（新课标）2021版高考数学一轮总复习 第五章 平面向量、复数 第27讲 平面向量的基本定理及坐标运

第27讲平面向量的基本定理及坐标运算【课程要求】1．了解平面向量的基本定理及其意义，掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．2．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算，理解用坐标表示平面向量共线和垂直的条件．【基础检测】1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．()(2)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.()(3)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可用这组基底唯一表示．()(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成x1x2＝y1y2.()(5)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．()(6)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．()[答案](1)×(2)√(3)√(4)×(5)√(6)√教材改编2．[必修4p97例5]已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为________．[解析]设D(x，y)，则由AB→＝DC→，得(4，1)＝(5－x，6－y)，即4＝5－x，1＝6－y，解得x＝1，y＝5.[答案](1，5)3．[必修4p119A组T9]已知向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若ma＋nb与a－2b共线，则mn＝________．[解析]由向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，得ma＋nb＝(2m－n，3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)．由ma＋nb与a－2b共线，得2m－n4＝3m＋2n－1，所以mn＝－12.[答案]－12易错提醒4．设e1，e2是平面内一组基底，若λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＋λ2＝________．[答案]05．已知点A(0，1)，B(3，2)，向量AC→＝(－4，－3)，则向量BC→＝________．[解析]根据题意得AB→＝(3，1)，∴BC→＝AC→－AB→＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)．[答案](－7，－4)6．已知向量a＝(－1，2)，点A(－2，1)，若AB→∥a且|AB→|＝35，O为坐标原点，则OB→的坐标为()A．(1，－5)B．(－5，7)C．(1，－5)或(5，－7)D．(1，－5)或(－5，7)[解析]由AB→∥a知，存在实数λ，使AB→＝λa＝(－λ，2λ)，又|AB→|＝35，则λ2＋4λ2＝9×5，即λ＝3或λ＝－3，所以AB→＝(3，－6)或(－3，6)．又点A(－2，1)，所以OB→＝OA→＋AB→＝(1，－5)或(－5，7)．[答案]D【知识要点】1．平面向量基本定理如果e1和e2是一个平面内的两个________向量，那么对于该平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标表示在平面直角坐标系内，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面上任一向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.这样，平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，把a＝(x，y)叫做向量的坐标表示，|a|＝x2＋y2叫做向量a的长度(模)．不共线3．平面向量坐标运算向量的加减法若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝______________________，a－b＝_______________.实数与向量的积若a＝(x1，y1)，λ∈R，则λa＝_________.向量的坐标若起点A(x1，y1)，终点B(x2，y2)，则AB→＝_______________.(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(λx1，λy1)(x2－x1，y2－y1)4.两向量平行和垂直的坐标表示(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－y1x2＝0.(2)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.平面向量基本定理的应用例1(多选)在下列向量组中，可以把向量a＝(3，2)表示出来的是()A．e1＝(0，0)，e2＝(1，2)B．e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2)C．e1＝(3，5)，e2＝(6，10)D．e1＝(1，1)，e2＝(2，1)[解析]法一：设a＝k1e1＋k2e2，A选项，∵(3，2)＝(k2，2k2)，∴k2＝3，2k2＝2，无解；B选项，∵(3，2)＝(－k1＋5k2，2k1－2k2)，∴－k1＋5k2＝3，2k1－2k2＝2，解得k1＝2，k2＝1.故B中的e1，e2可以把a表示出来；同理，C选项同A选项，无解；D选项，易解得k1＝1，k2＝1.法二：只需判断e1与e2是否共线即可，不共线的就符合要求．[答案]BD例2如图所示，已知△AOB中，点C是以A为中心的点B的对称点，OD→＝2DB→，DC和OA交于点E，设OA→＝a，OB→＝b.(1)用a和b表示向量OC→、DC→；(2)若OE→＝λOA→，求实数λ的值．[解析](1)由题意知，A是BC的中点，且OD→＝23OB→，由平行四边形法则得，OB→＋OC→＝2OA→.∴OC→＝2OA→－OB→＝2a－b，DC→＝OC→－OD→＝(2a－b)－23b＝2a－53b.(2)由题意知，EC→∥DC→.又∵EC→＝OC→－OE→＝(2a－b)－λa＝(2－λ)a－b，DC→＝2a－53b，∴2－λ2＝153，∴λ＝45.[小结]用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．1．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O.若AB→·AC→＝3AD→·EC→，则ACAB＝________．[解析]由题得AD→＝12(AB→＋AC→)，EC→＝AC→－AE→＝－13AB→＋AC→，因为AB→·AC→＝3AD→·EC→，所以AB→·AC→＝32AB→＋32AC→·－13AB→＋AC→，∴12AB→2＝32AC→2，∴AC→2AB→2＝13，∴ACAB＝33.[答案]33平面向量的坐标运算例3已知点A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB→＝a，BC→＝b，CA→＝c，且CM→＝3c，CN→＝－2b.(1)求3a＋b－3c；(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n的值；(3)求点M，N的坐标及向量MN→的坐标．[解析]由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)．(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(6，－42)．(2)因为mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，所以－6m＋n＝5，－3m＋8n＝－5，解得m＝－1，n＝－1.(3)设O为坐标原点．因为CM→＝OM→－OC→＝3c，所以OM→＝3c＋OC→＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)，所以点M的坐标为(0，20)．又因为CN→＝ON→－OC→＝－2b，所以ON→＝－2b＋OC→＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)，所以点N的坐标为(9，2)，所以MN→＝(9，－18)．[小结](1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解．2．已知O为坐标原点，向量OA→＝(2，3)，OB→＝(4，－1)，且AP→＝3PB→，则|OP→|＝________．[解析]设P(x，y)，由题意可得A，B两点的坐标分别为(2，3)，(4，－1)，由AP→＝3PB→，可得x－2＝12－3x，y－3＝－3y－3，解得x＝72，y＝0，故|OP→|＝72.[答案]72平面向量共线的坐标表示例4已知a＝(1，0)，b＝(2，1)．(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线；(2)若AB→＝2a＋3b，BC→＝a＋mb，且A，B，C三点共线，求m的值．[解析](1)∵a＝(1，0)，b＝(2，1)，∴ka－b＝k(1，0)－(2，1)＝(k－2，－1)，a＋2b＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2)，∵ka－b与a＋2b共线，∴2(k－2)－(－1)×5＝0，∴k＝－12.(2)AB→＝2(1，0)＋3(2，1)＝(8，3)，BC→＝(1，0)＋m(2，1)＝(2m＋1，m)．∵A，B，C三点共线，∴AB→∥BC→，∴8m－3(2m＋1)＝0，∴m＝32.[小结]向量共线充要条件的2种形式：(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)；(2)a∥b⇔x1y2－x2y1＝0(其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))．当涉及向量或点的坐标问题时一般利用(2)比较方便．3．已知向量a＝(1，3)，b＝2，－12，若c∥(a－2b)，则单位向量c＝()A.－35，－45或35，45B.－35，45或35，－45C.－22，－22或22，22D.－22，22或22，－22[解析]因为a＝(1，3)，b＝2，－12，所以a－2b＝(－3，4)，又c∥(a－2b)，所以存在实数λ，使c＝λ(a－2b)，所以c＝λ·|a－2b|，所以λ＝15，所以c＝－35，45或35，－45.故选B.[答案]B向量问题坐标化例5如图，平面内有三个向量OA→、OB→、OC→，其中OA→与OB→的夹角为120°，OA→与OC→的夹角为30°，且|OA→|＝|OB→|＝1，|OC→|＝23，若OC→＝λOA→＋μOB→(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________．[解析]由条件可知，∠COB＝90°，以O为原点，OC所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．则OC→＝(23，0)，OB→＝(0，1)，OA→＝32，－12，因为OC→＝λOA→＋μOB→，所以(23，0)＝λ32，－12＋μ(0，1)，所以23＝32λ，0＝－12λ＋μ，所以λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.[答案]6例6在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD＝DC＝1，AB＝2，E，F分别为AB，BC的中点，点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧DE上变动(如图所示)．若AP→＝λED→＋μAF→，其中λ，μ∈R，则2λ－μ的取值范围是________．[解析]以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，依题意得D0，1，E1，0，C(1，1)，B2，0，F32，12，ED→＝－1，1，AF→＝32，12，设Pcosθ，sinθ，θ∈0，π2，依题意AP→＝λED→＋μAF→，即cosθ，sinθ＝－λ＋32μ，λ＋12μ，cosθ＝－λ＋32μ，sinθ＝λ＋12μ，两式相减得2λ－μ＝sinθ－cosθ＝2sinθ－π4，θ－π4∈－π4，π4，2sinθ－π4∈－1，1.[答案][－1，1][小结](1)向量相等就是两向量的坐标对应相等．(2)利用向量的坐标运算可将向量问题代数化．(3)注意如下结论的运用：①当向量的起点在原点时，P点的坐标就是向量OP→的坐标；②若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则向量AB→＝(x2－x1，y2－y1)．4．向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若