（浙江专版）2019-2020学年高中数学 第一章 计数原理 1.2.1 排列 第一课时 排列与排列

1．2排列与组合1．2.1排列第一课时排列与排列数公式一、预习教材·问题导入预习课本P14～20，思考并完成以下问题1．排列的概念是什么？2．排列数的定义是什么？什么是排列数公式？3．排列数公式有哪些性质？1．排列的概念从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照___________排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．2．相同排列的两个条件(1)_____相同．(2)_________相同．一定的顺序元素排列顺序二、归纳总结·核心必记[规律总结]排列中元素所满足的两个特性(1)无重复性：从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同的元素，否则不是排列问题．(2)有序性：安排这m个元素时是有顺序的，有序的就是排列，无序的不是排列．而检验它是否有顺序的依据是变换元素的位置，看结果是否发生变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序．3．排列数及排列数公式排列数定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数排列数表示法乘积式Amn＝排列数公式阶乘式Amn＝性质Ann＝备注n，m∈N*，m≤nAmnn(n－1)(n－2)…(n－m＋1)n！n－m！n！不同排列1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)1,2,3与3,2,1为同一排列．()(2)在一个排列中，同一个元素不能重复出现．()(3)从1,2,3,4中任选两个元素，就组成一个排列．()(4)从5个同学中任选2个同学分别参加数学和物理竞赛的所有不同的选法是一个排列问题．()√×√×三、基本技能·素养培优2．A39等于()A．9×3B．93C．9×8×7D．9×8×7×6×5×4×3答案：C3．若Am10＝10×9×…×5，则m＝________.答案：6[典例]判断下列问题是否为排列问题．(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；(2)选2个小组分别去植树和种菜；(3)选2个小组分别去种菜；(4)选10人组成一个学习小组；(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；(6)某班40名学生在假期相互通信．考点一排列的概念[解](1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题．(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．(3)，(4)不存在顺序问题，不属于排列问题．(5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．(6)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题．所以在上述各题中(2)，(5)，(6)属于排列问题．判断一个具体问题是否为排列问题的方法[类题通法][针对训练]下列问题是排列问题吗？(1)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做加法，其结果有多少种不同的可能？(2)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做除法有多少种不同的可能？(3)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排3位客人入座，又有多少种方法？解:(1)不是；(2)是；(3)第一问不是，第二问是．理由：由于加法运算满足交换律，所以选出的两个元素做加法求结果时，与两个元素的位置无关，但列除法算式时，两个元素谁作除数，谁作被除数不一样，此时与位置有关．选出3个座位与顺序无关，“入座”问题同“排队”，与顺序有关，故选3个座位安排3位客人入座是排列问题.[典例](1)从1，2，3，4四个数字中任取两个数字组成两位不同的数，一共可以组成多少个？(2)写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列．[解](1)由题意作“树形图”，如下．故组成的所有两位数为12，13，14，21，23，24，31，32，34，41，42，43，共有12个．考点二简单排列问题(2)由题意作“树形图”，如下．故所有的排列为：abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb.[类题通法]利用“树形图”法解决简单排列问题的适用范围及策略(1)适用范围：“树形图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式．(2)策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树形图写出排列．[针对训练]解:如图所示的树形图：故所有可能的站法是BACD，BADC，BCAD，BDAC，CABD，CADB，CBAD，CDAB，DABC，DACB，DBAC，DCAB，共12种.写出A，B，C，D四名同学站成一排照相，A不站在两端的所有可能站法．[典例]根据要求完成下列各题．(1)计算：A59＋A49A610－A510；(2)解方程：3Ax8＝4Ax－19；(3)解不等式：Ax86Ax－28.[解](1)原式＝5A49＋A495A510－A510＝6A494A510＝6A4940A49＝640＝320.考点三排列数公式及应用(2)由排列数公式，原方程可化为3×8！8－x！＝4×9！10－x！，化简得3＝4×910－x9－x，即x2－19x＋78＝0，解得x1＝6，x2＝13.因为x≤8，所以原方程的解是x＝6.(3)由排列数公式，得8！8－x！6·8！10－x！，化简得1610－x9－x，即x2－19x＋840，所以7x12.又因为x∈N*,0x≤8,0x－2≤8，所以2x≤8且x∈N*，所以x＝8.[类题通法]排列数公式的形式及选择方法排列数公式有两种形式，一种是连乘积的形式，另一种是阶乘的形式，若要计算含有数字的排列数的值，常用连乘积的形式进行计算，而要对含有字母的排列数的式子进行变形或作有关的论证时，一般用阶乘式．[针对训练]解：(1)A66＝6！＝6×5×4×3×2×1＝720.(2)2A58＋7A48A88－A59＝2×8×7×6×5×4＋7×8×7×6×58×7×6×5×4×3×2×1－9×8×7×6×5＝1.计算下列各题：(1)A66；(2)2A58＋7A48A88－A59；(3)若3A3n＝2A2n＋1＋6A2n，求n.(3)由3A3n＝2A2n＋1＋6A2n，得3n(n－1)(n－2)＝2(n＋1)n＋6n(n－1)．因为n≥3且n∈N*，所以3n2－17n＋10＝0.解得n＝5或n＝23(舍去)．所以n＝5.