（浙江专用）2020版高考数学大二轮复习 专题五 小题考法课四 导数的简单应用课件

小题考法课四导数的简单应用考点(一)导数的几何意义[考查趋向]主要考查利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程或已知切线方程求参数.[试典题——考点悟通][典例](1)(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线y＝aex＋xlnx在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则()A．a＝e，b＝－1B．a＝e，b＝1C．a＝e－1，b＝1D．a＝e－1，b＝－1(2)若直线y＝x与曲线y＝ex＋m(m∈R，e为自然对数的底数)相切，则m＝()A．1B．2C．－1D．－2(3)(2019·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是________．[解析](1)∵y′＝aex＋lnx＋1，∴切线的斜率k＝y′|x＝1＝ae＋1，∴切线方程为y－ae＝(ae＋1)(x－1)，即y＝(ae＋1)x－1.又∵切线方程为y＝2x＋b，∴ae＋1＝2，b＝－1，即a＝e－1，b＝－1.(2)设切点坐标为(x0，y0)，由y＝ex＋m，得y′＝ex＋m，则y′|x＝x0＝ex0＋m，则ex0＋m＝1，y0＝x0＝ex0＋m，所以x0＋m＝0，且x0＝1，得m＝－1.(3)设A(m，n)，由y＝lnx，得y′＝1x，∴y′|x＝m＝1m，则曲线y＝lnx在点A处的切线方程y－n＝1m(x－m)．又∵切线过点(－e，－1)，∴n＋1＝1m(m＋e)．又n＝lnm，解得m＝e，n＝1.∴点A的坐标为(e,1)．[答案](1)D(2)C(3)(e,1)[学技法——融会贯通]1．求曲线y＝f(x)的切线方程的3种类型及方法类型方法已知切点P(x0，y0)，求切线方程求出切线的斜率f′(x0)，由点斜式写出方程已知切线的斜率k，求切线方程设切点P(x0，y0)，通过方程k＝f′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程已知切线上一点(非切点)，求切线方程设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，再由点斜式或两点式写出方程2．利用切线(或方程)与其他曲线的关系求参数已知过某点的切线方程(斜率)或其与某线平行、垂直，利用导数的几何意义、切点坐标、切线斜率之间的关系构建方程(组)或函数求解．[对点练——触类旁通]1．函数y＝ex(e是自然对数的底数)在点(0,1)处的切线方程是()A．y＝x－1B．y＝x＋1C．y＝－x－1D．y＝－x＋1解析：选B由题意y′＝ex，当x＝0时，y′＝1，∴函数y＝ex(e是自然对数的底数)在点(0,1)处的切线方程是y－1＝x－0，即y＝x＋1，故选B.2．已知直线y＝ax是曲线y＝lnx的切线，则实数a＝()A.12B.12eC.1eD.1e2解析：选C由y＝lnx，可得y′＝1x，设切点是(x0，ax0)，则切线的斜率是k＝1x0＝a，∴ax0＝1，由点(x0，ax0)在曲线y＝lnx上，可得ax0＝lnx0，∴lnx0＝1，解得x0＝e，∴a＝1e，故选C.3．(2017·天津高考)已知a∈R，设函数f(x)＝ax－lnx的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为________．解析：因为f′(x)＝a－1x，所以f′(1)＝a－1，又f(1)＝a，所以切线l的方程为y－a＝(a－1)(x－1)，令x＝0，得y＝1.答案：1考点(二)利用导数研究函数的单调性[考查趋向]主要考查利用导数来研究函数的单调性，或由函数的单调性求某参数值(或取值范围)．[试典题——考点悟通][典例](1)(2019·浙江名师原创预测卷(三))可导函数的凹凸性与其导数的单调性有关，如果函数的导函数在某个区间上单调递增，那么在这个区间上函数是向下凹的，反之则是向上凸的，曲线上凹凸性的分界点称为曲线的拐点，则函数f(x)＝x33－x2＋1的极大值点为______，拐点为________．(2)已知函数f(x)＝x3－2x＋ex－1ex，其中e是自然对数的底数．若f(a－1)＋f(2a2)≤0，则实数a的取值范围是________．[解析](1)由题意可知，f′(x)＝x2－2x＝x(x－2)，故函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，故其极大值在x＝0处取到，所以f(x)的极大值点为x＝0，由f′(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以其拐点为1，13.(2)由f(x)＝x3－2x＋ex－1ex，得f(－x)＝－x3＋2x＋1ex－ex＝－f(x)，所以f(x)是R上的奇函数．又f′(x)＝3x2－2＋ex＋1ex≥3x2－2＋2ex·1ex＝3x2≥0，当且仅当x＝0时取等号，所以f(x)在其定义域内单调递增．因为f(a－1)＋f(2a2)≤0，所以f(a－1)≤－f(2a2)＝f(－2a2)，所以a－1≤－2a2，解得－1≤a≤12，故实数a的取值范围是－1，12.[答案](1)x＝01，13(2)－1，12[学技法——融会贯通]利用导数研究函数单调性的步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f′(x)；(3)求方程f′(x)＝0在定义域内的所有实数根；(4)将函数f(x)的间断点(即f(x)无定义的点)的横坐标和各实数根按从小到大的顺序排列起来，分成若干个小区间；(5)确定f′(x)在各小区间内的符号，由此确定每个区间的单调性．[对点练——触类旁通]1．已知函数f(x)＝－lnx＋x22＋3，则函数f(x)的单调递减区间是()A．(－∞，0)B．(0,1)C．(0，＋∞)D．(1，＋∞)解析：选B已知函数f(x)＝－lnx＋x22＋3，定义域为(0，＋∞)．则f′(x)＝－1x＋x.由f′x0，x0，得0x1.所以函数f(x)的单调递减区间为(0,1)．故选B.2．若函数f(x)＝lnx－12ax2－2x存在单调递减区间，则实数a的取值范围是()A．(－1，＋∞)B．[－1，＋∞)C．(－∞，1]D．(－1,0)解析：选Af′(x)＝1x－ax－2＝1－ax2－2xx，由题意知f′(x)0有实数解，∵x0，∴ax2＋2x－10有实数解．当a≥0时，显然满足；当a0时，只需Δ＝4＋4a0，∴－1a0.综上知a－1.考点(三)利用导数研究函数的极值、最值[考查趋向]主要考查利用函数的极值与导数的关系，求函数的极值、最值或由极值的情况求参数．[试典题——考点悟通][典例](1)(2019·昆明质检)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋clnx(a0)在x＝1和x＝2处取得极值，且极大值为－52，则函数f(x)在区间(0,4]上的最大值为()A．0B．－52C．2ln2－4D．4ln2－4(2)已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有极值，则实数a的取值范围是()A.－∞，12B.0，12C.－∞，12D.0，12[解析](1)f′(x)＝2ax＋b＋cx＝2ax2＋bx＋cx(x0，a0)．因为函数f(x)在x＝1和x＝2处取得极值，所以f′(1)＝2a＋b＋c＝0①，f′(2)＝4a＋b＋c2＝0②.又a0，所以当0x1或x2时，f′(x)0，f(x)是增函数；当1x2时，f′(x)0，f(x)是减函数．所以当x＝1时，f(x)极大值＝f(1)＝a＋b＝－52③.联立①②③，解得a＝12，b＝－3，c＝2.f(4)＝12×16－3×4＋2ln4＝4ln2－4，经比较函数f(x)在区间(0,4]上的最大值是f(4)＝4ln2－4.故选D.(2)f(x)＝xlnx－ax2(x0)，f′(x)＝lnx＋1－2ax.令g(x)＝lnx＋1－2ax，则g′(x)＝1x－2a＝1－2axx.∵函数f(x)＝x(lnx－ax)有极值，∴g(x)＝0在(0，＋∞)上有实根．当a≤0时，g′(x)0，函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，当x趋向于0时，g(x)趋向于－∞，当x趋向于＋∞时，g(x)趋向于＋∞，故存在x0∈(0，＋∞)，使得f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，故f(x)存在极小值f(x0)，符合题意．当a0时，令g′(x)＝0，得x＝12a.当0x12a时，g′(x)0，函数g(x)单调递增；当x12a时，g′(x)0，函数g(x)单调递减，∴x＝12a时，函数g(x)取得极大值．∵当x趋向于0和x趋向于＋∞时，均有g(x)趋向于－∞，要使g(x)＝0在(0，＋∞)上有实根，且f(x)有极值，必须g12a＝ln12a0，解得0a12.综上可知，实数a的取值范围是－∞，12，故选A.[答案](1)D(2)A[学技法——融会贯通]利用导数研究函数极值、最值的方法(1)若求极值，则先求方程f′(x)＝0的根，再检查f′(x)在方程根的左右函数值的符号．(2)若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f′(x)＝0根的大小或存在情况来求解．(3)求函数f(x)在闭区间[a，b]的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值．[对点练——触类旁通]1．已知函数f(x)＝x3＋3x2－9x＋1，若f(x)在区间[k,2]上的最大值为28，则实数k的取值范围为()A．[－3，＋∞)B．(－3，＋∞)C．(－∞，－3)D．(－∞，－3]解析：选D由题意知f′(x)＝3x2＋6x－9，令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝－3，所以f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x(－∞，－3)－3(－3,1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值又f(－3)＝28，f(1)＝－4，f(2)＝3，f(x)在区间[k,2]上的最大值为28，故－3∈[k,2]，所以k≤－3.2．(2019·七彩阳光联盟联考)已知函数f(x)＝exx2－k2x＋lnx，若x＝2是函数f(x)的唯一一个极值点，则实数k的取值范围为()A．(－∞，e]B．[0，e]C．(－∞，e)D．[0，e)解析：选Af′(x)＝x2ex－2xexx4－k－2x2＋1x＝x－2exx－kx2(x＞0)．设g(x)＝exx，则g′(x)＝x－1exx2，则g(x)在(0,1)内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增．所以g(x)在(0，＋∞)上有最小值，为g(1)＝e，结合g(x)＝exx与y＝k的图象可知，要满足题意，只需k≤e.3．设函数f(x)＝lnx－12ax2－bx，若x＝1是f(x)的极大值点，则a的取值范围是________．解析：f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－ax－b，由f′(1)＝0，得b＝1－a.∴f′(x)＝1x－ax＋a－1＝－ax2＋1＋ax－xx＝－ax＋1x－1x.①若a≥0，由f′(x)＝0，得x＝1.当0x1时，f′(x)0，f(x)单调递增；当x1时，f′(x)0，f(x)单调递减．所以x＝1是f(x)的极大值点．②若a0，由f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1a.因为x＝1是f(x)的极大值点，所以－1a1，解得－1a0.综合①②得a的取值范围是(－1，＋∞)．答案：(－1，＋∞)[知能自主补遗](一)主干知识要记牢1.导数公式及运算法则(1)基本导数公式：①c′＝0(c为常数)；②(xm)′＝mxm－1(m∈Q)；③(sinx)′＝cosx；④(cosx)′＝－sinx；⑤(ax)′＝axlna(a0且a≠1)；⑥(ex)′＝ex；⑦(logax)′＝1xlna(a0且a≠1)；⑧(lnx)′＝1x.(2)导数的四则运算：①(u±v)′＝u′±v′；②(uv)′＝u′v＋uv′；③uv′＝u′v－uv′v2