（新课改地区）2021版高考数学一轮复习 第五章 平面向量、复数 5.2 平面向量的分解与向量的坐标

第二节平面向量的分解与向量的坐标运算内容索引必备知识·自主学习核心考点·精准研析核心素养·微专题核心素养测评【教材·知识梳理】1.平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是一平面内的两个_______的向量，那么该平面内的任一向量a，存在唯一的一对实数a1，a2，使a=________.(2)基底：_______的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.2.平面向量的正交分解在_________下分解向量，叫做正交分解.不平行a1e1+a2e2不共线正交基底3.平面向量的坐标运算向量加法、减法、数乘向量及向量的模的坐标表示.设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a+b=_____________，a-b=_____________，λa=____________，|a|=______________.4.平面向量共线的坐标表示设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b的充要条件是__________.(x1+x2，y1+y2)(x1-x2，y1-y2)(λx1，λy1)x1y2-x2y1=02211xy【常用结论】1.向量共线的充要条件有两种：(1)a∥b⇔a=λb(b≠0).(2)a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2-x2y1=0.2.两向量相等的充要条件：它们的对应坐标相等.3.注意向量坐标与点的坐标的区别：(1)向量与坐标之间是用等号连接.(2)点的坐标，是在表示点的字母后直接加坐标.(3)是用B点的横纵坐标减去A点的横纵坐标，既有方向的信息也有大小的信息，其向量位置不确定.(4)点的坐标含有横坐标和纵坐标，点是唯一的.AB【知识点辨析】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.()(2)同一向量在不同基底下的表示是相同的.()(3)设a,b是平面内的一组基底,若实数λ1,μ1,λ2,μ2满足λ1a+μ1b=λ2a+μ2b,则λ1=λ2,μ1=μ2.()(4)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件可以表示成()1122xy .xy＝提示:(1)×.共线向量不可以作为基底.(2)×.同一向量在不同基底下的表示不相同.(3)√.用平面向量基本定理解释.(4)×.若b=(0,0),则无意义.1122xyxy＝【易错点索引】序号易错警示典题索引1忽略作为基底的必要条件是非零向量基础自测T12不能准确建立平面几何与向量的关系考点一、T13不能灵活运用“三角形法则”、“平行四边形法则”,不能将所求向量用基底表示考点二、T14混淆平行与垂直关系的坐标公式考点三、角度1【教材·基础自测】1.(必修4P103练习AT1改编)下列各组向量中,可以作为基底的是()A.e1=(0,0),e2=(1,-2)B.e1=(-1,2),e2=(5,7)C.e1=(3,5),e2=(6,10)D.e1=(2,-3),e2=【解析】选B.两个不共线的非零向量构成一组基底.13()24，－2.(必修4P105练习AT1改编)已知向量a=(4,2),b=(x,3),且a∥b,则x的值是()A.-6B.6C.9D.12【解析】选B.因为a∥b,所以4×3-2x=0,所以x=6.3.(必修4P106习题2-2BT2改编)已知三个力F1=(-2,-1),F2=(-3,2),F3=(4,-3)同时作用于某物体上一点,为使物体保持平衡,现加上一个力F4,则F4等于()A.(-1,-2)B.(1,-2)C.(-1,2)D.(1,2)【解析】选D.根据力的平衡原理有F1+F2+F3+F4=0,所以F4=-(F1+F2+F3)=(1,2).4.(必修4P102例6改编)设P是线段P1P2上的一点,若P1(1,3),P2(4,0)且P是线段P1P2的一个三等分点(靠近点P1),则点P的坐标为()A.(2,2)B.(3,-1)C.(2,2)或(3,-1)D.(2,2)或(3,1)【解析】选A.由已知=(3,-3).设P(x,y),则(x-1,y-3)=(1,-1),所以x=2,y=2,点P(2,2).112121PPPPPP3＝，5.(必修4P105习题2-2AT4改编)设e1,e2是不共线的两个向量,且λ1e1+λ2e2=0,则λ1+λ2=________.【解析】因为e1,e2是不共线的两个向量,且λ1e1+λ2e2=0,所以λ1=λ2=0,所以λ1+λ2=0.答案:0思想方法数形结合思想在向量中的应用【典例】已知||=1,||=,=0,点C在∠AOB内,且的夹角为30°,设(m,n∈R),则的值为________.【解析】因为=0,所以,以OA为x轴,OB为y轴建立平面直角坐标系,则=(1,0),因为tan30°=,所以m=3n,即=3.答案:3OAOB3OAOBOCOA与OCmOAnOB＝＋mnOAOBOAOBOAOB(03)OCmOAnOB(m3n).＝，，＝＋＝，3n3m3＝mn【思想方法指导】向量中的数形结合思想必须理清的四个问题一是向量运算的平行四边形法则、三角形法则;二是向量模的几何意义;三是向量的方向;四是题目中涉及图形有哪些性质.【迁移应用】已知在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=1,AC=2,D是△ABC内一点,且∠DAB=60°,设(λ,μ∈R),则=()ADABAC＝＋233A.B.C.3D.2333【解析】选A.如图,以A为原点,AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则B点的坐标为(1,0),C点的坐标为(0,2),因为∠DAB=60°,所以设点D(m,m)(m≠0).=(m,m)=λ=λ(1,0)+μ(0,2)=(λ,2μ),λ=m,μ=m,所以3AD3ABAC＋3223.3＝