（浙江专版）2019-2020学年高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1.1 数系的扩充和

3．1.1数系的扩充和复数的概念3.1数系的扩充和复数的概念预习课本P102～103，思考并完成下列问题(1)实数系经过扩充后得到的新数集是什么？复数集如何分类？(2)复数能否比较大小？复数相等的充要条件是什么？纯虚数、虚数、实数、复数关系如何？一、预习教材·问题导入1．复数的有关概念(1)复数①定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做，满足i2＝，实部是，虚部是.②表示方法：复数通常用字母表示，代数形式为z＝a＋bi(a，b∈R)．(2)复数集①定义：所成的集合．②表示：通常用大写字母C表示．虚数单位－1z全体复数ab二、归纳总结·核心必记[提醒]复数概念的三点说明(1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i.(2)复数的虚部是实数b而非bi.(3)复数z＝a＋bi只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是代数形式．2．复数相等在复数集C＝a＋bi|a，b∈R中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等的充要条件是.3．复数的分类对于复数a＋bi，当且仅当时，它是实数；当且仅当a＝b＝0时，它是实数0；当时，叫做虚数；当时，叫做纯虚数．这样，复数z＝a＋bi可以分类如下：复数z实数b＝0，虚数b≠0当a＝0时为纯虚数.a＝c且b＝db＝0b≠0a＝0且b≠0[规律总结]复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．()(2)若a为实数，则z＝a一定不是虚数．()(3)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．()×√√三、基本技能·素养培优2．在2＋7，27i,8＋5i，(1－3)i,0.68这几个数中，纯虚数的个数为()A．0B．1C．2D．3答案：C3．若a－2i＝bi＋1，a，b∈R，则a2＋b2＝________.答案：54．设m∈R，复数z＝－1－m＋(2m－3)i.(1)若z为实数，则m＝________；(2)若z为纯虚数，则m＝________.答案：(1)32(2)－1考点一复数的概念及分类[典例](1)给出下列三个命题：①若z∈C，则z2≥0；②2i－1的虚部是2i；③2i的实部是0.其中真命题的个数为()A．0B．1C．2D．3(2)当m为何实数时，复数z＝m2－m－6m＋3＋(m2－2m－15)i.①是虚数；②是纯虚数．[解析](1)对于①，当z∈R时，z2≥0成立，否则不成立，如z＝i，z2＝－10，所以①为假命题；对于②，2i－1＝－1＋2i，其虚部是2，不是2i，②为假命题；对于③，2i＝0＋2i，其实部是0，③为真命题．故选B.[答案]B(2)①当m＋3≠0，m2－2m－15≠0，即m≠5且m≠－3时，z是虚数．②当m2－m－6m＋3＝0，m2－2m－15≠0，即m＝3或m＝－2时，z是纯虚数．复数分类的关键(1)利用复数的代数形式，对复数进行分类，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式．求解参数时，注意考虑问题要全面，当条件不满足代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)时应先转化形式．(2)注意分清复数分类中的条件设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则①z为实数⇔b＝0，②z为虚数⇔b≠0，③z为纯虚数⇔a＝0，b≠0.④z＝0⇔a＝0，且b＝0.[类题通法][针对训练]1．本例(2)中条件不变，当m为何值时，z为实数？解：当m＋3≠0，m2－2m－15＝0，即m＝5时，z是实数．2．本例(2)中条件不变，当m为何值时，z0.解：因为z0，所以z为实数，需满足m2－m－6m＋30，m2－2m－15＝0，解得m＝5.3．已知z＝log2(1＋m)＋ilog(3－m)(m∈R)，若z是虚数，求m的取值范围．解：∵z是虚数，∴log(3－m)≠0，且1＋m0，即3－m0，3－m≠1，1＋m0，∴－1m2或2m3.∴m的取值范围为(－1,2)∪(2,3)．1212[典例](1)已知x2－y2＋2xyi＝2i，求实数x，y的值；(2)关于x的方程3x2－a2x－1＝(10－x－2x2)i有实根，求实数a的值．[解](1)∵x2－y2＋2xyi＝2i，∴x2－y2＝0，2xy＝2，解得x＝1，y＝1或x＝－1，y＝－1.考点二复数相等(2)设方程的实数根为x＝m，则3m2－a2m－1＝(10－m－2m2)i，∴3m2－a2m－1＝0，10－m－2m2＝0，解得a＝11或a＝－715.复数相等问题的解题技巧(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解．(2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现．(3)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的．[类题通法][针对训练]已知关于实数x，y的方程组2x－1＋i＝y－3－yi，①2x＋ay－4x－y＋bi＝9－8i，②有实数解，则实数a，b的值分别为________．解析：由①可得2x－1＝y，1＝－3－y，解得x＝52，y＝4.③把③代入②得5＋4a－(6＋b)i＝9－8i且a，b∈R，∴5＋4a＝9，6＋b＝8，解得a＝1，b＝2.答案：12