（浙江专版）2019-2020学年高中数学 第一章 导数及其应用（部分） 1.2 导数的计算 第一课

预习课本P12～14，思考并完成下列问题第一课时几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式(1)函数y＝c，y＝x，y＝x－1，y＝x2，y＝x的导数分别是什么？能否得出y＝xn的导数公式？(2)正余弦函数的导数公式、指数函数、对数函数的导数公式是什么？1.2导数的计算一、预习教材·问题导入1．几种常用函数的导数函数导数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xf′(x)＝1f(x)＝x2f′(x)＝2xf(x)＝1xf′(x)＝－1x2f(x)＝xf′(x)＝12x二、归纳总结·核心必记[提醒]对几种常用函数的导数的两点说明(1)以上几个常用函数的导数是求解其他函数的导数的基础，都是通过导数的定义求得的，都属于幂函数的导数．(2)以上几个常见的导数公式需记牢，在求导数时，可直接应用，不必再用定义去求导．2．基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝_____f(x)＝sinxf′(x)＝_____f(x)＝cosxf′(x)＝_______f(x)＝ax(a0且a≠1)f′(x)＝______f(x)＝exf′(x)＝__f(x)＝logax(a0且a≠1)f′(x)＝_____f(x)＝lnxf′(x)＝___0αxα－1cosx－sinxaxlnaex1xlna1x1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若y＝2，则y′＝12×2＝1.()(2)若f′(x)＝sinx，则f(x)＝cosx．()(3)f(x)＝1x3，则f′(x)＝－3x4.()××√三、基本技能·素养培优2．下列结论不正确的是()A．若y＝0，则y′＝0B．若y＝5x，则y′＝5C．若y＝x－1，则y′＝－x－2D．若y＝x12，则y′＝12x12答案：D答案：C3．若y＝cos2π3，则y′＝()A．－32B．－12C．0D．124．曲线y＝ex在点(0,1)处的切线方程为________．答案：y＝x＋1考点一利用导数公式求函数的导数[典例]求下列函数的导数．(1)y＝x12；(2)y＝1x4；(3)y＝5x3；(4)y＝3x；(5)y＝log5x.[解](1)y′＝(x12)′＝12x11.(2)y′＝1x4′＝(x－4)′＝－4x－5＝－4x5.(3)y′＝(5x3)′＝(x35)′＝35x25.(4)y′＝(3x)′＝3xln3.(5)y′＝(log5x)′＝1xln5.求简单函数的导函数有两种基本方法(1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式．[类题通法][针对训练]求下列函数的导数：(1)y＝lgx；(2)y＝12x；(3)y＝xx；(4)y＝logx.解：(1)y′＝(lgx)′＝lnxln10′＝1xln10.(2)y′＝12x′＝12xln12＝－12xln2.(3)y′＝(xx)′＝(x32)′＝32x12＝32x.(4)y′＝logx′＝1xln13＝－1xln3.1313[典例](1)曲线y＝cosx在点Pπ3，12处的切线与y轴交点的纵坐标是()A.12－3π9B.12＋3π9C.12＋3π6D.12－3π6(2)设曲线y＝x在点(2，2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a＝()A.22B.24C.－22D.22考点二导数公式的综合应用[解析](1)因为y′＝－sinx，切点为Pπ3，12，所以切线的斜率k＝y′x＝π3＝－sinπ3＝－32，所以切线方程为y－12＝－32x－π3，令x＝0，得y＝12＋3π6，故选C.(2)因为y＝x＝x12，所以y′＝12x12＝12x，所以切线的斜率k＝y′x＝2＝122，由已知，得－a＝－22，即a＝22，故选D.[答案](1)C(2)D1．利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况(1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数．(2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．2．求过点P与曲线相切的直线方程的三个步骤[类题通法][针对训练]1．求曲线y＝x在点(1,1)处的切线与x轴、直线x＝2所围成的三角形的面积．解：可求得y′＝23x，即y′|x＝1＝23，切线方程为2x－3y＋1＝0，与x轴的交点坐标为－12，0，与x＝2的交点坐标为2，53，围成三角形面积为12×2＋12×53＝2512.23－132．当常数k为何值时，直线y＝x与曲线y＝x2＋k相切？请求出切点．解：设切点为A(x0，x20＋k)．∵y′＝2x，∴2x0＝1，x20＋k＝x0，∴x0＝12，k＝14，故当k＝14时，直线y＝x与曲线y＝x2＋k相切，且切点坐标为12，12.