（新课改地区）2021版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.2 同角三角函数的基本关系

第二节同角三角函数的基本关系式与诱导公式内容索引必备知识·自主学习核心考点·精准研析核心素养·微专题核心素养测评【教材·知识梳理】1.同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：_____________.(2)商数关系：_______________________________________.tanx=(其中x≠kπ+,k∈Z)sinxcosx2sin2x+cos2x=12.三角函数的诱导公式组数一二三四五六角2kπ+α(k∈Z)π+α-απ-α-α+α正弦sinα_____________________________________余弦cosα______________________________________正切tanα______________________________________22-sinα-sinαsinαcosαcosα-cosαcosα-cosαsinα-sinαtanα-tanα-tanαcotα-cotα【常用结论】1.同角三角函数关系式的常用变形(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα；sinα=tanα·cosα.2.诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.3.给角求值的基本原则负化正，大化小，化到锐角为终了.2【知识点辨析】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)若α,β为锐角,则sin2α+cos2β=1.()(2)若α∈R,则tanα=恒成立.()(3)sin(π+α)=-sinα成立的条件是α为锐角.()(4)若sin(kπ-α)=(k∈Z),则sinα=.()sincos1313提示:(1)×.根据同角三角函数的基本关系式知当α,β为同角时才正确.(2)×.当cosα≠0时才成立.(3)×.根据诱导公式知α为任意角.(4)×.当k为奇数和偶数时,sinα的值不同.【易错点索引】序号易错警示典题索引1求三角函数值时，忽视符号考点一、T12无法选择恰当的诱导公式考点二、T23不能熟练应用同角三角函数关系考点三、角度14不熟悉sinα±cosα与sinα·cosα之间的关系考点三、角度2【教材·基础自测】1.(必修4P25练习AT1改编)已知sinα=,≤α≤π,则tanα=()A.-2B.2C.D.-【解析】选D.因为cosα=-,所以tanα=552121221sin25251()55sin1.cos22.(必修4P25练习BT2(3)改编)已知tanα=-3,则cos2α-sin2α=()A.B.-C.D.-【解析】选B.由同角三角函数关系得cos2α-sin2α=45453535222222cossin1tan194.cossin1tan195－－－＝＝＝－＋＋＋3.(必修4P35习题1-2BT8改编)已知α为锐角,且sinα=,则cos(π+α)=()A.-B.C.-D.【解析】选A.因为α为锐角,所以cosα=,所以cos(π+α)=-cosα=-.4535354545231sin5－＝354.(必修4P25练习BT3(1)改编)化简=________.【解析】=sin2θ.答案:sin2θ21cos2cos2tan2221cos2sin2sin2cos2tan2cos2cos25.(必修4P28公式(三)推导改编)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sinα=,则sinβ=________.【解析】因为角α与角β的终边关于y轴对称,所以β=2kπ+π-α,k∈Z,所以sinβ=sin(2kπ+π-α)=sin(π-α)=sinα=.答案:131313解题新思维常见勾股数的应用【结论】求三角函数值时,熟练运用勾股数解3,4,5;5,12,13;7,24,25等.【典例】已知sinα=-,且α为第三象限的角,则tanα=________.1213【解析】方法一:因为sinα=-,α为第三象限的角,所以cosα=-=-,tanα=.方法二:看到sinα=-,想到勾股数5,12,13,所以cosα=±,tanα=±,因为α为第三象限角,所以tanα0,tanα=.答案:121321sin－513sin12cos5＝1213513125125125【迁移应用】已知x∈,cosx=,则tanx的值为()A.B.-C.D.-(0)2－，4534344343【解析】选B.方法一:因为x∈,所以sinx=-=-,所以tanx=.方法二:看到cosx=,想到勾股数3,4,5,所以sinα=±,tanα=±,因为α为第四象限角,所以tanα0,tanα=-.(0)2－，21cosx－35sinx3cosx4＝－45353434