（新课标）2021版高考数学一轮总复习 第五章 平面向量、复数 第29讲 平面向量的应用课件 新人教

第29讲平面向量的应用【课程要求】1．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．2．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．【基础检测】概念辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若AB→∥AC→，则A，B，C三点共线．()(2)在△ABC中，若AB→·BC→0，则△ABC为钝角三角形．()(3)若平面四边形ABCD满足AB→＋CD→＝0，(AB→－AD→)·AC→＝0，则该四边形一定是菱形．()(4)设定点A(1，2)与动点P(x，y)满足OP→·OA→＝4，则点P的轨迹方程是x＋2y－4＝0.()(5)已知平面直角坐标系内有三个定点A(－2，－1)，B(0，10)，C(8，0)，若动点P满足：OP→＝OA→＋t(AB→＋AC→)，t∈R，则点P的轨迹方程是x－y＋1＝0.()[答案](1)√(2)×(3)√(4)√(5)√教材改编2．[必修4p108A组T5]已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3，4)，B(5，2)，C(－1，－4)，则该三角形为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形[解析]AB→＝(2，－2)，AC→＝(－4，－8)，BC→＝(－6，－6)，∴|AB→|＝22＋（－2）2＝22，|AC→|＝16＋64＝45，|BC→|＝36＋36＝62，∴|AB→|2＋|BC→|2＝|AC→|2，∴△ABC为直角三角形．[答案]B3．[必修4p109例1]在△ABC中，D为BC的中点，则2AB2＋2AC2＝____________．(用BC，AD表示)[解析]AB→＋AC→＝2AD→，AB→－AC→＝CB→，两式平方相加得2AB2＋2AC2＝BC2＋4AD2.[答案]BC2＋4AD2易错提醒4．在△ABC中，已知AB→＝(2，3)，AC→＝(1，k)，且△ABC的一个内角为直角，则实数k的值为____________．[解析]①若A＝90°，则有AB→·AC→＝0，即2＋3k＝0，解得k＝－23；②若B＝90°，则有AB→·BC→＝0，因为BC→＝AC→－AB→＝(－1，k－3)，所以－2＋3(k－3)＝0，解得k＝113；③若C＝90°，则有AC→·BC→＝0，即－1＋k(k－3)＝0，解得k＝3±132.综上所述，k＝－23或113或3±132.[答案]－23或113或3±1325．在四边形ABCD中，AC→＝(1，2)，BD→＝(－4，2)，则该四边形的面积为________．[解析]依题意得AC→·BD→＝1×(－4)＋2×2＝0，所以AC→⊥BD→，所以四边形ABCD的面积为12|AC→|·|BD→|＝12×5×20＝5.[答案]56．设点A，B，C不共线，则“AB→与AC→的夹角为锐角”是“|AB→＋AC→||BC→|”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[解析]AB→与AC→的夹角为锐角，所以|AB→|2＋|AC→|2＋2AB→·AC→|AB→|2＋|AC→|2－2AB→·AC→，即|AB→＋AC→|2|AC→－AB→|2，因为AC→－AB→＝BC→，所以|AB→＋AC→||BC→|；当|AB→＋AC→||BC→|成立时，|AB→＋AC→|2|AB→－AC→|2⇒AB→·AC→0，又因为点A，B，C不共线，所以AB→与AC→的夹角为锐角．故“AB→与AC→的夹角为锐角”是“|AB→＋AC→||BC→|”的充分必要条件，故选C.[答案]C【知识要点】1．向量在平面几何中的应用平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题．(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：a∥b，且b≠0⇔存在唯一的λ∈R，使a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0或x1＝λx2，y1＝λy2，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)；(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质：a⊥b⇔________⇔_________________；(3)求夹角问题，利用夹角公式．a·b＝0x1x2＋y1y2＝02．平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解和合成与向量的加法和减法相似，可用向量的知识来解决．(2)物理学中的功是一个标量，是力F与位移S的数量积，即W＝F·S＝|F|·|S|·cosθ(θ为F与S的夹角)．【知识拓展】(1)若G是△ABC的重心，则GA→＋GB→＋GC→＝0.(2)若直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，则向量(A，B)与直线l垂直，向量(－B，A)与直线l平行．向量在物理中的应用例1一个重为|G|(单位：N)的物体，在竖直平面内受到两个力F1、F2(单位：N)的作用处于平衡状态，已知F1、F2的大小分别为1N和2N，且二力所成的角为120°，则G与F2所成的角的大小为________．[解析]如图，∵∠AOB＝120°，∴∠A＝60°.在△AOC中，|OC→|2＝|AO→|2＋|AC→2|－2|AO→|·|AC→|·cos60°＝3，∴|OC→|＝3.于是|OA→|2＋|OC→|2＝|AC→|2，即∠AOC＝90°，∴G与F2所成的角为150°.[答案]150°[小结]用向量法解决物理问题的步骤：①将相关物理量用几何图形表示出来；②将物理问题抽象成数学模型，转化为数学问题；③最后将数学问题还原为物理问题．1．一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：N)的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2N和4N，则F3的大小为________N.[解析]∵F1＋F2＝－F3，∴|F3|2＝|F1＋F2|2＝4＋16＋2×2×4×12＝28，∴|F3|＝27.[答案]27向量在平面几何中的应用例2在等腰直角三角形ABC中，AC＝BC，D是BC的中点，E是线段AB上的点，且AE＝2BE，求证：AD⊥CE.[解析]法一：(基向量法)设CA→＝a，CB→＝b，则|a|＝|b|，且a·b＝0，则CE→＝CB→＋BE→＝CB→＋13BA→＝CB→＋13(CA→－CB→)＝13a＋23b.AD→＝CD→－CA→＝12CB→－CA→＝12b－a.AD→·CE→＝12b－a·13a＋23b＝－13a2＋13b2＝0，所以AD→⊥CE→，即AD⊥CE.法二：(坐标法)以C为坐标原点，CA，CB所在直线分别为x轴，y轴建立直角坐标系．设CA＝2，则A(2，0)，B(0，2)，D(0，1)，E23，43，所以AD→＝(－2，1)，CE→＝23，43，所以AD→·CE→＝－43＋43＝0，所以AD→⊥CE→，即AD⊥CE.[小结]用向量法解决几何问题的步骤：①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；②通过向量运算，研究几何元素之间的关系；③把运算结果“翻译”成几何关系．[解析]以D为坐标原点，以DC，DA所在的直线分别为x轴，y轴建立如图所示的坐标系．设正方形的边长为1，设P(t，t)(0t1)，则F(t，0)，E(1，t)，A(0，1)，所以PA→＝(－t，1－t)，EF→＝(t－1，－t)．2．如图所示，四边形ABCD是正方形，P是对角线DB上的一点，四边形PECF是矩形．证明：(1)PA＝EF；(2)PA⊥EF.(1)|PA→|＝（－t）2＋（1－t）2＝2t2－2t＋1，|EF→|＝（t－1）2＋（－t）2＝2t2－2t＋1，所以|PA→|＝|EF→|，即PA＝EF.(2)PA→·EF→＝－t(t－1)＋(1－t)(－t)＝－t2＋t－t＋t2＝0，所以PA→⊥EF→，即PA⊥EF.平面向量在三角函数中的应用例3已知函数f(x)＝Asinπx＋φ的部分图象如图所示，点B，C是该图象与x轴的交点，过点C的直线与该图象交于D，E两点，则BD→＋BE→·BE→－CE→的值为()A．－1B．－12C.12D．2[解析]BD→＋BE→·BE→－CE→＝BD→＋BE→·BC→＝2BC→·BC→＝2|BC→|2，显然|BC→|的长度为半个周期，周期T＝2ππ＝2，∴|BC→|＝1，所求值为2.[答案]D例4在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若AB→·AC→＝CA→·CB→＝k(k∈R)．(1)判断△ABC的形状；(2)若k＝2，求b的值．[解析](1)∵AB→·AC→＝cbcosA，CA→·CB→＝bacosC，∴bccosA＝abcosC.根据正弦定理，得sinCcosA＝sinAcosC，即sinAcosC－cosAsinC＝0，sin(A－C)＝0，∴∠A＝∠C，即a＝c.则△ABC为等腰三角形．(2)由(1)知a＝c，由余弦定理，得AB→·AC→＝bccosA＝bc·b2＋c2－a22bc＝b22.AB→·AC→＝k＝2，即b22＝2，解得b＝2.[小结]三角函数与向量综合往往以向量运算构造问题的题设条件，因此依据向量知识转化为三角函数问题是问题求解的切入点．3．已知向量a＝sinα＋π6，1，b＝(4，4cosα－3)，若a⊥b，则sinα＋4π3等于()A．－34B．－14C.34D.14[解析]由a⊥b得a·b＝0，即4sinα＋π6＋4cosα－3＝0，∴23sinα＋6cosα＝3.∴sinα＋π3＝14，∴sinα＋4π3＝－sinα＋π3＝－14.[答案]B平面向量在解析几何中的应用例5已知点P(－3，0)，点A在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线AQ上，满足PA→·AM→＝0，AM→＝－32MQ→，当点A在y轴上移动时，动点M的轨迹方程为____________．[解析]设M(x，y)为轨迹上的任一点，设A(0，b)，Q(a，0)(a0)，则AM→＝(x，y－b)，MQ→＝(a－x，－y)．因为AM→＝－32MQ→，所以(x，y－b)＝－32(a－x，－y)，所以a＝13x，b＝－y2，即A0，－y2，Qx3，0，PA→＝3，－y2，AM→＝x，32y.因为PA→·AM→＝0，所以3x－34y2＝0，即所求轨迹的方程为y2＝4x(x0)．[答案]y2＝4x(x0)[小结]向量的坐标运算可将几何问题用代数方法处理，也可以将代数问题转化为几何问题来解决，其中向量是桥梁，因此，在解此类题目的时候，一定要重视转化与化归思想的运用．例6已知F1,F2分别为椭圆C：x28＋y22＝1的左、右焦点，点P(x0，y0)在椭圆C上．(1)求PF1→·PF2→的最小值；(2)设直线l的斜率为12，直线l与椭圆C交于A,B两点，若点P在第一象限，且PF1→·PF2→＝－1，求△ABP面积的最大值．[解析](1)依题意可知F1(－6，0),F2(6，0)，则PF1→＝(－6－x0，－y0),PF2→＝(6－x0，－y0)，∴PF1→·PF2→＝x20＋y20－6，∵点P(x0，y0)在椭圆C上，∴x208＋y202＝1，即y20＝2－x204，∴PF1→·PF2→＝x20＋2－x204－6＝－4＋3x204(－22≤x0≤22)，∴当x0＝0时，PF1→·PF2→的最小值为－4.(2)设l的方程y＝12x＋b，点A(x1，y1),B(x2，y2)，由y＝12x＋b，x28＋y22＝1得x2＋2bx＋2b2－4＝0，令Δ＝4b2－8b2＋160，解得－2b2.由韦达定理得x1＋x2＝－2b,x1x2＝2b2－4，由弦长公式得|AB|＝1＋14（x1＋x2）2－4x1x2＝5（4－b2），且由PF1→·PF2→＝－1，得P(2，1)．又点P到直线l的距离d＝|b|1＋14＝2|b|5，∴S△PAB＝12|AB|d