（新课改地区）2021版高考数学一轮复习 第八章 立体几何初步 8.1 空间几何体的结构特征及直观图

第八章立体几何初步第一节空间几何体的结构特征及直观图内容索引必备知识·自主学习核心考点·精准研析核心素养·微专题核心素养测评【教材·知识梳理】1.多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台底面互相_____且_____多边形互相_____侧棱___________相交于_____，但不一定相等延长线交于_____侧面形状_______________________平行相等平行平行且相等一点一点平行四边形三角形梯形2.旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球母线互相平行且相等，_____于底面相交于_____延长线交于_____轴截面全等的_____全等的___________全等的_________圆侧面展开图_______________垂直一点一点矩形等腰三角形等腰梯形矩形扇形扇环3.直观图斜二测画法规则：(1)夹角：原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为_____(或______)，z′轴与x′轴(或y′轴)垂直.(2)方向：原图形中与x轴、y轴、z轴平行的，在直观图中与x′轴，y′轴，z′轴_____.(3)长度：原图形中与x轴、z轴平行的，在直观图中长度不变，原图形中与y轴平行的，长度变成原来的.45°135°平行124.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧=_____S圆锥侧=____S圆台侧=__________2πrlπrlπ(r+r′)l5.空间几何体的表面积和体积公式【常用结论】1.正棱锥中的四个直角三角形(1)高、斜高、底面边心距.(2)高、侧棱、底面外接圆半径.(3)斜高、侧棱、底面边长一半.(4)底面边心距、外接圆半径、底面边长一半.2.直观图与原图形的面积关系利用斜二测画法，画出的水平放置的平面图形的直观图的面积是原来图形面积的.3.正四面体的性质棱长为a的正四面体，其高为a.其内切球和外接球的球心重合，是正四面体的中心.其外接球和内切球的半径分别为a和a.2463646124.祖暅原理幂势既同，则积不容异.夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么，这两个几何体的体积相等.【知识点辨析】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)有两个平面平行,其余各面都是四边形的多面体是棱柱.()(2)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥.()(3)有两个面是平行的相似多边形,其余各面都是梯形的几何体是棱台.()(4)用一个平面去截棱锥,棱锥的底面和截面之间的部分是棱台.()(5)锥体的体积等于底面积与高之积.()(6)已知球O的半径为R,其内接正方体的棱长为a,则R=a.()32提示:(1)×.也可以是棱台.(2)×.棱锥其余各面都是有同一个公共顶点的三角形.(3)×.侧棱延长后必须交于一点.(4)×.必须用平行于底面的平面去截棱锥.(5)×.锥体的体积等于底面积与高之积的三分之一.(6)√.正方体的体对角线是球的直径.【易错点索引】序号易错警示典题索引1对多面体定义理解不透彻考点一、T22对旋转体定义理解不透彻考点一、T1，33求锥体体积，公式记错考点二、角度2【教材·基础自测】1.(必修2P10练习AT3改编)下列说法不正确的是()A.棱柱的侧棱长都相等B.棱锥的侧棱长都相等C.三棱台的上、下底面是相似三角形D.有的棱台的侧棱长都相等【解析】选B.根据棱锥的结构特征知,棱锥的侧棱长不一定都相等.2.(必修2P21练习BT1改编)下列说法正确的是()A.相等的角在直观图中仍然相等B.相等的线段在直观图中仍然相等C.正方形的直观图是正方形D.若两条线段平行,则在直观图中对应的两条线段仍然平行【解析】选D.由直观图的画法规则知,角度、长度都有可能改变,而线段的平行性不变.3.(必修2P33习题1-1BT6改编)已知圆锥的表面积等于12πcm2,其侧面展开图是一个半圆,则底面圆的半径为()A.1cmB.2cmC.3cmD.cm【解析】选B.S表=πr2+πrl=πr2+πr·2r=3πr2=12π,所以r2=4,所以r=2.324.(必修2P8练习BT1改编)在如图所示的几何体中,是棱柱的为________.(填写所有正确的序号)【解析】由棱柱的定义可判断③⑤属于棱柱.答案:③⑤核心素养直观想象——与球有关的切、接问题【素养诠释】直观想象是借助几何直观和空间想象感知事物的形态变化,利用图形理解和解决数学问题的过程,主要表现为识图、画图和对图形的想象能力.识图是指观察研究所给图形中几何元素之间的相互关系;画图是指将文字语言和符号语言转化为图形语言以及对图形添加辅助图形或对图形进行各种变换;对图形的想象主要包括有图想图和无图想图两种,是空间想象能力高层次的标志.直观想象核心素养的体现:(1)是发现和提出问题、分析和解决问题的重要手段;(2)是探索和形成解题思路、进行数学推理、构建抽象结构的思维基础;(3)形成利用图形描述,建立数与形的联系,构建直观模型的思维品质;(4)增强几何直观、空间想象、数形结合的能力.【典例】1.(2019·全国卷Ⅰ)已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上,PA=PB=PC,△ABC是边长为2的正三角形,E,F分别是PA,AB的中点,∠CEF=90°,则球O的体积为()A.8πB.4πC.2πD.π66662.现有三个球和一个正方体,第一个球是正方体的内切球,第二个球与正方体的各条棱都相切,第三个球为正方体的外接球,那么这三个球的表面积之比为______________.世纪金榜导学号【素养立意】与球有关的切、接问题主要考查学生的空间想象能力,解答时要准确掌握“切”“接”问题的处理规律(1)“切”的处理首先要找准切点,通过作截面来解决,使截面过切点和球心.(2)“接”的处理抓住外接的特点,即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.【解析】1.选D.设PA=PB=PC=2x,点E,F分别为PA,AB的中点,所以EF∥PB,且EF=PB=x,因为△ABC是边长为2的等边三角形,所以CF=,又∠CEF=90°,所以CE=AE=PA=x,在△AEC中,利用余弦定理得cos∠EAC=,作PD⊥AC于D,因为PA=PC,所以D为AC中点,cos∠EAC=12323x,1222x43x22xAD1PA2x，所以所以2x2+1=2,所以x2=,x=,所以PA=PB=PC=,又AB=BC=AC=2,所以PA,PB,PC两两垂直,所以2R=所以R=,所以V=22x43x14x2x，122222226，6234466R6.338【一题多解】选D.因为PA=PB=PC,△ABC是边长为2的等边三角形,所以P-ABC为正三棱锥,易得PB⊥AC,又E,F分别为PA,AB的中点,所以EF∥PB,所以EF⊥AC,又EF⊥CE,CE∩AC=C,所以EF⊥平面PAC,PB⊥平面PAC,所以∠BPA=90°,所以PA=PB=PC=,所以P-ABC为正方体一部分,2R=即R=,所以V=22226，6234466R6.3382.设正方体棱长为a,则三个球的半径分别为,a,a,所以它们的表面积之比为1∶2∶3.答案:1∶2∶3a22232