F1，F2为椭圆的两焦点，则△PF1F2的周长为2(a＋c)．(4)设P，A，B是椭圆上不同的三点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为定值－b2a2.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．()(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．()(3)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．()(4)方程mx2＋ny2＝1(m0，n0，m≠n)表示的曲线是椭圆．()(5)x2a2＋y2b2＝1(ab0)与y2a2＋x2b2＝1(ab0)的焦距相同．()××√√√(2017·高考浙江卷)椭圆x29＋y24＝1的离心率是()A．133B．53C．23D．59解析：选B.根据题意知，a＝3，b＝2，则c＝a2－b2＝5，所以椭圆的离心率e＝ca＝53，故选B.若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为()A．x25＋y2＝1B．x24＋y25＝1C．x25＋y2＝1或x24＋y25＝1D．以上答案都不对解析：选C.直线与坐标轴的交点为(0，1)，(－2，0)，由题意知当焦点在x轴上时，c＝2，b＝1，所以a2＝5，所求椭圆的标准方程为x25＋y2＝1.当焦点在y轴上时，b＝2，c＝1，所以a2＝5，所求椭圆的标准方程为y25＋x24＝1.故选C.若方程x25－k＋y2k－3＝1表示椭圆，则k的取值范围是________．解析：由已知得5－k0，k－30，5－k≠k－3，解得3k5且k≠4.答案：(3，4)∪(4，5)(教材习题改编)椭圆C：x225＋y216＝1的左右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆C于A、B两点，则△F1AB的周长为________．解析：△F1AB的周长为|F1A|＋|F1B|＋|AB|＝|F1A|＋|F2A|＋|F1B|＋|F2B|＝2a＋2a＝4a.在椭圆x225＋y216＝1中，a2＝25，a＝5，所以△F1AB的周长为4a＝20.答案：20(1)(2019·金华十校联考)设F1，F2分别是椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左，右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|F1B|，且|AB|＝4，△ABF2的周长为16.则|AF2|＝________．(2)(2019·杭州模拟)已知F1、F2是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面积为9，则b＝________．椭圆的定义及应用【解析】(1)由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4，得|AF1|＝3，因为△ABF2的周长为16，所以4a＝16，所以a＝4.则|AF1|＋|AF2|＝2a＝8，所以|AF2|＝8－|AF1|＝8－3＝5.(2)设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则r1＋r2＝2a，r21＋r22＝4c2，所以2r1r2＝(r1＋r2)2－(r21＋r22)＝4a2－4c2＝4b2，所以S△PF1F2＝12r1r2＝b2＝9，所以b＝3.【答案】(1)5(2)3本例(2)中增加条件“△PF1F2的周长为18”，其他条件不变，求该椭圆的方程．解：由原题得b2＝a2－c2＝9，又2a＋2c＝18，所以a－c＝1，解得a＝5，故椭圆的方程为x225＋y29＝1.(1)椭圆定义的应用范围①确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆．②解决与焦点有关的距离问题．(2)焦点三角形的结论椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ.①|PF1|＋|PF2|＝2a.②4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cosθ.③焦点三角形的周长为2(a＋c)．④S△PF1F2＝12|PF1||PF2|·sinθ＝b2·sinθ1＋cosθ＝b2tanθ2＝c|y0|，当|y0|＝b，即P为短轴端点时，S△PF1F2取最大值，为bc.1．(2019·温州模拟)设F1，F2是椭圆x29＋y24＝1的两个焦点，P是椭圆上的一点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，则△PF1F2的面积为()A．4B．6C．22D．42解析：选A.因为点P在椭圆上，所以|PF1|＋|PF2|＝6，又因为|PF1|∶|PF2|＝2∶1，所以|PF1|＝4，|PF2|＝2，又易知|F1F2|＝25，显然|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，故△PF1F2为直角三角形，所以△PF1F2的面积为12×2×4＝4.故选A.2．已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________．解析：设动圆M的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16，又|C1C2|＝816，所以动圆圆心M的轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆，且2a＝16，2c＝8，则a＝8，c＝4，所以b2＝48，又焦点C1、C2在x轴上，故所求的轨迹方程为x264＋y248＝1.答案：x264＋y248＝1(1)(2019·金丽衢十二校联考)已知椭圆的中心在原点，离心率e＝12，且它的一个焦点与抛物线y2＝－4x的焦点重合，则此椭圆方程为()A．x24＋y23＝1B．x28＋y26＝1C．x22＋y2＝1D．x24＋y2＝1(2)设F1，F2分别是椭圆E：x2＋y2b2＝1(0b1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的标准方程为________．椭圆的标准方程【解析】(1)依题意，可设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，由已知可得抛物线的焦点为(－1，0)，所以c＝1，又离心率e＝ca＝12，解得a＝2，b2＝a2－c2＝3，所以椭圆方程为x24＋y23＝1.(2)不妨设点A在第一象限，如图所示．因为AF2⊥x轴，所以|AF2|＝b2.因为|AF1|＝3|BF1|，所以B－53c，－13b2.将B点代入椭圆方程，得－53c2＋－13b22b2＝1，所以259c2＋b29＝1.又因为b2＋c2＝1，所以c2＝13，b2＝23.故所求的方程为x2＋y223＝1.【答案】(1)A(2)x2＋y223＝11．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(6，1)，P2(－3，－2)，则该椭圆的方程为________．解析：设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m0，n0，且m≠n)．因为椭圆经过P1，P2两点，所以P1，P2点坐标适合椭圆方程，则6m＋n＝1，①3m＋2n＝1，②①②两式联立，解得m＝19，n＝13.所以所求椭圆方程为x29＋y23＝1.答案：x29＋y23＝12．已知椭圆C1：x24＋y2＝1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率，则椭圆C2的方程为________．解析：法一：(待定系数法)由已知可设椭圆C2的方程为y2a2＋x24＝1(a2)，其离心率为32，故a2－4a＝32，解得a＝4，故椭圆C2的方程为y216＋x24＝1.法二：(椭圆系法)因椭圆C2与C1有相同的离心率，且焦点在y轴上，故设C2：y24＋x2＝k(k0)，即y24k＋x2k＝1.又2k＝2×2，故k＝4，故C2的方程为y216＋x24＝1.答案：y216＋x24＝13．与椭圆x24＋y23＝1有相同离心率且经过点(2，－3)的椭圆的方程为________________．解析：法一：(待定系数法)因为e＝ca＝a2－b2a＝1－b2a2＝1－34＝12，若焦点在x轴上，设所求椭圆方程为x2m2＋y2n2＝1(mn0)，则1－nm2＝14.从而nm2＝34，nm＝32.又4m2＋3n2＝1，所以m2＝8，n2＝6.所以方程为x28＋y26＝1.若焦点在y轴上，设方程为y2h2＋x2k2＝1(hk0)，则3h2＋4k2＝1，且kh＝32，解得h2＝253，k2＝254.故所求方程为y2253＋x2254＝1.法二：(椭圆系法)若焦点在x轴上，设所求椭圆方程为x24＋y23＝t(t0)，将点(2，－3)代入，得t＝224＋（－3）23＝2.故所求方程为x28＋y26＝1.若焦点在y轴上，设方程为y24＋x23＝λ(λ0)，代入点(2，－3)，得λ＝2512，故所求方程为y2253＋x2254＝1.答案：y2253＋x2254＝1或x28＋y26＝1(高频考点)椭圆的几何性质是高考的热点，高考中多以小题出现，试题难度一般较大．主要命题角度有：(1)由椭圆的方程研究其性质；(2)求椭圆离心率的值(范围)；(3)由椭圆的性质求参数的值(范围)；(4)椭圆性质的应用．椭圆的几何性质角度一由椭圆的方程研究其性质已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的一个焦点是圆x2＋y2－6x＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为()A．(－3，0)B．(－4，0)C．(－10，0)D．(－5，0)【解析】因为圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝1，所以圆心坐标为(3，0)，所以c＝3.又b＝4，所以a＝b2＋c2＝5.因为椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆的左顶点为(－5，0)．【答案】D角度二求椭圆离心率的值(范围)(1)(2019·丽水模拟)椭圆C的两个焦点分别是F1，F2，若C上的点P满足|PF1|＝32|F1F2|，则椭圆C的离心率e的取值范围是()A．e≤12B．e≥14C．14≤e≤12D．0e≤14或12≤e1(2)椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的右焦点F(c，0)关于直线y＝bcx的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是________．【解析】(1)因为椭圆C上的点P满足|PF1|＝32|F1F2|，所以|PF1|＝32×2c＝3c.由a－c≤|PF1|≤a＋c，解得14≤ca≤12.所以椭圆C的离心率e的取值范围是14，12.(2)设椭圆的另一个焦点为F1(－c，0)，如图，连接QF1，QF，设QF与直线y＝bcx交于点M.由题意知M为线段QF的中点，