（新课改地区）2021版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系课

第四节直线与圆、圆与圆的位置关系内容索引必备知识·自主学习核心考点·精准研析核心素养·微专题核心素养测评【教材·知识梳理】1.直线与圆的位置关系(1)直线与圆的三种位置关系：_____、_____、_____.(2)两种判断方法①代数法：联立方程组消去x(y)，得一元二次方程及其判别式Δ=b2-4ac.Δ0⇔_____________；Δ=0⇔_____________；Δ0⇔_____________.②几何法：圆心到直线的距离为d，半径为rdr⇔_____________；d=r⇔_____________；dr⇔_____________.相交相切相离直线与圆相交直线与圆相切直线与圆相离直线与圆相交直线与圆相切直线与圆相离2.圆与圆的位置关系(1)圆与圆的五种位置关系：外离、外切、_____、_____、内含.(2)判断方法：设两圆的半径分别为r1，r2，圆心距为d.dr1+r2⇔_____；d=r1+r2⇔外切；|r1-r2|dr1+r2⇔_____；d=|r1-r2|⇔_____；d|r1-r2|⇔_____.相交内切外离相交内切内含【常用结论】1.圆的切线方程常用结论(1)过圆x2+y2=r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2.(2)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.(3)过圆x2+y2=r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x+y0y=r2.2.直线与圆的位置关系的常用结论(1)当直线与圆相交时，由弦心距(圆心到直线的距离)，弦长的一半及半径长所表示的线段构成一个直角三角形.(2)弦长公式|AB|=|xA-xB|21k22ABAB(1k)xx4xx.＝［］3.圆与圆的位置关系的常用结论(1)两圆的位置关系与公切线的条数：①内含：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条.(2)两圆相交时公共弦的方程设圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，①圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0，②若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由①-②所得，即：(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0.(3)两个圆系方程①过直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0交点的圆系方程：x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ∈R)；②过圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0交点的圆系方程：x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1)(其中不含圆C2，所以注意检验C2是否满足题意，以防丢解).【知识点辨析】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)如果直线与圆组成的方程组有解,则直线与圆相交或相切.()(2)“k=1”是“直线x-y+k=0与圆x2+y2=1相交”的必要不充分条件.()(3)过圆O:x2+y2=r2外一点P(x0,y0)作圆的两条切线,切点为A,B,则O,P,A,B四点共圆且直线AB的方程是x0x+y0y=r2.()(4)如果两圆的公切线有两条,则两圆的位置关系为相交.()(5)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解,则两圆外切.()(6)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则两圆相交.()提示:(1)√.(2)×.“k=1”是“直线x-y+k=0与圆x2+y2=1相交”的充分不必要条件;(3)√;(4)√.(5)×.除外切外,还有可能内切;(6)×.两圆还可能内切或内含.【易错点索引】序号易错警示典题索引1不会运用两圆只有一条公切线的条件考点二、T12忽视斜率不存在的情况考点三、角度2T1【教材·基础自测】1.(必修2P101练习AT1改编)直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系为()A.相切B.相交但直线不过圆心C.直线过圆心D.相离【解析】选B.圆心为(0,0),到直线y=x+1即x-y+1=0的距离d=,而01,但是圆心不在直线y=x+1上,所以直线与圆相交,但直线不过圆心.1222222.(必修2P103练习AT2改编)两圆x2+y2-2y=0与x2+y2-4=0的位置关系是()A.相交B.内切C.外切D.内含【解析】选B.两圆方程可化为x2+(y-1)2=1,x2+y2=4.两圆圆心分别为O1(0,1),O2(0,0),半径分别为r1=1,r2=2.因为|O1O2|=1=r2-r1,所以两圆内切.3.(必修2P104练习BT3改编)圆x2+y2=4与圆x2+y2-4x+4y-12=0的公共弦所在的直线方程为________.【解析】由得4x-4y+8=0,即x-y+2=0.答案:x-y+2=02222xy40xy4x4y120，，4.(必修2P113巩固与提高T12改编)直线l:3x-y-6=0与圆x2+y2-2x-4y=0相交于A,B两点,则|AB|=________.【解析】由x2+y2-2x-4y=0得(x-1)2+(y-2)2=5,所以该圆的圆心坐标为(1,2),半径r=.又圆心(1,2)到直线3x-y-6=0的距离为d=,由=r2-d2,得|AB|2=10,即|AB|=.答案:532610291＝2AB210105.(必修2P103练习AT1改编)已知圆C1:x2+y2+2x-2y=0,圆C2:x2+y2-2x+6y=0,则两圆的公共弦长是____________.【解析】根据题意,设两圆的交点为M、N,即其公共弦所在的直线为MN,已知圆C1:x2+y2+2x-2y=0,圆C2:x2+y2-2x+6y=0,则MN的方程为:(x2+y2+2x-2y)-(x2+y2-2x+6y)=0,变形可得:4x-8y=0,即x-2y=0,圆C1:x2+y2+2x-2y=0的圆心为(-1,1),半径为,则C1的圆心到直线MN的距离d=,则|MN|=2×.答案:212355142552225rd5【核心素养】数学运算——直线与圆的综合问题【素养诠释】数学运算是指在明晰运算对象的基础上,依据运算法则解决数学问题的过程.本节的数学运算主要是解方程、不等式和解方程组.【典例】已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点.(1)求k的取值范围;(2)若=12,其中O为坐标原点,求|MN|.OMON【素养立意】(1)直线与圆相交时用解不等式dr求解.(2)把直线与圆方程联立用根与系数的关系求解.【解析】(1)由题设可知直线l的方程为y=kx+1.因为直线l与圆C交于两点,所以1,解得.所以k的取值范围为.22k311k4747k33474733，(2)设M(x1,y1),N(x2,y2).将y=kx+1代入方程(x-2)2+(y-3)2=1,整理得(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0.所以x1+x2=,x1x2=.=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=+8.241k1k271kOMON24k1k1k由题设可得+8=12,解得k=1,所以直线l的方程为y=x+1.故圆心C在直线l上,所以|MN|=2.24k1k1k