（浙江专用）2020版高考数学大二轮复习 专题五 小题考法课三 不等式课件

小题考法课三不等式考点(一)不等式的性质及解法[考查趋向]主要考查利用不等式的性质比较大小以及一元二次不等式的求解，有时会考查含参不等式恒成立时参数值或范围的求解.[试典题——考点悟通][典例](1)若ab0，给出下列不等式：①a2＋1b2；②|1－a||b－1|；③1a＋b1a1b.其中正确的个数是()A．0B．1C．2D．3(2)在lg2，(lg2)2，lg(lg2)中，最大的是________，最小的是________．(3)设a∈R，若x＞0时均有(x2＋ax－5)(ax－1)≥0成立，则a＝________.[解析](1)对于①，若ab0，可得a2b2，所以a2＋1b2一定正确；对于②，ab0，可得|a||b|，即|－a||－b|，则|1－a||b－1|，所以②正确；对于③，ab0，在所给的不等式两边同时除以ab，得到1b1a，又由ab0，可得a＋ba0，不等式两边同时除以(a＋b)a，可得1a＋b1a，所以③1a＋b1a1b正确，综上可知，正确命题3个．故选D.(2)因为0lg21，所以lg(lg2)0，且lg2－(lg2)2＝lg2·(1－lg2)0，所以最大的是lg2，最小的是lg(lg2)．(3)法一：当a＝0时，显然不能使原不等式对任意的x＞0恒成立，故a≠0.当x＝1a，a≠0时原不等式恒成立．易知a＞0，对于方程x2＋ax－5＝0，设其两根为x1，x2，且x1＜x2，易知x1＜0，x2＞0.又当x＞0时，原不等式恒成立，故x＝1a是方程x2＋ax－5＝0的一个根，代入得a＝12.法二：如图所示，当a＝0时，显然不能使原不等式对任意的x＞0恒成立，故a≠0，且当x＝1a，a≠0时原不等式恒成立．易知a＞0，当x＝1a时，ax－1＝0，此时，结合图象可知x＝1a是方程x2＋ax－5＝0的一个根，所以a＝12.[答案](1)D(2)lg2lg(lg2)(3)12[学技法——融会贯通]解不等式的策略(1)一元二次不等式：先化为一般形式ax2＋bx＋c0(a0)，再结合相应二次方程的根及二次函数图象确定一元二次不等式的解集．(2)含指数、对数的不等式：利用指数、对数函数的单调性将其转化为整式不等式求解．[对点练——触类旁通]1．(2019·台州高三期末)设不为1的实数a，b，c满足：a＞b＞c＞0，则()A．logcb＞logabB．logab＞logacC．ba＞bcD．ab＞cb解析：选D对于选项A：当c＝12，a＝4，b＝2时，不等式不成立；对于选项B：当0＜a＜1时，不等式不成立；对于选项C：当0＜b＜1时，不等式不成立；对于选项D，不等式两边取自然对数易得D正确，故选D.2．已知函数f(x)＝110x，x≤10，－lgx＋2，x10，若f(8－m2)f(2m)，则实数m的取值范围是()A．(－4,1)B．(－4,2)C．(－2,4)D．(－∞，－4)∪(2，＋∞)解析：选B易知f(x)＝110x，x≤10，－lgx＋2，x10在R上单调递减，故由f(8－m2)f(2m)，可得2m8－m2，即m2＋2m－80，解得－4m2，所以实数m的取值范围是(－4,2)．3．已知二次函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋1(a∈Z)，且函数f(x)在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f(x)1的解集为()A．(－∞，－1)∪(0，＋∞)B．(－∞，0)∪(1，＋∞)C．(－1,0)D．(0,1)解析：选C因为f(x)在区间(－2，－1)内的图象与x轴恰有一个交点，所以f(－2)f(－1)0，即[4a＋2(a＋2)＋1][a＋(a＋2)＋1]0，所以(6a＋5)(2a＋3)0，解得－32a－56，又a∈Z，所以a＝－1，所以f(x)＝－x2－x＋1，f(x)1即x2＋x0，解得－1x0，故选C.考点(二)基本不等式及其应用[考查趋向]主要考查利用基本不等式求最值，常与函数等知识交汇命题.[试典题——考点悟通][典例](1)(2019·诸暨高三期末)已知a＋2b＝1(a＞0，b＞0)，则2ba＋1b的最小值等于()A．4B．22＋2C.52D．22＋1(2)已知正数a，b，c满足2a－b＋c＝0，则acb2的最大值为()A．8B．2C.18D.16[解析](1)由题意得2ba＋1b＝2ba＋a＋2bb＝2ba＋ab＋2≥22ba·ab＋2＝22＋2，当且仅当a＝2b＝2－1时，等号成立，所以2ba＋1b的最小值为22＋2，故选B.(2)∵正数a，b，c满足2a－b＋c＝0，∴b＝2a＋c，则acb2＝ac2a＋c2＝ac4a2＋4ac＋c2＝14ac＋ca＋4≤124ac·ca＋4＝18，当且仅当c＝2a0时取等号．故选C.[答案](1)B(2)C[学技法——融会贯通]利用不等式求最值的3种解题技巧[注意]利用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”，三个条件缺一不可．[对点练——触类旁通]1．已知x2＋4xy－3＝0，其中x0，y∈R，则x＋y的最小值是()A.32B．3C．1D．2解析：选A∵x0，y∈R，x2＋4xy－3＝0，∴y＝3－x24x，则x＋y＝3x2＋34x＝34x＋34x≥23x4·34x＝32.当且仅当x＝1时等号成立，故选A.2．已知正实数a，b，c满足a(a＋b＋c)＝bc，则ab＋c的最大值是________．解析：由基本不等式知，a(a＋b＋c)＝bc≤b＋c24，即a2＋(b＋c)a－b＋c24≤0，即ab＋c2＋ab＋c－14≤0，所以ab＋c＋122≤12，所以0ab＋c≤2－12，所以ab＋c的最大值是2－12.答案：2－123．(2019·镇海中学高三模拟)已知a，b∈R＋且a＋2b＝3，则1a＋2b的最小值是______，1a2＋2b2的最小值是______．解析：因为a0，b＞0，且a＋2b＝3，所以1a＋2b＝1a＋2ba3＋2b3＝13＋43＋23ab＋ba≥53＋23×2ab·ba＝53＋43＝3，当且仅当ab＝ba，即a＝b＝1时取等号．因为a＋2b＝3，所以1a2＋2b2＝13a2＋232b2≥1＋23a＋2b2＝3.当且仅当a＝b＝1时取等号．答案：33考点(三)绝对值不等式及其应用[考查趋向]主要考查绝对值的几何意义和绝对值不等式的解法.[试典题——考点悟通][典例](1)不等式|x－1|－|x－5|2的解集是()A．(－∞，4)B．(－∞，1)C．(1,4)D．(1,5)(2)设正实数x，y，则|x－y|＋1x＋y2的最小值为()A.74B.322C．2D.2(3)(2019·浙江高考)已知a∈R，函数f(x)＝ax3－x.若存在t∈R，使得|f(t＋2)－f(t)|≤23，则实数a的最大值是________．[解析](1)①当x≤1时，原不等式可化为1－x－(5－x)2，∴－42，不等式恒成立，∴x≤1.②当1x5时，原不等式可化为x－1－(5－x)2，∴x4，∴1x4.③当x≥5时，原不等式可化为x－1－(x－5)2，该不等式不成立．综上，原不等式的解集为(－∞，4)，故选A.(2)∵x0，y0，∴|x－y|＋1x＋y2＝|x－y|＋1x＋|y2|≥x－y＋1x＋y2＝y－122＋x＋1x－14≥2－14＝74.当且仅当y＝12，x＝1x，即x＝1，y＝12时取等号．故选A.(3)由题意，得f(t＋2)－f(t)＝a(t＋2)3－(t＋2)－(at3－t)＝a[(t＋2)3－t3]－2＝a(t＋2－t)[(t＋2)2＋(t＋2)·t＋t2]－2＝2a(3t2＋6t＋4)－2＝2a[3(t＋1)2＋1]－2.∵存在t∈R，使得|f(t＋2)－f(t)|≤23有解，即－23≤2a[3(t＋1)2＋1]－2≤23有解，∴23≤a[3(t＋1)2＋1]≤43有解，∴23·13t＋12＋1≤a≤43·13t＋12＋1有解．设g(t)＝43·13t＋12＋1，则a≤g(t)max，又当t＝－1时，g(t)max＝43.∴当t＝－1时，a取得最大值43，满足题意．[答案](1)A(2)A(3)43[学技法——融会贯通]绝对值不等式及其应用的常见题型和解题策略(1)讨论含绝对值的二次函数的单调性、最值和零点等．此类题型一般是按定义去掉绝对值，写成分段函数，作出函数的图象，对参数进行分类讨论．(2)含绝对值不等式的恒成立问题．此类题型一般都转化为求含绝对值的函数的最值，或利用绝对值三角不等式求最值，有时需要分类讨论．[对点练——触类旁通]1．已知x∈R，则“|x－3|－|x－1|＜2”是“x≠1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A|x－3|－|x－1|＜2等价于x≤1，3－x－1－x＜2或1＜x＜3，3－x－x－1＜2或x≥3，x－3－x－1＜2，解得x＞1，所以“|x－3|－|x－1|＜2”是“x≠1”的充分不必要条件，故选A.2．当x∈32，4时，不等式|ax2＋bx＋4a|≤2x恒成立，则6a＋b的最大值是________．解析：∵x∈32，4时，不等式|ax2＋bx＋4a|≤2x恒成立，∴|ax2＋bx＋4a|x≤2，即ax＋b＋4ax≤2在x∈32，4时恒成立．设f(x)＝ax＋b＋4ax＝ax＋4x＋b，x＋4x∈[4,5]．∵|f(x)|≤2，∴－2≤4a＋b≤2，－2≤5a＋b≤2，∵6a＋b＝－(4a＋b)＋2(5a＋b)，∴－2＋2×(－2)≤6a＋b＝－(4a＋b)＋2(5a＋b)≤2＋2×2，∴6a＋b的最大值为6.答案：63．已知函数f(x)＝2x＋t2，g(x)＝x＋t－1，对任意的实数t，关于x的不等式|f(x)|＋|g(x)|＋||f(x)|－|g(x)||≥m恒成立，则实数m的取值范围为________．解析：设F(x)＝|f(x)|＋|g(x)|＋||f(x)|－|g(x)||＝2|fx|，|fx|≥|gx|，2|gx|，|fx|＜|gx|，则|f(x)|＋|g(x)|＋||f(x)|－|g(x)||≥m恒成立等价于m小于等于函数F(x)的最小值，在平面直角坐标系内画出函数y＝|f(x)|＝|2x＋t2|和函数y＝|g(x)|＝|x＋t－1|的图象，由图易得当2x＋t2＝－(x＋t－1)，即x＝－13(t2＋t－1)时，F(x)取得最小值为2×－13t2＋t－1×2＋t2＝23[(t－1)2＋1]，所以当t＝1时，F(x)取得最小值23，则实数m的取值范围为－∞，23.答案：－∞，23考点(四)线性规划问题[考查趋向]主要考查线性约束条件、可行域等概念，考查在约束条件下最值的求法，以及已知最优解或可行域的情况求参数的值或取值范围.[试典题——考点悟通][典例](1)(2019·浙江高考)若实数x，y满足约束条件x－3y＋4≥0，3x－y－4≤0，x＋y≥0，则z＝3x＋2y的最大值是()A．－1B．1C．10D．12(2)(2018·浙江高考)若x，y满足约束条件x－y≥0，2x＋y≤6，x＋y≥2，则z＝x＋3y的最小值是________，最大值是________．[解析](1)作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线y＝－32x，平移该直线，当直线经过点A时，z＝3x＋2y取得最大值．联立x－3y＋4＝0，3x－y－4＝0，解得x＝2，y＝2，所以zmax＝3×2＋2×2＝10.(2)作出