（新课标）2021版高考数学一轮总复习 第五章 平面向量、复数 第28讲 平面向量的数量积课件 新人

第28讲平面向量的数量积【课程要求】1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义．2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．4．能运用数量积表示两个向量的夹角及判断两个平面向量的垂直关系．5．会用向量方法解决一些简单的平面几何问题及力学问题．【基础检测】概念辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．()(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．()(3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.()(4)(a·b)c＝a(b·c)．()(5)两个向量的夹角的范围是0，π2.()(6)若a·b0，则a和b的夹角为锐角；若a·b0，则a和b的夹角为钝角．()[答案](1)√(2)√(3)×(4)×(5)×(6)×教材改编2．[必修4p105例4]已知向量a＝(2，1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝________．[解析]∵2a－b＝(4，2)－(－1，k)＝(5，2－k)，由a·(2a－b)＝0，得(2，1)·(5，2－k)＝0，∴10＋2－k＝0，解得k＝12.[答案]123．[必修4p106T3]已知|a|＝5，|b|＝4，a·b＝－10，则向量b在向量a方向上的投影为________．[解析]由数量积的定义知，b在a方向上的投影为|b|cosθ＝a·ba＝－2.[答案]－2易错提醒4．已知点A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，则向量AB→在CD→方向上的投影为()A.322B.3152C．－322D．－3152[解析]由题意知AB→＝(2，1)，CD→＝(5，5)，则AB→在CD→方向上的投影为|AB→|·cos〈AB→，CD→〉＝AB→·CD→|CD→|＝322.[答案]A[解析]∵〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈a，c〉＝120°，|a|＝|b|＝|c|＝1，∴a·b＝b·c＝a·c＝1×1×cos120°＝－12，∴a·b＋b·c＋a·c＝－32.[答案]－325．已知△ABC的三边长均为1，且AB→＝c，BC→＝a，CA→＝b，则a·b＋b·c＋a·c＝________．6．设向量a＝(－1，2)，b＝(m，4)，如果向量a与b的夹角为锐角，则m的取值范围是________．[解析]a·b＝－m＋2×4＝8－m0，且a≠λb(λ0)，解得m8且m≠－2.[答案](－∞，－2)∪(－2，8)【知识要点】1．两向量的夹角已知非零向量a，b，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB叫做a与b的夹角．a与b的夹角的取值范围是_______．当a与b同向时，它们的夹角为____；当a与b反向时，它们的夹角为____；当夹角为90°时，我们说a与b垂直，记作a⊥b.[0，π]0π2．向量数量积的定义已知两个非零向量a与b，我们把_________叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.规定：零向量与任何向量的数量积为0，即0·a＝0.3．向量数量积的几何意义向量的投影：|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影，当θ为锐角时，它是正值；当θ为钝角时，________；当θ为直角时，它是零．a·b的几何意义：数量积a·b等于___________与b在a方向上的投影|b|cosθ的乘积．|a||b|cosθ它是负值a的长度|a|4．平面向量数量积的性质及其坐标表示已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角.结论几何表示坐标表示模|a|＝a·a|a|＝________数量积a·b＝|a|·|b|cosθa·b＝x1x2＋y1y2夹角cosθ＝a·b|a|·|b|cosθ＝______________a⊥b的充要条件a·b＝0_____________|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a|·|b|(当且仅当a∥b时等号成立)|x1x2＋y1y2|≤x21＋y21·x22＋y22x21＋y21x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22x1x2＋y1y2＝05.平面向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ∈R)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.平面向量的数量积的运算例1(1)已知e1，e2是夹角为2π3的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2，若a·b＝0，则实数k的值为________．[解析]因为a·b＝(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝ke21＋(1－2k)(e1·e2)－2e22，且|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝－12，所以k＋(1－2k)·－12－2＝0，解得k＝54.[答案]54(2)设四边形ABCD为平行四边形，|AB→|＝6，|AD→|＝4，若点M，N满足BM→＝3MC→，DN→＝2NC→，则AM→·NM→等于()A．20B．15C．9D．6[解析]AM→＝AB→＋34AD→，NM→＝CM→－CN→＝－14AD→＋13AB→，∴AM→·NM→＝14(4AB→＋3AD→)·112(4AB→－3AD→)＝148(16AB→2－9AD→2)＝148(16×62－9×42)＝9，故选C.[答案]C(3)正方形ABCD边长为2，中心为O，直线l经过中心O，交AB于M，交CD于N,P为平面上一点，且2OP→＝λOB→＋(1－λ)OC→，则PM→·PN→的最小值是()A．－34B．－1C．－74D．－2[解析]由题意可得：PM→·PN→＝14（PM→＋PN→）2－（PM→－PN→）2＝14(4PO→2－4NO→2)＝PO→2－NO→2，设2OP→＝OQ→，则OQ→＝λOB→＋(1－λ)OC→，∵λ＋(1－λ)＝1，∴Q，B，C三点共线．当MN与BD重合时，NO→最大，且NO→2max＝2，据此：(PM→·PN→)min＝14－2＝－74.[答案]C[小结]向量数量积的2种运算方法方法运用提示适用题型定义法当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a·b＝|a|·|b|cosθ适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题坐标法当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2适用于已知相应向量的坐标求解数量积的有关计算问题1．已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)，若a·b＝1，则x＝()A．－1B．－12C.12D．1[解析]a·b＝1×2＋(－1)×x＝2－x＝1，∴x＝1.[答案]D2．已知向量AB→与AC→的夹角为120°，且|AB→|＝3，|AC→|＝2，若AP→＝λAB→＋AC→，且AP→⊥BC→，则实数λ的值为________．[解析]∵向量AB→与AC→的夹角为120°，且|AB→|＝3，|AC→|＝2，∴AB→·AC→＝|AB→|·|AC→|cos120°＝2×3×－12＝－3.∵AP→＝λAB→＋AC→，且AP→⊥BC→，∴AP→·BC→＝λAB→＋AC→·BC→＝λAB→＋AC→·AC→－AB→＝0，即λAB→·AC→－AB→·AC→＋|AC→|2－λ|AB→|2＝0，∴－3λ＋3＋4－9λ＝0，解得λ＝712.[答案]712平面向量的夹角与垂直问题例2已知a＝(1，2)，b＝(－3，4)，c＝a＋λb(λ∈R)．(1)λ为何值时，|c|最小？此时c与b的位置关系如何？(2)λ为何值时，c与a的夹角最小？此时c与a的位置关系如何？[解析](1)c＝(1－3λ，2＋4λ)，|c|2＝(1－3λ)2＋(2＋4λ)2＝5＋10λ＋25λ2＝25λ＋152＋4，当λ＝－15时，|c|最小，此时c＝85，65，b·c＝(－3，4)·85，65＝0，∴b⊥c，∴当λ＝－15时，|c|最小，此时b⊥c.(2)设c与a的夹角为θ，则cosθ＝a·c|a||c|＝5＋5λ525λ2＋10λ＋5＝1＋λ5λ2＋2λ＋1，要c与a的夹角最小，则cosθ最大，∵0≤θ≤π，故cosθ的最大值为1，此时θ＝0，cosθ＝1，1＋λ5λ2＋2λ＋1＝1，解之得λ＝0，c＝(1，2)．∴λ＝0时，c与a的夹角最小，此时c与a平行．[小结]求平面向量的夹角的方法①定义法：cosθ＝a·b|a||b|，注意θ的取值范围为[0，π]．②坐标法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cosθ＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22.③解三角形法：可以把所求两向量的夹角放到三角形中进行求解．3．平面向量a＝(1，2)，b＝(4，2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m等于()A．－2B．－1C．1D．2[解析]因为a＝(1，2)，b＝(4，2)，所以c＝ma＋b＝(m，2m)＋(4，2)＝(m＋4，2m＋2)．根据题意可得c·a|c||a|＝c·b|c||b|，所以5m＋85＝8m＋2020，解得m＝2.[答案]D平面向量的模及其应用例3(1)已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是()A．1B．2C.2D.22[解析]由(a－c)·(b－c)＝0，得a·b－(a＋b)·c＋c2＝0，因为a与b垂直，所以a·b＝0，进而可得c2＝(a＋b)·c，即|c|2＝|a＋b||c|cosθ，又由a、b为互相垂直的两个单位向量可知|a＋b|＝2.所以|c|＝2cosθ，|c|∈0，2，即|c|的最大值为2.[答案]C(2)已知|a|＝4，e为单位向量，当a，e的夹角为2π3时，a＋e在a－e上的投影为()A．5B.154C.151313D.5217[解析]由题设a－e＝42－2×4×1×－12＋1＝21，(a＋e)·(a－e)＝42－12＝15，所以（a＋e）·（a－e）|a－e|＝1521＝5217.[答案]D[小结]解答本题的关键是准确理解向量在另一个向量上的投影的概念．求解时先求两个向量a＋e和a－e的模及数量积的值，然后再运用向量的射影的概念，运用公式（a＋e）·（a－e）|a－e|进行计算，从而使得问题获解．例4在平面直角坐标系中，O为原点，A(－1，0)，B(0，3)，C(3，0)．(1)求向量AC→，BC→夹角的大小；(2)若动点D满足|CD→|＝1，求|OA→＋OB→＋OD→|的最大值．[解析](1)因为A(－1，0)，B(0，3)，C(3，0)，所以AC→＝(4，0)，BC→＝(3，－3)，所以cos〈AC→，BC→〉＝124×12＝32，所以向量AC→，BC→的夹角为30°.(2)因为C的坐标为(3，0)且|CD|＝1，所以动点D的轨迹为以C为圆心的单位圆，则D的坐标满足参数方程xD＝3＋cosθ，yD＝sinθ(θ为参数且θ∈[0，2π))，所以设D的坐标为(3＋cosθ，sinθ)(θ∈[0，2π))，则|OA→＋OB→＋OD→|＝（3＋cosθ－1）2＋（sinθ＋3）2＝8＋2（2cosθ＋3sinθ）.因为2cosθ＋3sinθ的最大值为22＋（3）2＝7，所以|OA→＋OB→＋OD→|的最大值为8＋27＝（1＋7）2＝1＋7.[小结]求解平面向量模的方法①写出有关向量的坐标，利用公式|a|＝x2＋y2即可．②当利用向量的线性运算和向量的数量积公式进行求解，|a|＝a2.4．(2017·全国卷Ⅰ理)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________．[解析]法一：|a＋2b|＝（a＋2b）2＝a2＋4a·b＋4b2＝22＋4×2×1×cos60°＋4×12＝12＝23.法二：(数形结合法)由|a|＝|2b|＝2知，以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图，则|a＋2b|＝|OC→|