（新课标）2021版高考数学一轮总复习 第二章 函数 第7讲 函数的奇偶性、周期性与对称性课件 新人

第7讲函数的奇偶性、周期性与对称性【课程要求】1．理解函数奇偶性的概念，了解函数周期性的定义，判断函数的奇偶性．2．利用函数奇偶性、周期性求函数值及参数值．3．掌握函数的单调性与奇偶性的综合应用．【基础检测】概念辨析1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．()(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．()(3)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．()(4)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．()(5)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．()[答案](1)×(2)×(3)√(4)√(5)√教材改编2．[必修1p39A组T6]已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x(1＋x)，则f(－1)＝__________．[解析]f(1)＝1×2＝2，又f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2.[答案]－23．[必修1p45B组T4]设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，1)时，f(x)＝－4x2＋2，－1≤x＜0，x，0≤x＜1，则f32＝__________．[解析]f32＝f－12＝－4×－122＋2＝1.[答案]14．[必修1p39A组T6]设奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)＜0的解集为____________．[解析]由图象可知，当0＜x＜2时，f(x)＞0；当2＜x≤5时，f(x)＜0，又f(x)是奇函数，∴当－2＜x＜0时，f(x)＜0，当－5≤x－2时，f(x)0.综上，f(x)＜0的解集为(－2，0)∪(2，5]．[答案](－2，0)∪(2，5]易错提醒5．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是()A．－13B.13C．－12D.12[解析]依题意得f(－x)＝f(x)，∴b＝0，又a－1＝－2a，∴a＝13，∴a＋b＝13，故选B.[答案]B6．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋2)＝1f（x）对x∈R恒成立，当x∈[0，2]时，f(x)＝2x，则f－92＝()A.12B.2C.22D．－1[解析]∵f(x＋2)＝1f（x），∴f(x＋4)＝1f（x＋2）＝f(x)对x∈R恒成立，∴f(x)的周期为4，又因为f(x)是定义在R上的偶函数，∴f－92＝f－12＝f12，∵当x∈[0，2]时，f(x)＝2x，∴f12＝2.[答案]B【知识要点】1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有___________，那么函数f(x)就叫做偶函数关于______对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有_____________，那么函数f(x)就叫做奇函数关于______对称f(－x)＝f(x)y轴f(－x)＝－f(x)原点2.函数的周期性(1)周期函数对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有_____________，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个_______________，那么这个__________就叫做f(x)的最小正周期．f(x＋T)＝f(x)最小的正数最小正数3．函数奇偶性常用结论(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．4．函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a0)．(2)若f(x＋a)＝1f（x），则T＝2a(a0)．(3)若f(x＋a)＝－1f（x），则T＝2a(a0)．函数奇偶性的判断例1(1)下列函数为奇函数的是()A．y＝lnxB．y＝exC．y＝xsinxD．y＝ex－e－x[解析]对于选项A，定义域为(0，＋∞)，不关于原点对称，故不是奇函数．所以选项A错；对于选项B，f(－x)＝e－x＝1ex≠－f(x)，故选项B错；对于选项C，f(－x)＝－xsin(－x)＝－x(－sinx)＝xsinx＝f(x)，所以y＝xsinx为偶函数，故选项C错；对于选项D，f(－x)＝e－x－ex＝－(ex－e－x)＝－f(x)，所以函数y＝ex－e－x为奇函数，故选项D正确．[答案]D(2)(多选)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是偶函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数[解析]因为f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)，所以f(x)g(x)是奇函数；因为|f(－x)|g(－x)＝|f(x)|g(x)，所以|f(x)|g(x)是偶函数；因为f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|，所以f(x)|g(x)|是奇函数；因为|f(－x)g(－x)|＝|f(x)g(x)|，所以|f(x)g(x)|是偶函数．[答案]BC[小结]1.判断函数的奇偶性包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．2．常用结论：(1)奇±奇为奇；偶±偶为偶；奇±偶为非奇非偶；奇×(÷)奇为偶；奇×(÷)偶为奇；偶×(÷)偶为偶．(2)若函数f(x)的定义域关于原点对称，则函数f(x)能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式．记偶函数g(x)＝12[f(x)＋f(－x)]，奇函数h(x)＝12[f(x)－f(－x)]，则f(x)＝g(x)＋h(x)．(3)复合函数y＝f[g(x)]的奇偶性原理：内偶则偶，两奇为奇．(4)若奇函数y＝f(x)在x＝0处有意义，则有f(0)＝0；偶函数y＝f(x)必满足f(x)＝f(|x|)．1．已知函数f(x)＝x2－2x22x＋1，则下列判断正确的是()A．f(x)是偶函数不是奇函数B．f(x)是奇函数不是偶函数C．f(x)既是偶函数又是奇函数D．f(x)既不是偶函数也不是奇函数[答案]B[解析]该函数的定义域为R，f(－x)＝(－x)2－2（－x）22－x＋1＝x2－2x2·2x2x＋1＝x2（2x＋1）－2x2·2x2x＋1＝x2－x2·2x2x＋1＝x2（－1－2x＋2）2x＋1＝－x2＋2x22x＋1＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数，f(1)＝1－23＝13，f(－1)＝1－232＝－13，所以函数f(x)不是偶函数．2．函数f(x)＝loga(2＋x)，g(x)＝loga(2－x)(a0且a≠1)，则函数F(x)＝f(x)＋g(x)，G(x)＝f(x)－g(x)的奇偶性是()A．F(x)是奇函数，G(x)是奇函数B．F(x)是偶函数，G(x)是奇函数C．F(x)是偶函数，G(x)是偶函数D．F(x)是奇函数，G(x)是偶函数[解析]F(x)，G(x)定义域均为(－2，2)，由已知F(－x)＝f(－x)＋g(－x)＝loga(2－x)＋loga(2＋x)＝F(x)，G(－x)＝f(－x)－g(－x)＝loga(2－x)－loga(2＋x)＝－G(x)，∴F(x)是偶函数，G(x)是奇函数．[答案]B函数的奇偶性的应用例2(1)设函数f(x)＝lnx－1x2＋1，则不等式f(x)f(2x－1)的解集为()A.0，12B.－∞，1C.13，1D.13，12∪12，1[解析]f(x)的定义域为{x|x≠0}，∵f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数；当x0时，f(x)＝lnx－1x2＋1单调递增，所以由f(x)f(2x－1)，可得x≠0，2x－1≠0，|x||2x－1|，解得13x1且x≠12.[答案]D(2)若关于x的函数f(x)＝2tx2＋2tsinx＋π4＋x2x2＋cosx(t≠0)的最大值为a，最小值为b，且a＋b＝2，则t＝__________．[解析]f(x)＝2tx2＋2tsinx＋π4＋x2x2＋cosx＝t＋tsinx＋x2x2＋cosx，设g(x)＝tsinx＋x2x2＋cosx，则g(x)为奇函数，g(x)max＝a－t，g(x)min＝b－t.∵g(x)max＋g(x)min＝0，∴a＋b－2t＝0，即2－2t＝0，解得t＝1.[答案]1[小结]已知函数奇偶性可以解决以下问题：(1)求函数值，将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解；(2)画函数图象，利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象．(3)求函数解析式：①将所求解析式自变量的范围转化为已知解析式中自变量的范围；②将转化后的自变量代入已知解析式；③利用函数的奇偶性求出解析式．(4)求参数值：在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足f(－x)＝－f(x)或偶函数满足f(－x)＝f(x)列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值．特别要注意的是：若能够确定奇函数的定义域中包含0，可以根据f(0)＝0列式求解，若不能确定则不可用此法．[注意]利用“奇函数在关于原点对称的区间上有最值，则f(x)max＋f(x)min＝0”的性质解决有关最值问题．3．函数y＝f(x)是R上的奇函数，当x0时，f(x)＝2x，则当x0时，f(x)＝()A．－2xB．2－xC．－2－xD．2x[解析]当x0时，－x0，∵x0时，f(x)＝2x，∴当x0时，f(－x)＝2－x.∵f(x)是R上的奇函数，∴当x0时，f(x)＝－f(－x)＝－2－x.[答案]C4．若函数f(x)＝xln(x＋a＋x2)为偶函数，则a＝__________．[解析]∵f(x)＝xln(x＋a＋x2)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，即－xln(a＋x2－x)＝xln(x＋a＋x2)，从而ln[(a＋x2)2－x2]＝0，即lna＝0，故a＝1.[答案]1函数的周期性与对称性及应用例3(1)设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sinx．当0≤x＜π时，f(x)＝0，则f23π6＝()A.12B.32C．0D．－12[解析]∵f(x＋2π)＝f(x＋π)＋sin(x＋π)＝f(x)＋sinx－sinx＝f(x)，∴f(x)的周期T＝2π，又∵当0≤x＜π时，f(x)＝0，∴f5π6＝0，∴f－π6＋π＝f－π6＋sin－π6＝0，∴f－π6＝12，∴f23π6＝f4π－π6＝f－π6＝12.[答案]A(2)已知函数f(x)与函数g(x)＝(x－1)2的图象关于y轴对称，若存在a∈R，使x∈[1，m](m1)时，f(x＋a)≤4x成立，则m的最大值为()A．3B．6C．9D．12[解析]由于函数f(x)与函数g(x)＝(x－1)2的图象关于y轴对称，因此f(x)＝(x＋1)2，由f(x＋a)≤4x得(x＋a＋1)2≤4x，把x＝1代入得－4≤a≤0.当a＝0时，(x＋1)2≤4x，解得x＝1，当a＝－4时，(x－3)2≤4x，解之得1≤x≤9，因此m的最大值为9.[答案]C(3)对函数f(x)，在使f(x)≥M成立的所有常数M中，我们把M的最