（新课改地区）2021版高考数学一轮复习 第八章 立体几何初步 8.5 空间直角坐标系、空间向量及其

第五节空间直角坐标系、空间向量及其运算内容索引必备知识·自主学习核心考点·精准研析核心素养测评【教材·知识梳理】1.空间直角坐标系及有关概念(1)空间直角坐标系：定义以空间一点O为原点，给定正方向，单位长度，建立两两垂直的数轴：x轴、y轴、z轴，建立了一个空间直角坐标系_____坐标原点点O坐标轴______________坐标平面通过每两个坐标轴的平面Oxyzx轴、y轴、z轴(2)空间一点M的坐标：①空间一点M的坐标可以用有序实数组(x，y，z)来表示，记作M(x，y，z)，其中x叫做点M的_______，y叫做点M的_______，z叫做点M的_______；②建立了空间直角坐标系，空间中的点M与有序实数组(x，y，z)可建立_________的关系.横坐标纵坐标竖坐标一一对应2.空间两点间的距离公式、中点公式(1)距离公式：①设点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则|AB|=__________________________；②设点P(x，y，z)，则与坐标原点O之间的距离为|OP|=______________.222121212xxyyzz222x+y+z(2)中点公式：设点P(x，y，z)为P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)的中点，则121212x+xx=,2y+yy=,2z+zz=.23.空间向量的有关概念名称定义空间向量在空间中，具有_____和_____的量相等向量方向_____且模_____的向量相反向量方向_____且模_____的向量共线向量(或平行向量)表示空间向量的有向线段所在的直线互相___________的向量共面向量平行于___________的向量大小方向相同相等相反相等平行或重合同一个平面4.空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得______.(2)共面向量定理：如果两个向量a，b_______，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在_____的有序实数对(x，y)，使________.(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c_______，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得___________.其中，__________叫做空间的一个基底.a=λb不共线唯一p=xa+yb不共面p=xa+yb+zc{a，b，c}【常用结论】1.零向量不可以作为基向量.2.基底选定后，空间的所有向量都可由基底唯一表示.3.空间向量的线性运算和数量积运算可类比平面向量的线性运算和数量积运算.4.空间向量的坐标运算和坐标原点的选取无关.5.实数0和任意向量相乘都为零向量.6.实数与空间向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算.【知识点辨析】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)空间中任意两个非零向量a,b共面.()(2)空间中任意三个向量都可以作为基底.()(3)若A,B,C,D是空间任意四点,则有=0.()(4)空间中模相等的两个向量方向相同或相反.()(5)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同.()ABBCCDDA提示:(1)√.(2)×.只有不共面的三个向量才能作基底.(3)√.(4)×.模相等的两个向量方向可能相同、相反或其他情况.(5)×.两向量夹角的范围为[0,π],两异面直线所成角的范围为它们不相同.(0]2，，【易错点索引】序号易错警示典题索引1利用向量加法、减法三角形法则时弄错方向致误考点一、T1,3,42混淆共线、共面定理致误考点二、典例1,23数量积公式用错致误考点三、角度1T14忽视向量夹角范围致误考点三、综合创新练T2【教材·基础自测】1.(选修2-1P84例2改编)如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为A1C1与B1D1的交点.若则下列向量中与相等的向量是()A.-a+b+cB.a+b+cC.-a-b+cD.a-b+c12121212121212121AB,AD,AA,abcBM【解析】选A.1111111BMBBBMAAADAB.2222cbaabc2.(选修2-1P85练习AT5改编)已知空间四边形OABC中,=a,=b,=c,点M在OA上,且OM=2MA,N为BC中点,则=()A.a-b+cB.-a+b+cC.a+b-cD.a+b-cOAOBOCMN121212121212121223232323【解析】选B.如图所示,1121211MNMAABBNOAOBOABCOBOAOCOB.3232322abc3.(选修2-1P94习题3-1AT9改编)已知a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),则下列结论正确的是()A.a∥c,b∥cB.a∥b,a⊥cC.a∥c,a⊥bD.以上都不对【解析】选C.因为c=(-4,-6,2)=2a,所以a∥c.又a·b=0,故a⊥b.4.(选修2-1P115习题3-2AT2改编)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,点E,F,G分别是DD1,AB,CC1的中点,则异面直线A1E与GF所成的角是()A.B.C.D.6432【解析】选D.所以A1E⊥GF.11111 AEDDDA2，111GFDDDABA22，11111111AEGF(DDDA)(DDDABA)222所以21111111111111111DDDDDADDBADADDDADADABA410424224，5.(选修2-1P119巩固与提高T12(1)改编)正四面体ABCD的棱长为2,E,F分别为BC,AD的中点,则EF的长为________.【解析】=12+22+12+2(1×2×cos120°+0+2×1×cos120°)=2,所以所以EF的长为.答案:222EFEFECCDDF222ECCDDF2(ECCDECDFCDDF)EF2，22