（新课标）2021版高考数学一轮总复习 第六章 数列 第35讲 数列的综合应用课件 新人教A版

第35讲数列的综合应用【课程要求】1．会利用数列的函数性质解与方程、不等式、解析几何相结合的数列综合题．2．掌握相关的数列模型以及建立模型解决实际问题的方法．【基础检测】1．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为M，现将该金杖截成长度相等的10段，记第i段的重量为ai(i＝1，2，…，10)，且a1a2…a10，若48ai＝5M，则i＝()A．6B．5C．4D．7[解析]由题意知由细到粗每段的重量成等差数列，记为{an}，设公差为d，则2a1＋d＝2，2a1＋17d＝4，解得a1＝1516，d＝18，∴该金杖的总重量M＝10×1516＋10×92×18＝15，∵48ai＝5M，∴481516＋（i－1）×18＝75，即39＋6i＝75，解得i＝6.[答案]A2．若a，b是函数f(x)＝x2－px＋q(p＞0，q＞0)的两个不同的零点，且a，b，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p＋q的值等于()A．6B．7C．8D．9[解析]由题意知a＋b＝p，ab＝q，∵p＞0，q＞0，∴a＞0，b＞0.在a，b，－2这三个数的6种排序中，成等差数列的情况有：a，b，－2；b，a，－2；－2，a，b；－2，b，a；成等比数列的情况有：a，－2，b；b，－2，a.∴ab＝4，2b＝a－2或ab＝4，2a＝b－2，解得a＝4，b＝1或a＝1，b＝4∴p＝5，q＝4，∴p＋q＝9，故选D.[答案]D3．设y＝fx是一次函数，若f0＝1，且f1，f4，f13成等比数列，则f2＋f4＋…＋f2n＝________.[解析]由题意可设fx＝kx＋1k≠0，则4k＋12＝k＋113k＋1，解得k＝2，f2＋f4＋…＋f2n＝2×2＋1＋2×4＋1＋…＋2×2n＋1＝2n2＋3n.[答案]2n2＋3n4．小李年初向银行贷款M万元用于购房，购房贷款的年利率为p，按复利计算，并从借款后次年年初开始归还，分10次等额还清，每年1次，则每年应还()A.M10万元B.Mp1＋p101＋p10－1万元C.M1＋p1010万元D.Mp1＋p91＋p9－1万元[解析]设每年应还x万元，则x＋x1＋p＋x1＋p2＋…＋x1＋p9＝M1＋p10，x1－1＋p101－1＋p＝M1＋p10，得x＝Mp1＋p101＋p10－1.[答案]B【知识要点】1．数列综合问题中应用的数学思想(1)用函数的观点与思想认识数列，将数列的通项公式和求和公式视为定义在正整数集或其有限子集{1，2，…，n}上的函数．(2)用方程的思想处理数列问题，将问题转化为数列基本量的方程．(3)用转化化归的思想探究数列问题，将问题转化为等差、等比数列来研究．(4)数列综合问题常常应用分类讨论思想、特殊与一般思想、类比联想思想、归纳猜想思想等．2．解答数列应用题的步骤(1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意．(2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求是什么．(3)求解——求出该问题的数学解．(4)还原——将所求结果还原到原实际问题中．3．数列应用题常见模型(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差．(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比．(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是an与an＋1的递推关系，还是Sn与Sn＋1之间的递推关系．等差、等比数列的综合问题例1已知公比不为1的等比数列{an}的首项a1＝12，前n项和为Sn，且a4＋S4，a5＋S5，a6＋S6成等差数列．(1)求等比数列{an}的通项公式；(2)对n∈N*，在an与an＋1之间插入3n个数，使这3n＋2个数成等差数列，记插入的这3n个数的和为bn，求数列{bn}的前n项和Tn.[解析](1)设等比数列{an}的公比为q，因为a4＋S4，a5＋S5，a6＋S6成等差数列，所以a5＋S5－a4－S4＝a6＋S6－a5－S5，即2a6－3a5＋a4＝0，所以2q2－3q＋1＝0.因为q≠1，所以q＝12，所以等比数列{an}的通项公式为an＝12n.(2)由题意得bn＝an＋an＋12·3n＝34·32n，Tn＝34·32－32n＋11－32＝9432n－1.[小结]等差数列、等比数列综合问题的两大解题策略(1)设置中间问题：分析已知条件和求解目标，为最终解决问题设置中间问题，例如求和需要先求出通项、求通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序．(2)注意解题细节：在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的．1．已知数列{an}的前n项和为Sn＝12n2＋12n.(1)求数列{an}的通项公式an；(2)令cn＝anan＋an＋1，问是否存在正整数m，k(1mk)使得c1，cm，ck成等差数列？若存在，求出m，k的值，若不存在，请说明理由．[解析](1)an＝Sn－Sn－1n≥2＝12n2＋12n－12n－12－12n－1＝12n2＋12n－12n2＋n－12－n2＋12＝n，当n＝1时a1＝S1＝1满足上式，故an＝nn∈N*.(2)假设存在m，k1mk使得c1，cm，ck成等差数列，则2cm＝c1＋ck⇒2m2m＋1＝13＋k2k＋1⇒2m＋12m＝6k＋35k＋1⇒12m＝k＋25k＋1，2m＝5k＋1k＋2＝5－9k＋2⇒m＝52－9k＋22，(*)由m1且m∈N*则9k＋2为奇整数，∴k＝1(舍去)或k＝7，将k＝7代入(*)式得m＝2，故存在m＝2，k＝7使得c1，cm，ck成等差数列.数列与不等式的综合问题例2已知数列an中，a1＝1，an＋1＝anan＋3n∈N*.(1)求数列an的通项公式；(2)数列bn满足bn＝3n－1·n2n·an，数列bn的前n项和为Tn，若不等式－1nλTn＋n2n－1对一切n∈N*恒成立，求λ的取值范围．[解析](1)由an＋1＝anan＋3n∈N*，得1an＋1＝an＋3an＝3an＋1，1an＋1＋12＝31an＋12，所以数列1an＋12是以3为公比，以32为首项的等比数列，从而1an＋12＝32×3n－1⇒an＝23n－1.(2)由(1)可知bn＝n2n－1.Tn＝1×120＋2×121＋3×122＋…＋n－1×12n－2＋n×12n－1，Tn2＝1×121＋2×122＋3×123＋…＋n－1×12n－1＋n×12n，两式相减得Tn2＝120＋121＋122＋…＋12n－1－n×12n＝2－n＋22n，∴Tn＝4－n＋22n－1，∴－1nλ4－22n－1，若n为偶数，则λ4－22n－1，∴λ3；若n为奇数，则－λ4－22n－1，∴－λ2，∴λ－2，∴－2λ3.[小结]数列与不等式综合问题的两个方面(1)数列型不等式恒成立或存在性问题，先参变分离，转化为最值问题，数列的最值常选择用做差或者作商来处理；(2)数列不等式有时候需要用放缩法来证明，将通项的分母放大或缩小成可以求和的形式再证明．2．设Sn为数列an的前n项和，Sn＝2an－nn∈N*.(1)求证：数列an＋1是等比数列；(2)求证：1－12n1a1＋1a2＋…＋1an2.[解析](1)当n＝1时，a1＝S1＝2a1－1，解得a1＝1；当n≥2时，由Sn＝2an－n得Sn－1＝2an－1－n－1，上述两式相减得an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1－1，整理得an＝2an－1＋1.则an＋1an－1＋1＝2an－1＋2an－1＋1＝2，且a1＋1＝2.所以数列an＋1是首项为2，公比为2的等比数列．(2)由(1)可知an＋1＝2×2n－1＝2n，则an＝2n－1.因为1an＝12n－112n，所以1a1＋1a2＋…＋1an12＋122＋…＋12n＝1－12n.又因为1an＝12n－1＝12n－12－21－n≤12n－1，所以1a1＋1a2＋…＋1an≤1＋12＋…＋12n－1＝2－12n－12.综上，1－12n1a1＋1a2＋…＋1an2.数列与函数的综合问题例3设等差数列{an}的公差为d，点(an，bn)(n∈N*)在函数f(x)＝2x的图象上．(1)若a1＝－2，点(a8，4b7)在函数f(x)的图象上，求数列{an}的前n项和Sn；(2)若a1＝1，函数f(x)的图象在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为2－1ln2，求数列anbn的前n项和Tn.[解析](1)由已知得，b7＝2a7，b8＝2a8＝4b7，所以2a8＝4×2a7＝2a7＋2，解得d＝a8－a7＝2，所以Sn＝na1＋n（n－1）2d＝－2n＋n(n－1)＝n2－3n.(2)函数f(x)＝2x在点(a2，b2)处的切线方程为y－2a2＝(2a2ln2)(x－a2)，其在x轴上的截距为a2－1ln2.由题意有a2－1ln2＝2－1ln2，解得a2＝2.所以d＝a2－a1＝1.从而an＝n，bn＝2n，所以数列anbn的通项公式为anbn＝n2n，所以Tn＝12＋222＋323＋…＋n－12n－1＋n2n，2Tn＝11＋22＋322＋…＋n2n－1，因此，2Tn－Tn＝1＋12＋122＋…＋12n－1－n2n＝2－12n－1－n2n＝2n＋1－n－22n.所以，Tn＝2n＋1－n－22n.[小结]数列与函数的综合的两个方面(1)以数列的特征量n，an，Sn等为坐标的点在函数图象上，可以得到数列的递推关系；(2)数列的项或前n项和可以看作关于n的函数，然后利用函数的性质求解数列问题．3．函数fx＝ex－1ex＋1，gx＝fx－1＋1，an＝g1n＋g2n＋g3n＋…＋g2n－1n，n∈N*，则数列an的通项公式为__________．[解析]由f－x＝e－x－1e－x＋1＝1－ex1＋ex＝－f(x)，所以函数f(x)＝ex－1ex＋1为奇函数，gx＋g2－x＝fx－1＋1＋f2－x－1＋1＝fx－1＋f1－x＋2，由f(x)＝ex－1ex＋1为奇函数，∴fx－1＋f1－x＝0，∴gx＋g2－x＝2，∵an＝g1n＋g2n＋g3n＋…＋g2n－1n，n∈N*，①则an＝g2n－1n＋g2n－2n＋g