（浙江专用）2019-2020学年高中数学 第一章 解三角形 1.2 应用举例 第二课时 三角形中的

预习课本P16～18，思考并完成以下问题(1)已知三角形的两边及内角怎样求其面积？(2)已知三角形的面积如何求其他量？第二课时三角形中的几何计算一、预习教材·问题导入三角形的面积公式(1)S＝12a·ha(ha表示a边上的高)．(2)S＝12absinC＝_________＝_________．12bcsinA12acsinB[点睛]三角形的面积公式S＝12absinC与原来的面积公式S＝12a·h(h为a边上的高)的关系为：h＝bsinC，实质上bsinC就是△ABC中a边上的高．二、归纳总结·核心必记1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)公式S＝12absinC适合求任意三角形的面积()(2)三角形中已知三边无法求其面积()(3)在三角形中已知两边和一角就能求三角形的面积()解析：(1)正确，S＝12absinC适合求任意三角形的面积．(2)错误．已知三边可利用余弦定理求角的余弦值，再求得正弦值，进而求面积．(3)正确．已知两边和两边的夹角可直接求得面积，已知两边和一边的对角，可求得其他边和角，再求面积．√×√三、基本技能·素养培优2．在△ABC中，已知a＝2，b＝3，C＝120°，则S△ABC＝()A．32B．332C．3D．3解析：选BS△ABC＝12absinC＝12×2×3×32＝332．3．已知△ABC的面积为32，且b＝2，c＝3，则A的大小为()A．60°或120°B．60°C．120°D．30°或150°解析：选A由S△ABC＝12bcsinA得32＝12×2×3×sinA，所以sinA＝32，故A＝60°或120°，故选A．4．若△ABC的三边a，b，c及面积S满足S＝a2－(b－c)2，则sinA＝________．解析：由余弦定理得S＝a2－(b－c)2＝2bc－2bccosA＝12bcsinA，所以sinA＋4cosA＝4，由sin2A＋cos2A＝1，解得sin2A＋1－sinA42＝1，sinA＝817．答案：817[典例]已知△ABC中，B＝30°，AB＝23，AC＝2，求△ABC的面积．[解]由正弦定理，得sinC＝ABsinBAC＝23sin30°2＝32．∵ABAC，∴C＝60°或C＝120°．当C＝60°时，A＝90°，S△ABC＝12AB·AC＝23；当C＝120°时，A＝30°，S△ABC＝12AB·ACsinA＝3．故△ABC的面积为23或3．考点一三角形面积的计算(1)求三角形面积时，应先根据题目给出的已知条件选择最简便、最快捷的计算方法，这样不仅能减少一些不必要的计算，还能使计算结果更加接近真实值．(2)事实上，在众多公式中，最常用的公式是S△ABC＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB，即给出三角形的两边和夹角(其中某边或角需求解)求三角形面积，反过来，给出三角形的面积利用上述公式也可求得相应的边或角，应熟练应用此公式．[类题通法]△ABC中，若a，b，c的对角分别为A，B，C，且2A＝B＋C，a＝3，△ABC的面积S△ABC＝32，求边b的长和B的大小．解：∵A＋B＋C＝180°，又2A＝B＋C，∴A＝60°．∵S△ABC＝12bcsinA＝32，sinA＝32，∴bc＝2．①又由余弦定理得3＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－2×2×12，即b2＋c2＝5．②[针对训练]解①②可得b＝1或2．由正弦定理知asinA＝bsinB，∴sinB＝bsinAa＝b2．当b＝1时，sinB＝12，B＝30°；当b＝2时，sinB＝1，B＝90°．证明：[法一化角为边]左边＝a－ca2＋c2－b22acb－cb2＋c2－a22bc＝a2－c2＋b22a·2bb2－c2＋a2＝ba＝2RsinB2RsinA＝sinBsinA＝右边，其中R为△ABC外接圆的半径．∴a－ccosBb－ccosA＝sinBsinA．[典例]在△ABC中，求证：a－ccosBb－ccosA＝sinBsinA．考点二三角恒等式证明问题[法二化边为角]左边＝sinA－sinCcosBsinB－sinCcosA＝sinB＋C－sinCcosBsinA＋C－sinCcosA＝sinBcosCsinAcosC＝sinBsinA＝右边(cosC≠0)，∴a－ccosBb－ccosA＝sinBsinA．1．三角恒等式证明的三个基本原则(1)统一边角关系．(2)由繁推简．(3)目标明确，等价转化．2．三角恒等式证明的基本方法(1)把角的关系通过正、余弦定理转化为边的关系，然后进行化简、变形．(2)把边的关系转化为角的关系，一般是通过正弦定理，然后利用三角函数公式进行恒等变形．[类题通法]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．求证：cosBcosC＝c－bcosAb－ccosA．证明：法一：由正弦定理，得c－bcosAb－ccosA＝2RsinC－2RsinBcosA2RsinB－2RsinCcosA＝sinA＋B－sinBcosAsinA＋C－sinCcosA＝sinAcosBsinAcosC＝cosBcosC．法二：由余弦定理，得c－bcosAb－ccosA＝c－b2＋c2－a22cb－b2＋c2－a22b＝a2＋c2－b22cb2＋a2－c22b＝a2＋c2－b22acb2＋a2－c22ab＝cosBcosC．[针对训练]考点三与三角形有关的综合问题[典例](1)已知圆内接四边形ABCD的边长AB＝2，BC＝6，CD＝DA＝4，求四边形ABCD的面积S.(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(2c－a)cosB－bcosA＝0.①求角B的大小；②求3sinA＋sinC－π6的取值范围．解：(1)如图，连接BD，则S＝S△ABD＋S△CBD＝12AB·ADsinA＋12BC·CDsinC.∵A＋C＝180°，∴sinA＝sinC，∴S＝12sinA(AB·AD＋BC·CD)＝16sinA.在△ABD中，由余弦定理得BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcosA＝20－16cosA，在△CDB中，由余弦定理得BD2＝CD2＋BC2－2CD·BCcosC＝52－48cosC，∴20－16cosA＝52－48cosC.又cosC＝－cosA，∴cosA＝－12，∴A＝120°，∴S＝16sinA＝83.(2)①由正弦定理得：(2sinC－sinA)cosB－sinBcosA＝0，即sinC(2cosB－1)＝0，∵sinC≠0，∴cosB＝12，∵B∈(0，π)，∴B＝π3.②由①知B＝π3，∴C＝2π3－A，∴3sinA＋sinC－π6＝3sinA＋cosA＝2sinA＋π6.∵A∈0，2π3，∴A＋π6∈π6，5π6，∴2sinA＋π6∈(1,2]，∴3sinA＋sinC－π6的取值范围是(1,2]．[类题通法](1)解决此类问题的关键是根据题意画出图形，将图形中的已知条件与未知量之间的关系转化为三角形中的边与角的关系，求解三角形使问题获解．(2)三角形问题中，常涉及求边、求角及求面积等几个问题，用正、余弦定理作为解题的工具进行转化求解．在涉及变量取值范围或最值问题时，常常用到函数等数学相关知识．(3)解三角形时，角的取值范围至关重要．角的取值范围往往隐含在题目中，不深入挖掘很容易出错．[针对训练]1.如图，在△ABC中，B＝π3，AB＝8，点D在BC边上，且CD＝2，cos∠ADC＝17.(1)求sin∠BAD；(2)求BD，AC的长．解：(1)在△ADC中，因为cos∠ADC＝17，所以sin∠ADC＝437.所以sin∠BAD＝sin(∠ADC－B)＝sin∠ADCcosB－cos∠ADCsinB＝437×12－17×32＝3314(2)在△ABD中，由正弦定理得BD＝AB·sin∠BADsin∠ADB＝8×3314437＝3.在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝82＋52－2×8×5×12＝49.所以AC＝7.2．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sinA－BsinA＋B＝b＋cc.(1)求角A的大小；(2)当a＝6时，求△ABC面积的最大值，并指出面积最大时△ABC的形状．解：(1)由sinA－BsinA＋B＝b＋cc，得sinA－BsinA＋B＝sinB＋sinCsinC.又sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC，∴sin(A－B)＝sinB＋sinC，∴sin(A－B)＝sinB＋sin(A＋B)．∴sinAcosB－cosAsinB＝sinB＋sinAcosB＋cosAsinB，∴sinB＋2cosAsinB＝0，又sinB≠0，∴cosA＝－12.∵A∈(0，π)，∴A＝2π3.(2)S＝12bcsinA＝34bc＝34×2RsinB·2RsinC＝3R2sinB·sinC＝3R2sinB·sinπ3－B＝32R2sin2B＋π6－34R2，B∈0，π3.由正弦定理2R＝asinA＝6sin2π3＝43，∴R＝23.当2B＋π6＝π2，即B＝C＝π6时，Smax＝33，∴△ABC面积的最大值为33，此时△ABC为等腰钝角三角形．