（浙江专用）2019-2020学年高中数学 第三章 不等式 3.4 基本不等式课件 新人教A版必修5

预习课本P97～100，思考并完成以下问题3.4基本不等式：ab≤a＋b2(1)基本不等式的形式是什么？需具备哪些条件？(2)在利用基本不等式求最值时，应注意哪些方面？(3)一般按照怎样的思路来求解实际问题中的最值问题？一、预习教材·问题导入1．重要不等式当a，b是任意实数时，有a2＋b2≥，当且仅当时，等号成立．2．基本不等式(1)有关概念：当a，b均为正数时，把_____叫做正数a，b的算术平均数，把____叫做正数a，b的几何平均数．2aba＝ba＋b2ab二、归纳总结·核心必记(2)不等式：当a，b是任意正实数时，a，b的几何平均数不大于它们的算术平均数，即ab≤_____，当且仅当时，等号成立．(3)变形：ab≤a＋b22≤a2＋b22，a＋b≥2ab(其中a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时等号成立)．a＋b2a＝b[提醒]基本不等式成立的条件：a＞0且b＞0；其中等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号，即若a≠b时，则ab≠a＋b2，即只能有ab＜a＋b2.解析：(1)错误．任意a，b∈R，有a2＋b2≥2ab成立，当a，b都为正数时，不等式a＋b≥2ab成立．(2)错误．只有当a0时，根据基本不等式，才有不等式a＋4a≥2a·4a＝4成立．(3)正确．因为ab≤a＋b2，所以ab≤a＋b22.1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2ab均成立()(2)若a≠0，则a＋4a≥2a·4a＝4()(3)若a0，b0，则ab≤a＋b22()√××三、基本技能·素养培优2．若a＞b＞0，则下列不等式成立的是()A．a＞b＞a＋b2＞abB．a＞a＋b2＞ab＞bC．a＞a＋b2＞b＞abD．a＞ab＞a＋b2＞b解析：选Ba＝a＋a2＞a＋b2＞ab＞b·b＝b，因此B项正确．解析：选B由x＋9x＋2≥2x·9x＋2＝8(当且仅当x＝9x，即x＝3时，取等号)，故选B.3．若x0，则x＋9x＋2有()A．最小值6B．最小值8C．最大值8D．最大值34．利用基本不等式求最值，下列运用正确的是()A．y＝|x|2＋4|x|≥2|x|2·4|x|＝4|x|≥0B．y＝sinx＋4sinx≥2sinx·4sinx＝4(x为锐角)C．已知ab≠0，ab＋ba≥2ab·ba＝2D．y＝3x＋43x≥23x·43x＝4解析：选D在A中，4|x|不是常数，故A选项错误；在B中，sinx＝4sinx时无解，y取不到最小值4，故B选项错误；在C中，ab，ba未必为正，故C选项错误；在D中，3x，43x均为正，且3x＝43x时，y取最小值4，故D选项正确．[典例](1)已知m＝a＋1a－2(a2)，n＝22－b2(b≠0)，则m，n之间的大小关系是()A．mnB．mnC．m＝nD．不确定(2)若ab1，P＝lga·lgb，Q＝12(lga＋lgb)，R＝lga＋b2，则P，Q，R的大小关系是________．考点一利用基本不等式比较大小[解析](1)因为a2，所以a－20，又因为m＝a＋1a－2＝(a－2)＋1a－2＋2，所以m≥2a－2·1a－2＋2＝4，由b≠0，得b2≠0，所以2－b22，n＝22－b24，综上可知mn.(2)因为ab1，所以lgalgb0，所以Q＝12(lga＋lgb)lga·lgb＝P；Q＝12(lga＋lgb)＝lga＋lgb＝lgablga＋b2＝R.所以PQR.[答案](1)A(2)PQR利用基本不等式比较实数大小的注意事项(1)利用基本不等式比较大小，常常要注意观察其形式(和与积)，同时要注意结合函数的性质(单调性)．(2)利用基本不等式时，一定要注意条件是否满足a0，b0.[类题通法]已知a，b，c都是非负实数，试比较a2＋b2＋b2＋c2＋c2＋a2与2(a＋b＋c)的大小．解：因为a2＋b2≥2ab，所以2(a2＋b2)≥(a＋b)2，所以a2＋b2≥22(a＋b)，同理b2＋c2≥22(b＋c),c2＋a2≥22(c＋a)，所以a2＋b2＋b2＋c2＋c2＋a2≥22[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]，即a2＋b2＋b2＋c2＋c2＋a2≥2(a＋b＋c)，当且仅当a＝b＝c时，等号成立.[针对训练][典例]已知a，b，c均为正实数，求证：2b＋3c－aa＋a＋3c－2b2b＋a＋2b－3c3c≥3.[证明]∵a，b，c均为正实数，∴2ba＋a2b≥2(当且仅当a＝2b时等号成立)，3ca＋a3c≥2(当且仅当a＝3c时等号成立)，3c2b＋2b3c≥2(当且仅当2b＝3c时等号成立)，考点二利用基本不等式证明不等式将上述三式相加得2ba＋a2b＋3ca＋a3c＋3c2b＋2b3c≥6(当且仅当a＝2b＝3c时等号成立)，∴2ba＋a2b－1＋3ca＋a3c－1＋3c2b＋2b3c－1≥3(当且仅当a＝2b＝3c时等号成立)，即2b＋3c－aa＋a＋3c－2b2b＋a＋2b－3c3c≥3(当且仅当a＝2b＝3c时等号成立)．利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．(2)注意事项：①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型再使用．[类题通法]已知a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，求证：1a－11b－11c－1≥8.证明：因为a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，所以1a－1＝1－aa＝b＋ca≥2bca.同理，1b－1≥2acb，1c－1≥2abc.上述三个不等式两边均为正，相乘得1a－11b－11c－1≥2bca·2acb·2abc＝8，当且仅当a＝b＝c＝13时，取等号.[针对训练][典例](1)已知lga＋lgb＝2，求a＋b的最小值．(2)已知x＞0，y＞0，且2x＋3y＝6，求xy的最大值．(3)已知x＞0，y＞0，1x＋9y＝1，求x＋y的最小值．[解](1)由lga＋lgb＝2可得lgab＝2，即ab＝100，且a＞0，b＞0，因此由基本不等式可得a＋b≥2ab＝2100＝20，当且仅当a＝b＝10时，a＋b取到最小值20.(2)∵x＞0，y＞0,2x＋3y＝6，∴xy＝16(2x·3y)≤16·2x＋3y22＝16·622＝32，当且仅当2x＝3y，即x＝32，y＝1时，xy取到最大值32.考点三利用基本不等式求最值(3)∵1x＋9y＝1，∴x＋y＝(x＋y)·1x＋9y＝1＋9xy＋yx＋9＝yx＋9xy＋10，又∵x＞0，y＞0，∴yx＋9xy＋10≥2yx·9xy＋10＝16，当且仅当yx＝9xy，即y＝3x时，等号成立．由y＝3x，1x＋9y＝1，得x＝4，y＝12，即当x＝4，y＝12时，x＋y取得最小值16.(1)应用基本不等式需注意三个条件：即一正、二定、三相等．在具体的题目中，“正数”条件往往易从题设中获得解决，“相等”条件也易验证确定，而要获得“定值”条件却常常被设计为一个难点，它需要一定的灵活性和变形技巧．因此，“定值”条件决定着基本不等式应用的可行性，这是解题成败的关键．(2)常用构造定值条件的技巧变换：①加项变换；②拆项变换；③统一变元；④平方后利用基本不等式．(3)对于条件最值要注意“1”的代换技巧的运用．[类题通法]1．已知a0，b0，2a＋1b＝16，若不等式2a＋b≥9m恒成立，则m的最大值为()A．8B．7C．6D．5解析：选C由已知，可得62a＋1b＝1，∴2a＋b＝62a＋1b·(2a＋b)＝65＋2ab＋2ba≥6×(5＋4)＝54，当且仅当2ab＝2ba时等号成立，∴9m≤54，即m≤6，故选C.[针对训练]2．设ab0，则a2＋1ab＋1aa－b的最小值是()A．1B．2C．3D．4解析：选D因为ab0，所以a－b0，所以a2＋1ab＋1aa－b＝a(a－b)＋1aa－b＋ab＋1ab≥2aa－b·1aa－b＋2ab·1ab＝4，当且仅当a(a－b)＝1aa－b且ab＝1ab，即a＝2，b＝22时等号成立.[典例]某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：(1)仓库面积S的最大允许值是多少？(2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？考点四利用基本不等式解应用题[解](1)设铁栅长为x米，一堵砖墙长为y米，而顶部面积为S＝xy，依题意得，40x＋2×45y＋20xy＝3200，由基本不等式得3200≥240x×90y＋20xy＝120xy＋20xy，＝120S＋20S.所以S＋6S－160≤0，即(S－10)(S＋16)≤0，故S≤10，从而S≤100，所以S的最大允许值是100平方米，(2)取得最大值的条件是40x＝90y且xy＝100，求得x＝15，即铁栅的长是15米．求实际问题中最值的解题4步骤(1)先读懂题意，设出变量，理清思路，列出函数关系式．(2)把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题．(3)在定义域内，求函数的最大值或最小值时，一般先考虑基本不等式，当基本不等式求最值的条件不具备时，再考虑函数的单调性．(4)正确写出答案．[类题通法]某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，求当每台机器运转多少年时，年平均利润最大，最大值是多少．解：每台机器运转x年的年平均利润为yx＝18－x＋25x，而x0，故yx≤18－225＝8，当且仅当x＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．故当每台机器运转5年时，年平均利润最大，最大值为8万元．[针对训练]