（新课标）2021版高考数学一轮总复习 第六章 数列 第31讲 数列的概念与通项公式课件 新人教A版

[知识体系]第31讲数列的概念与通项公式【课程要求】1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．2．了解数列是自变量为正整数的一类函数．3．会利用已知数列的通项公式或递推关系式求数列的某项．4．会用数列的递推关系求其通项公式．【基础检测】概念辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．()(2)所有数列的第n项都能使用公式表达．()(3)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．()(4)1，1，1，1，…，不能构成一个数列．()(5)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．()(6)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对∀n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.()[答案](1)×(2)×(3)√(4)×(5)×(6)√教材改编2．[必修5p33A组T4]在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋（－1）nan－1(n≥2)，则a5等于()A.32B.53C.85D.23[解析]a2＝1＋（－1）2a1＝2，a3＝1＋（－1）3a2＝12，a4＝1＋（－1）4a3＝3，a5＝1＋（－1）5a4＝23.[答案]D3．[必修5p33A组T5]根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式an＝________．[答案]5n－4易错提醒4．数列{an}中，an＝－n2＋11n(n∈N*)，则此数列最大项的值是________．[解析]an＝－n2＋11n＝－n－1122＋1214，∵n∈N*，∴当n＝5或n＝6时，an取最大值30.[答案]305．已知an＝n2－λn，且对于任意的n∈N*，数列{an}是递增数列，则实数λ的取值范围是________．[解析]因为{an}是递增数列，所以对任意的n∈N*，都有an＋1an，即(n＋1)2－λ(n＋1)n2－λn，整理，得2n＋1－λ0，即λ(2n＋1)．(*)因为n≥1，所以2n＋1≥3，要使不等式(*)恒成立，只需λ3.[答案](－∞，3)6．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则an＝________．[解析]当n＝1时，a1＝S1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋1－[(n－1)2＋1]＝2n－1，故an＝2，n＝1，2n－1，n≥2，n∈N*.[答案]2，n＝1，2n－1，n≥2，n∈N*【知识要点】1．数列的有关概念概念含义数列按照一定顺序排列的一列数数列的项数列中的每一个数数列的通项数列{an}的第n项an通项公式如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式前n项和数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做数列的前n项和2.数列的表示方法列表法列表格表示n与an的对应关系图象法把点(n，an)画在平面直角坐标系中公式法通项公式把数列的通项使用公式表示的方法递推公式使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示数列的方法3.an与Sn的关系若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝，n＝1，，n≥2且n∈N*.4．数列的分类单调性递增数列∀n∈N*，an＋1an递减数列∀n∈N*，an＋1an常数列∀n∈N*，an＋1＝an摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列周期性周期数列∀n∈N*，存在正整数常数k，an＋k＝anSn－Sn－1S1由数列的前几项求数列的通项公式例1根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式：(1)4，6，8，10，…；(2)－11×2，12×3，－13×4，14×5，…；(3)a，b，a，b，a，b，…(其中a，b为实数)；(4)9，99，999，9999，….[解析](1)该数列中各数都是偶数，且最小为4，所以它的一个通项公式为an＝2(n＋1)，n∈N*.(2)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为an＝(－1)n×1n（n＋1），n∈N*.(3)这是一个摆动数列，奇数项是a，偶数项是b，所以此数列的一个通项公式为an＝a，n为奇数，b，n为偶数.(4)这个数列的前4项可以写成10－1，100－1，1000－1，10000－1，所以它的一个通项公式为an＝10n－1，n∈N*.[小结]由数列的前几项求数列通项公式的策略(1)根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征，并对此进行归纳、联想，具体如下：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项符号特征等．(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是利用不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整．1．已知数列：2，0，2，0，2，0，…前六项不适．．合．下列哪个通项公式()A．an＝1＋(－1)n＋1B．an＝2sinnπ2C．an＝1－(－1)nD．an＝2sinnπ2[解析]对于选项A，an＝1＋(－1)n＋1取前六项得2，0，2，0，2，0满足条件；对于选项B，an＝2|sinnπ2|取前六项得2，0，2，0，2，0满足条件；对于选项C，an＝1－(－1)n取前六项得2，0，2，0，2，0满足条件；对于选项D，an＝2sinnπ2取前六项得2，0，－2，0，2，0不满足条件．[答案]D由递推公式求通项公式例2数列{an}分别满足下列条件，求数列{an}的通项公式：(1)a1＝1，an＝n－1nan－1(n≥2，n∈N*)；(2)a1＝1，an＋1－an＝n＋1(n∈N*)；(3)a1＝1，an＋1＝3an＋2(n∈N*)；(4)a1＝1，an＋1＝2anan＋2(n∈N*)．[解析](1)∵an＝n－1nan－1(n≥2)，∴an－1＝n－2n－1an－2，…，a2＝12a1.以上(n－1)个式子相乘得an＝a1·12·23·…·n－1n＝a1n＝1n.当n＝1时，a1＝1，上式也成立．∴an＝1n(n∈N*)．(2)由题意有a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2)．以上各式相加，得an－a1＝2＋3＋…＋n＝（n－1）（2＋n）2＝n2＋n－22.又∵a1＝1，∴an＝n2＋n2(n≥2)．∵当n＝1时也满足此式，∴an＝n2＋n2(n∈N*)．(3)∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，∴an＋1＋1an＋1＝3，∴数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3.又a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n－1，∵当n＝1时也满足此式．∴an＝2·3n－1－1(n∈N*)．(4)∵an＋1＝2anan＋2，a1＝1，∴an≠0，∴1an＋1＝1an＋12，即1an＋1－1an＝12，又a1＝1，则1a1＝1，∴1an是以1为首项，12为公差的等差数列．∴1an＝1a1＋(n－1)×12＝n2＋12，∴an＝2n＋1(n∈N*)．[小结]已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解．当出现an＝an－1＋f(n)时，用累加法求解；当出现anan－1＝f(n)时，用累乘法求解；当出现an＝xan－1＋y时，构造等比数列求解；当出现an＋1＝AanBan＋C时，构造等差数列求解．2．若数列an分别满足下列条件，求数列an的通项公式：(1)a1＝1，an＝nn－1an－1(n≥2，n∈N*)；(2)a1＝2019，an＋1＝3an＋2n∈N*；(3)a1＝2，an＋1＝an2an＋1n∈N*.[解析](1)因为an＝nn－1an－1(n≥2)，所以an－1＝n－1n－2an－2，an－2＝n－2n－3an－3，…，a2＝21a1.以上(n－1)个式子相乘得an＝a1·21·32·…·nn－1＝na1＝n，当n＝1时，a1＝1，上式也成立．所以an＝nn∈N*.(2)由an＋1＝3an＋2得：an＋1＋1＝3an＋1，∴数列an＋1是以a1＋1＝2020为首项，3为公比的等比数列．∴an＋1＝2020×3n－1，∴an＝2020×3n－1－1.(3)∵an＋1＝an2an＋1，∴1an＋1＝2an＋1an，即1an＋1－1an＝2，数列1an是首项为12，公差为2的等差数列，∴1an＝1a1＋n－1×2＝4n－32，即an＝24n－3.an与Sn关系的应用例3(1)设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2(an－1)(n∈N*)，则an＝()A．2nB．2n－1C．2nD．2n－1[解析]当n＝1时，a1＝S1＝2(a1－1)，可得a1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，∴an＝2an－1，∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，所以an＝2n.[答案]C(2)设Sn是数列{an}的前n项和，且Sn≠0，a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________．[解析]∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝SnSn＋1，∴Sn＋1－Sn＝SnSn＋1.∵Sn≠0，∴1Sn－1Sn＋1＝1，即1Sn＋1－1Sn＝－1.又1S1＝1a1＝－1，∴1Sn是首项为－1，公差为－1的等差数列．∴1Sn＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，∴Sn＝－1n.[答案]－1n[小结](1)Sn与an关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化．①利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．②利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解．(2)应用公式an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2且n∈N*求数列通项公式时应注意验证a1是否符合一般规律．3．在数列{an}中，an0，且前n项和Sn满足4Sn＝(an＋1)2(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________．[解析]当n＝1时，4S1＝(a1＋1)2，解得a1＝1；当n≥2时，由4Sn＝(an＋1)2＝a2n＋2an＋1，得4Sn－1＝a2n－1＋2an－1＋1，两式相减得4Sn－4Sn－1＝a2n－a2n－1＋2an－2an－1＝4an，整理得(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0，因为an0，所以an－an－1－2＝0，即an－an－1＝2，又a1＝1，故数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，所以an＝1＋2(n－1)＝2n－1.[答案]an＝2n－1(2018·全国卷Ⅰ理)记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn＝2an＋1，则S6＝__________．[解析]法一：因为Sn＝2an＋1，所以当n＝1时，a1＝2a1＋1，解得a1＝－1；当n＝2时，a1＋a2＝2a2＋1，解得a2＝－2；当n＝3时，a1＋a2＋a3＝2a3＋1，解得a3＝－4；当n＝4时，a1＋a2＋a3＋a4＝2a4＋1，解得a4＝－8；当n＝5时，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝2a5＋1，解得a5＝－16；当n＝6时，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝2a6＋1，解得a6＝－32.所以S6＝－1－2－4－8－16－32＝－63.法二：因为Sn＝2an＋1，所以当n＝1时，a1＝2a1＋1，解得a1＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－(2an－1＋1)，所以an＝2an－1，所以数列{an}是以－1为首项，2为公比的等比数列，所以an＝－2n－1，所以S6＝－1×（1－26）1－2＝－63.[答案]－63考点集训(三十一)第31讲数列的概念与通项公式A组题1．在数列{an}中，若a1＝2，an＝11－an－1(n≥2，n∈N*)，则a8＝()A．－1B．1C.12D．