（浙江专用）2019-2020学年高中数学 复习课（三）不等式课件 新人教A版必修5

习题课三提升关键能力不等式高频考点一一元二次不等式解一元二次不等式需熟悉一元二次方程、二次函数和一元二次不等式三者之间的关系，其中二次函数的零点是联系这三个“二次”的枢纽．(1)确定ax2＋bx＋c0(a0)或ax2＋bx＋c0(a0)在判别式Δ0时解集的结构是关键．在未确定a的取值情况下，应先分a＝0和a≠0两种情况进行讨论．(2)若给出了一元二次不等式的解集，则可知二次项系数a的符号和方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，再由根与系数的关系就可知a，b，c之间的关系．(3)解含有参数的一元二次不等式，要注意对参数的取值进行讨论：①对二次项系数与0的大小进行讨论；②在转化为标准形式的一元二次不等式后，对判别式与0的大小进行讨论；③当判别式大于0，但两根的大小不确定时，对两根的大小进行讨论．[典例](1)已知不等式ax2＋bx＋20的解集为{x|－1x2}，则不等式2x2＋bx＋a0的解集为()A．x|－1x12B．x|x－1或x12C．{x|－2x1}D．{x|x－2或x1}[解析](1)由题意知x＝－1，x＝2是方程ax2＋bx＋2＝0的根．由根与系数的关系得－1＋2＝－ba，－1×2＝2a⇒a＝－1，b＝1.∴不等式2x2＋bx＋a0，即2x2＋x－10.解得－1x12.[答案]A(2)解关于x的不等式ax2－2ax＋a＋3＞0.（2）解：当a＝0时，解集为R；当a＞0时，Δ＝－12a＜0，∴解集为R；当a＜0时，Δ＝－12a＞0，方程ax2－2ax＋a＋3＝0的两根分别为a＋－3aa，a－－3aa，∴此时不等式的解集为xa＋－3aa＜x＜a－－3aa.综上所述，当a≥0时，不等式的解集为R；a＜0时，不等式的解集为xa＋－3aa＜x＜a－－3aa.[类题通法]解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结合相应二次函数的图象写出不等式的解集．1．若关于x的不等式ax2－6x＋a20的解集是(1，m)，则m＝________.解析：根据不等式与方程之间的关系知1为方程ax2－6x＋a2＝0的一个根，即a2＋a－6＝0，解得a＝2或a＝－3，当a＝2时，不等式ax2－6x＋a20的解集是(1,2)，符合要求；当a＝－3时，不等式ax2－6x＋a20的解集是(－∞，－3)∪(1，＋∞)，不符合要求，舍去．故m＝2.答案：2[集训冲关]2．已知不等式ax2－3x＋64的解集为{x|x1或xb}．(1)求a，b的值；(2)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc0.解：(1)因为不等式ax2－3x＋64的解集为{x|x1或xb}，所以x1＝1与x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的两个实数根，b1且a0.由根与系数的关系，得1＋b＝3a，1×b＝2a.解得a＝1，b＝2.(2)不等式ax2－(ac＋b)x＋bc0，即x2－(2＋c)x＋2c0，即(x－2)(x－c)0.当c2时，不等式(x－2)(x－c)0的解集为{x|2xc}；当c2时，不等式(x－2)(x－c)0的解集为{x|cx2}；当c＝2时，不等式(x－2)(x－c)0的解集为∅.所以，当c2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc0的解集为{x|2xc}；当c2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc0的解集为{x|cx2}；当c＝2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc0的解集为∅.高频考点二简单的线性规划问题1．确定二元一次不等式表示平面区域的方法与技巧确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法．2．利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．[典例](1)设变量x，y满足约束条件：x＋y≥3，x－y≥－1，2x－y≤3，则目标函数z＝y＋1x的最小值为()A．1B．2C．3D．4(2)某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的23倍，且对每个项目的投资不能低于5万元．对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为()A．36万元B．31.2万元C．30.4万元D．24万元[解析](1)不等式组所表示的平面区域如图中的△ABC，目标函数的几何意义是区域内的点与点P(0，－1)连线的斜率，显然图中AP的斜率最小．由x＋y＝3，2x－y＝3解得点A的坐标为(2,1)，故目标函数z＝y＋1x的最小值为1＋12＝1.(2)设对项目甲投资x万元，对项目乙投资y万元，则x＋y≤60，x≥23y，x≥5，y≥5.目标函数z＝0.4x＋0.6y.作出可行域如图所示，由直线斜率的关系知目标函数在A点取最大值，代入得zmax＝0.4×24＋0.6×36＝31.2，所以选B.[答案](1)A(2)B[类题通法](1)求目标函数最值的一般步骤为：一画、二移、三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．(2)在约束条件是线性的情况下，线性目标函数只有在可行域的顶点或者边界上取得最值．在解答选择题或者填空题时也可以根据可行域的顶点直接进行检验．1．不等式组2x＋y－6≤0，x＋y－3≥0，y≤2表示的平面区域的面积为()A．4B．1C．5D．无穷大解析：选B不等式组2x＋y－6≤0，x＋y－3≥0，y≤2表示的平面区域如图所示(阴影部分)，△ABC的面积即为所求．求出点A，B，C的坐标分别为(1,2)，(2,2)，(3,0)，则△ABC的面积为S＝12×(2－1)×2＝1.[集训冲关]2．已知实数x，y满足x≥0，y－x＋1≤0，y－2x＋4≥0，若z＝y－ax取得最大值时的最优解(x，y)有无数个，则a＝________.解析：依题意，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，如图所示．要使z＝y－ax取得最大值时的最优解(x，y)有无数个，则直线z＝y－ax必平行于直线y－x＋1＝0，于是有a＝1.答案：13．某公司用两种机器来生产某种产品，第一种机器每台需花3万日元及人民币50元的维护费；第二种机器则需5万日元及人民币20元的维护费．第一种机器的年利润每台有9万日元，第二种机器的年利润每台有6万日元，但政府核准的外汇日元为135万元，并且公司的总维护费不得超过1800元，为了使年利润达到最大值，第一种机器应购买________台，第二种机器应购买________台．解析：设第一种机器购买x台，第二种机器购买y台，总的年利润为z万日元，则3x＋5y≤135，50x＋20y≤1800，x，y∈N，目标函数为z＝9x＋6y.不等式组表示的平面区域如图阴影部分中的整点．当直线z＝9x＋6y经过点M63019，13519，即到达l1位置时，z取得最大值，但题目要求x，y均为自然数，故进行调整，调整到与M邻近的整数点(33,7)，此时z＝9x＋6y取得最大值，即第一种机器购买33台，第二种机器购买7台获得年利润最大．答案：337高频考点三基本不等式基本不等式的常用变形(1)a＋b≥2ab(a0，b0)，当且仅当a＝b时，等号成立；(2)a2＋b2≥2ab，ab≤a＋b22(a，b∈R)，当且仅当a＝b时，等号成立；(3)ba＋ab≥2(a，b同号且均不为零)，当且仅当a＝b时，等号成立；(4)a＋1a≥2(a0)，当且仅当a＝1时，等号成立；a＋1a≤－2(a0)，当且仅当a＝－1时，等号成立．[典例](1)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是()A．245B．285C．5D．6(2)若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy＝30，则xy的最大值是()A．43B．53C．2D．54[解析](1)由x＋3y＝5xy可得15y＋35x＝1，∴3x＋4y＝(3x＋4y)15y＋35x＝95＋45＋3x5y＋12y5x≥135＋125＝5当且仅当3x5y＝12y5x，即x＝1，y＝12时，等号成立，∴3x＋4y的最小值是5.(2)由x0，y0，得4x2＋9y2＋3xy≥2×(2x)×(3y)＋3xy(当且仅当2x＝3y时等号成立)，∴12xy＋3xy≤30，即xy≤2，∴xy的最大值为2.[答案](1)C(2)C[类题通法]条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．1．若正数a，b满足1a＋1b＝1，则1a－1＋4b－1的最小值为()A．3B．4C．5D．6解析：选B依题意，因为1a＋1b＝1，∴(a－1)(b－1)＝1，因此1a－1＋4b－1≥24a－1b－1＝4，当且仅当1a－1＝4b－1，即a＝32，b＝3时“＝”成立．[集训冲关]2．设x，y∈R，且xy≠0，则x2＋1y21x2＋4y2的最小值为_______．解析：x2＋1y21x2＋4y2＝5＋1x2y2＋4x2y2≥5＋21x2y2·4x2y2＝9，当且仅当x2y2＝12时“＝”成立．答案：9高频考点四绝对值不等式1．公式法|f(x)|g(x)⇔f(x)g(x)或f(x)－g(x)；|f(x)|g(x)⇔－g(x)f(x)g(x)．2．平方法|f(x)||g(x)|⇔[f(x)]2[g(x)]2.3．零点分段法含有两个以上绝对值符号的不等式，可先求出使每个含绝对值符号的代数式值等于零的未知数的值，将这些值依次在数轴上标注出来，它们把数轴分成若干个区间，讨论每一个绝对值符号内的代数式在每一个区间上的符号，转化为不含绝对值的不等式去解．4．对于不等式恒成立求参数范围问题，常用分离参数法、更换主元法、数形结合法解决．[典例]已知f(x)＝|ax＋1|(a∈R)，不等式f(x)≤3的解集为{x|－2≤x≤1}．(1)求a的值；(2)若fx－2fx2≤k恒成立，求k的取值范围．[解](1)由|ax＋1|≤3得－4≤ax≤2.又f(x)≤3的解集为{x|－2≤x≤1}，所以当a≤0时，不合题意．当a＞0时，－4a≤x≤2a，得a＝2.(2)法一：记h(x)＝f(x)－2fx2，则h(x)＝1，x≤－1，－4x－3，－1＜x＜－12，－1，x≥－12，所以|h(x)|≤1，因此k的取值范围是[1，＋∞)．法二：fx－2fx2＝||2x＋1|－2|x＋1||＝2x＋12－|x＋1|≤1，由fx－2fx2≤k恒成立，可知k≥1，所以k的取值范围是[1，＋∞)．[类题通法]解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号，化成不含绝对值的不等式，其一是依据绝对值的意义；其二是先令每一个绝对值等于零，找到分界点，通过讨论每一区间内的代数式的符号去掉绝对值．1．不等式|2x＋1|－2|x－1|＞0的解集为________．解析：原不等式即|2x＋1|＞2|x－1|，两端平方后解得12x＞3，即x＞14.答案：xx14[集训冲关]2．设关于x的不等式lg(|x＋3|＋|x－7|)＞a.(1)当a＝1时，解此不等式；(2)当a为何值时，此不等式的解集是R.解：(1)