（新课标）2021版高考数学一轮总复习 第一章 集合、常用逻辑用语 第3讲 简单的逻辑联结词、全称量

第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词【课程要求】1．了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．2．理解全称量词与存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定．【基础检测】概念辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若命题p∧q为假命题，则命题p，q都是假命题．()(2)命题p和綈p不可能都是真命题．()(3)若命题p，q至少有一个是真命题，则p∨q是真命题．()(4)若命题綈(p∧q)是假命题，则命题p，q中至多有一个是真命题．()(5)“长方形的对角线相等”是特称命题．()[答案](1)×(2)√(3)√(4)×(5)×教材改编2．[选修2－1p18B组]已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题綈p，綈q，p∨q，p∧q中真命题的个数为()A．1B．2C．3D．4[解析]p和q显然都是真命题，所以綈p，綈q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题．[答案]B3．[选修2－1p30T6(4)]命题“正方形都是矩形”的否定是________________________．[答案]存在一个正方形，这个正方形不是矩形易错提醒4．命题“∀x∈R，∃n0∈N*，使得n0≥x2”的否定是()A．∀x∈R，∃n0∈N*，使得n0x2B．∀x∈R，∀n∈N*，使得nx2C．∃x0∈R，∃n0∈N*，使得n0x20D．∃x0∈R，∀n∈N*，使得nx20[解析]∀的否定是∃，∃的否定是∀，n≥x2的否定是nx2，故选D.[答案]D5．(多选)已知命题p：∀x＞0，ln(x＋1)＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2.下列命题为真命题的是()A．p∨qB．p∧(綈q)C．(綈p)∨qD．(綈p)∧(綈q)[解析]∵x＞0，∴x＋1＞1，∴ln(x＋1)＞ln1＝0.∴命题p为真命题，∴綈p为假命题．∵a＞b，取a＝1，b＝－2，而12＝1，(－2)2＝4，此时a2＜b2，∴命题q为假命题，∴綈q为真命题．∴p∨q为真命题，p∧(綈q)为真命题，(綈p)∨q为假命题，(綈p)∧(綈q)为假命题．[答案]AB6．已知命题p：∀x∈R，∃m∈R，4x－2x＋1＋m＝0.若命题綈p是假命题，则实数m的取值范围是____________．[解析]若綈p是假命题，则p是真命题，即关于x的方程4x－2·2x＋m＝0有实数解，由于m＝－(4x－2·2x)＝－(2x－1)2＋1≤1，∴m≤1.[答案](－∞，1]【知识要点】1．逻辑联结词命题中的____________________叫逻辑联结词．2．命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断pqp∧qp∨q綈p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真“或”“且”“非”3.全称量词、存在量词(1)全称量词短语“对所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做__________，并用符号____表示．含有全称量词的命题，叫做_________，全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”，简记作_____________．(2)存在量词短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做_________，并用符号____表示．含有存在量词的命题，叫做_________，特称命题“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”，简记作_______________.量词名词常见量词表示符号全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等∀存在量词存在一个、至少有一个、有些、某些等∃全称量词∀全称命题∀x∈M，p(x)存在量词∃特称命题∃x0∈M，p(x0)4.全称命题和特称命题全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题.名称形式全称命题特称命题结构对M中的任意一个x，有p(x)成立存在M中的一个x0，使p(x0)成立简记________________________________否定________，綈p(x0)________，綈p(x)∀x∈M，p(x)∃x0∈M，p(x0)∃x0∈M∀x∈M含逻辑联结词命题的真假判断例1(1)已知命题p：对任意x∈R，总有2x0；命题q：“x1”是“x2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是()A．p∧qB．(綈p)∧(綈q)C．(綈p)∧qD．p∧(綈q)[解析]因为指数函数的值域为(0，＋∞)，所以对任意x∈R，y＝2x0恒成立，故p为真命题；因为当x1时，x2不一定成立，反之当x2时，一定有x1成立，故“x1”是“x2”的必要不充分条件，故q为假命题，则p∧q，綈p为假命题，綈q为真命题，(綈p)∧(綈q)，(綈p)∧q为假命题，p∧(綈q)为真命题．[答案]D(2)(多选)已知命题p：函数f(x)＝sinxcosx的最小正周期为π；命题q：函数g(x)＝sinx＋π2的图象关于原点对称．则下列命题中为真命题的是()A．p∧qB．p∨qC．綈qD．(綈p)∨q[解析]命题p：函数f(x)＝sinxcosx＝12sin2x，最小正周期为T＝2π2＝π，故命题p为真命题；命题q：函数g(x)＝sinx＋π2＝cosx，图象关于y轴对称，故命题q为假命题，所以p∨q为真命题，綈q为真命题．[答案]BC[小结]1.判断含有逻辑联结词命题真假的步骤2．含逻辑联结词命题真假的5种等价关系(1)p∨q真⇔p，q至少一个真⇔(綈p)∧(綈q)假．(2)p∨q假⇔p，q均假⇔(綈p)∧(綈q)真．(3)p∧q真⇔p，q均真⇔(綈p)∨(綈q)假．(4)p∧q假⇔p，q至少一个假⇔(綈p)∨(綈q)真．(5)綈p真⇔p假；綈p假⇔p真．1．若命题“p∨q”与命题“綈p”都是真命题，则()A．命题p与命题q都是真命题B．命题p与命题q都是假命题C．命题p是真命题，命题q是假命题D．命题p是假命题，命题q是真命题[解析]因为綈p为真命题，所以p为假命题，又p∨q为真命题，所以q为真命题．[答案]D2．(多选)已知命题p：若a1，则axlogax恒成立；命题q：在等差数列{an}中，m＋n＝p＋q是an＋am＝ap＋aq的充分不必要条件(m，n，p，q∈N*)．则下面选项中真命题是()A．(綈p)∧qB．(綈p)∨(綈q)C．p∨(綈q)D．p∧q[解析]当a＝1.1，x＝2时，ax＝1.12＝1.21，logax＝log1.12log1.11.21＝2，此时，axlogax，故p为假命题．命题q，由等差数列的性质，当m＋n＝p＋q时，an＋am＝ap＋aq成立，当公差d＝0时，由am＋an＝ap＋aq不能推出m＋n＝p＋q成立，故q是真命题．故綈p是真命题，綈q是假命题，所以p∧q为假命题，p∨(綈q)为假命题，(綈p)∧q为真命题，(綈p)∨(綈q)为真命题．[答案]AB[解析]∵全称命题的否定是特称命题，∴命题“对任意x∈R，都存在m01，使得m0xex成立”的否定是：“存在x0∈R，对任意m1，都有mx0≤0ex成立”．[答案]C全称命题与特称命题例2(1)命题“对任意x∈R，都存在m0＞1，使得m0xex成立”的否定为()A．对任意x∈R，都存在m01，使得m0x≤ex成立B．对任意x∈R，不存在m01，使得m0xex成立C．存在x0∈R，对任意m1，都有mx0≤0exD．存在x0∈R，对任意m1，都有mx00ex(2)下列四个命题：p1：∃x0∈(0，＋∞)，12x013x0；p2：∃x0∈(0，1)，log12x0log13x0；p3：∀x∈(0，＋∞)，12xlog12x;p4：∀x∈0，13，12xlog13x.其中真命题是()A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4[解析]根据幂函数的性质，对∀x∈(0，＋∞)，12x13x，故命题p1是假命题；由于log12x－log13x＝lgx－lg2－lgx－lg3＝lgx（lg2－lg3）lg2lg3，故对∀x∈(0，1)，log12xlog13x，所以∃x0∈(0，1)，log12x0log13x0，命题p2是真命题；当x∈0，12时，012x1，log12x1，故12xlog12x不成立，命题p3是假命题；∀x∈0，13，012x1，log13x1，故12xlog13x，命题p4是真命题．故p2，p4为真命题．[答案]D[小结](1)对全(特)称命题进行否定的方法①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词；②对原命题的结论进行否定．(2)判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x＝x0，使p(x0)成立．(3)含有一个量词的命题的否定及真假判断是高考命题的热点，而全称命题、特称命题的真假判断常与不等式、方程等相结合，涉及知识面较广，难度不大，是中低档题．一般以选择题、填空题的形式出现．3．命题“∃x0∈R，1＜f(x0)≤2”的否定形式是()A．∀x∈R，1＜f(x)≤2B．∃x0∈R，1＜f(x0)≤2C．∃x0∈R，f(x0)≤1或f(x0)＞2D．∀x∈R，f(x)≤1或f(x)＞2[解析]特称命题的否定是全称命题，原命题的否定形式为“∀x∈R，f(x)≤1或f(x)＞2”．[答案]D4．下列命题是假命题的是()A．∃α，β∈R，使cos(α＋β)＝cosα＋cosβB．∀φ∈R，函数f(x)＝sin(2x＋φ)都不是偶函数C．∃x0∈R，使x30＋ax20＋bx0＋c＝0(a，b，c∈R且为常数)D．∀a0，函数f(x)＝ln2x＋lnx－a有零点[解析]取α＝π2，β＝－π4，cos(α＋β)＝cosα＋cosβ，A正确；取φ＝π2，函数f(x)＝sin2x＋π2＝cos2x是偶函数，B错误；对于三次函数y＝f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，当x→－∞时，y→－∞，当x→＋∞时，y→＋∞，又f(x)在R上为连续函数，故∃x0∈R，使x30＋ax20＋bx0＋c＝0，C正确；当f(x)＝0时，ln2x＋lnx－a＝0，则有a＝ln2x＋lnx＝lnx＋122－14≥－14，所以∀a0，函数f(x)＝ln2x＋lnx－a有零点，D正确，综上可知，选B.[答案]B根据命题的真假求参数的取值范围例3(1)已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝12x－m，若对∀x1∈[0，3]，∃x2∈[1，2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是____________．[解析]当x∈[0，3]时，f(x)min＝f(0)＝0，当x∈[1，2]时，g(x)min＝g(2)＝14－m，由f(x)min≥g(x)min，得0≥14－m，所以m≥14.[答案]14，＋∞(2)已知a0，且a≠1，命题p：函数y＝loga(x＋1)在x∈(0，＋∞)内单调递减；命题q：曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点．若“p∨q”为假，则a的取值范围是()A.1，52B.－∞，12∪1，52C.12，52D.12，1∪52，＋∞[解析]当0a1时，函数y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内单调递减，若p为假，则a1.曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点等价于(2a－3)2－40，即a12或a52.若q为假，则a∈12，52.若使“p∨q”为假，则a∈(1，＋∞)∩12，52，即a∈1，52.[答案]A[小结]根据命题的真假求参数的取值范围的步骤(1)求出当命题p，q为真命题时所含参数的取值范围；(2)根据复合命题的真假判断命题p，q的真假性；(3)根据命题p，q的真假情况，利用集合的交集和补集的运算，求解参数的取值