（浙江专版）2019-2020学年高中数学 第一章 导数及其应用（部分） 1.2 导数的计算 第二课

预习课本P15～17，思考并完成下列问题第二课时导数的运算法则(1)导数的四则运算法则是什么？在使用运算法则时的前提条件是什么？(2)复合函数的定义是什么，它的求导法则又是什么？一、预习教材·问题导入1．导数的四则运算法则(1)条件：f(x)，g(x)是可导的．(2)结论：①[f(x)±g(x)]′＝．②[f(x)g(x)]′＝．③fxgx′＝．f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)f′xgx－fxg′x[gx]2(g(x)≠0)二、归纳总结·核心必记[提醒]应用导数公式的注意事项(1)两个导数的和差运算只可推广到有限个函数的和差的导数运算．(2)两个函数可导，则它们的和、差、积、商(商的分母不为零)必可导．(3)若两个函数不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导．(4)对于较复杂的函数式，应先进行适当的化简变形，化为较简单的函数式后再求导，可简化求导过程．2．复合函数的求导公式(1)复合函数的定义：①一般形式是．②可分解为与，其中u称为．(2)求导法则：复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为：yx′＝.y＝f(g(x))y＝f(u)u＝g(x)中间变量yu′·ux′[提醒]在复合函数定义中，y是因变量，x是自变量，u是中间变量，因变量y是中间变量u的函数，中间变量u是自变量x的函数．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)f′(x)＝2x，则f(x)＝x2.()(2)函数f(x)＝xex的导数是f′(x)＝ex(x＋1)．()(3)函数f(x)＝sin(－x)的导数为f′(x)＝cosx．()××√三、基本技能·素养培优2．函数y＝sinx·cosx的导数是()A．y′＝cos2x＋sin2xB．y′＝cos2xC．y′＝2cosx·sinxD．y′＝cosx·sinx答案：B3．若f(x)＝(2x＋a)2，且f′(2)＝20，则a＝________.答案：14．曲线y＝sin2x在点M(π，0)处的切线方程是________．答案：2x－y－2π＝0考点一利用导数四则运算法则求导[典例]求下列函数的导数：(1)y＝x2＋log3x；(2)y＝x3·ex；(3)y＝cosxx.[解](1)y′＝(x2＋log3x)′＝(x2)′＋(log3x)′＝2x＋1xln3.(2)y′＝(x3·ex)′＝(x3)′·ex＋x3·(ex)′＝3x2·ex＋x3·ex＝ex(x3＋3x2)．(3)y′＝cosxx′＝cosx′·x－cosx·x′x2＝－x·sinx－cosxx2＝－xsinx＋cosxx2.求函数的导数的策略(1)先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数．(2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算．[类题通法][针对训练]求下列函数的导数：(1)y＝sinx－2x2；(2)y＝cosx·lnx；(3)y＝exsinx.解：(1)y′＝(sinx－2x2)′＝(sinx)′－(2x2)′＝cosx－4x.(2)y′＝(cosx·lnx)′＝(cosx)′·lnx＋cosx·(lnx)′＝－sinx·lnx＋cosxx.(3)y′＝exsinx′＝ex′·sinx－ex·sinx′sin2x＝ex·sinx－ex·cosxsin2x＝exsinx－cosxsin2x[典例]求下列函数的导数：(1)y＝11－2x2；(2)y＝sin22x＋π3；(3)y＝5log2(2x＋1)．考点二复合函数的导数运算[解](1)设y＝u，u＝1－2x2，则y′＝(u)′(1－2x2)′＝－12u·(－4x)＝－12(1－2x2)(－4x)＝2x(1－2x2).－12－12－32－32－32(2)设y＝u2，u＝sinv，v＝2x＋π3，则yx′＝yu′·uv′·vx′＝2u·cosv·2＝4sinvcosv＝2sin2v＝2sin4x＋2π3.(3)设y＝5log2u，u＝2x＋1，则y′＝5(log2u)′·(2x＋1)′＝10uln2＝102x＋1ln2.1．求复合函数的导数的步骤[类题通法]2．求复合函数的导数的注意点(1)内、外层函数通常为基本初等函数．(2)求每层函数的导数时注意分清是对哪个变量求导，这是求复合函数导数时的易错点．[类题通法][针对训练]求下列函数的导数：(1)y＝(3x－2)2；(2)y＝ln(6x＋4)；(3)y＝e2x＋1；(4)y＝2x－1；(5)y＝sin3x－π4；(6)y＝cos2x.解：(1)y′＝2(3x－2)·(3x－2)′＝18x－12；(2)y′＝16x＋4·(6x＋4)′＝33x＋2；(3)y′＝e2x＋1·(2x＋1)′＝2e2x＋1；(4)y′＝122x－1·(2x－1)′＝12x－1.(5)y′＝cos3x－π4·3x－π4′＝3cos3x－π4.(6)y′＝2cosx·(cosx)′＝－2cosx·sinx＝－sin2x.[典例](1)设函数f(x)＝13x3－a2x2＋bx＋c，其中a0，曲线y＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线方程为y＝1，则b＝________，c＝________.(2)若曲线y＝xlnx上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________．考点三与切线有关的综合问题[解析](1)由题意得f′(x)＝x2－ax＋b，由切点P(0，f(0))既在函数f(x)＝13x3－a2x2＋bx＋c上又在切线y＝1上，得f′0＝0，f0＝1，即02－a·0＋b＝0，13×03－a2×02＋b·0＋c＝1，解得b＝0，c＝1.(2)设P(x0，y0)，∵y＝xlnx，∴y′＝lnx＋x·1x＝1＋lnx.∴切线的斜率k＝1＋lnx0，又k＝2，∴1＋lnx0＝2，∴x0＝e.∴y0＝elne＝e，∴点P的坐标是(e，e)．[答案](1)01(2)(e，e)关于函数导数的应用及其解决方法应用求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用方法先求出函数的导数，若已知切点则求出切线斜率、切线方程﹔若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标．总之，切点在解决此类问题时起着至关重要的作用[类题通法][针对训练]1．求本例(2)中的切线与直线2x－y＋1＝0之间的距离．解：求点P处的切线与直线2x－y＋1＝0之间的距离即求点P到直线2x－y＋1＝0的距离，故所求的距离d＝|2e－e＋1|22＋－12＝5e＋15.2．求本例(2)中过曲线上一点与直线y＝－x平行的切线方程．解：设切点为(x1，y1)，因为y′＝lnx＋1，所以切线的斜率为k＝lnx1＋1，又k＝－1，得x1＝1e2，y1＝－2e2，故所求的切线方程为y＋2e2＝－x－1e2，即e2x＋e2y＋1＝0.