（新课标）2020版高考数学二轮复习 第一部分 基础考点 自主练透 第1讲 选择、填空题的4种特殊解

数学第一部分基础考点自主练透第1讲选择、填空题的4种特殊解法方法一特值(例)排除法方法诠释使用前提使用技巧常见问题特例法是根据题设和各选项的具体情况和特点，选取满足条件的特殊的数值、特殊的点、特殊的例子、特殊的图形、特殊的位置、特殊的函数、特殊的方程、特殊的数列等，针对各选项进行代入对照，结合排除法，从而得到正确的答案.满足当一般性结论成立时，对符合条件的特殊化情况也一定成立.找到满足条件的合适的特殊化例子，或举反例排除，有时甚至需要两次或两次以上特殊化例子才可以确定结论.求范围、比较大小、含字母求值、恒成立问题、任意性问题等．而对于函数图象的判别、不等式、空间线面位置关系等不宜直接求解的问题，常通过排除法解决.真题示例技法应用(2019·高考全国卷Ⅰ)函数f(x)＝sinx＋xcosx＋x2在[－π，π]的图象大致为()取特殊值x＝π，结合函数的奇偶性进行排除，答案选D．答案：D真题示例技法应用(2019·高考全国卷Ⅱ)若ab，则()A．ln(a－b)0B．3a3bC．a3－b30D．|a||b|取a＝－1，b＝－2，则ab，可验证A，B，D错误，只有C正确.答案：C真题示例技法应用(2018·高考全国卷Ⅲ)函数y＝－x4＋x2＋2的图象大致为()当x＝0时，y＝2，排除A，B；当x＝0.5时，x2x4，所以此时y2，排除C，故选D．答案：D真题示例技法应用(2018·高考全国卷Ⅰ)如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则()A．p1＝p2B．p1＝p3C．p2＝p3D．p1＝p2＋p3不妨设△ABC为等腰直角三角形，则易得区域Ⅰ，Ⅱ的面积相等.答案：A真题示例技法应用(2017·高考全国卷Ⅰ)已知α∈0，π2，tanα＝2，则cosα－π4＝__________.取角α终边上的特殊点(1，2)，利用定义代入计算，求sinα，cosα.答案为31010.答案：31010真题示例技法应用(2017·高考全国卷Ⅰ)函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是()A．[－2，2]B．[－1，1]C．[0，4]D．[1，3]当x＝4时，f(x－2)＝f(2)f(1)＝－1，不满足；当x＝3时，f(x－2)＝f(1)＝－1，满足．所以选D．答案：D真题示例技法应用(2017·高考山东卷)若ab0，且ab＝1，则下列不等式成立的是()A．a＋1bb2alog2(a＋b)B．b2alog2(a＋b)a＋1bC．a＋1blog2(a＋b)b2aD．log2(a＋b)a＋1bb2a利用特殊值法检验排除，当a＝2，b＝12时，选项A，C，D对应的不等式不成立，故选B．答案：B1．设f(x)＝log2[4(x－1)]，x≥2，12x＋1，x2，若f(x0)3，则x0的取值范围为()A．(－∞，0)∪(2，＋∞)B．(0，2)C．(－∞，－1)∪(3，＋∞)D．(－1，3)解析：选C．取x0＝1，则f(1)＝12＋1＝323，故x0≠1，排除B，D；取x0＝3，则f(3)＝log28＝3，故x0≠3，排除A．故选C．2．如果a1，a2，a3，…，an为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，则下列关系正确的为()A．a1a8a4a5B．a1a8a4a5C．a1＋a8a4＋a5D．a1a8＝a4a5解析：选B．取特殊数列，不妨设an＝n，则a1＝1，a4＝4，a5＝5，a8＝8，经检验，只有选项B成立．3．函数f(x)＝|1－x2|1－|x|的图象是()解析：选C．因为x≠±1，所以排除A；因为f(0)＝1，所以函数f(x)的图象过点(0，1)，排除D；因为f12＝1－1221－12＝32，所以排除B，故选C．4．如图，点P为椭圆x225＋y29＝1上第一象限内的任意一点，过椭圆的右顶点A、上顶点B分别作y轴、x轴的平行线，它们相交于点C，过点P引BC，AC的平行线交AC于点N，交BC于点M，交AB于D、E两点，记矩形PMCN的面积为S1，三角形PDE的面积为S2，则S1∶S2＝()A．1B．2C．12D．13解析：选A．不妨取点P4，95，则可计算S1＝3－95×(5－4)＝65，由题易得PD＝2，PE＝65，所以S2＝12×2×65＝65，所以S1∶S2＝1.5．若函数y＝f(x)对定义域D中的每一个x1，都存在唯一的x2∈D，使f(x1)·f(x2)＝1成立，则称f(x)为“影子函数”，有下列三个命题：()①“影子函数”f(x)的值域可以是R；②“影子函数”f(x)可以是奇函数；③若y＝f(x)，y＝g(x)都是“影子函数”，且定义域相同，则y＝f(x)·g(x)是“影子函数”．上述命题正确的序号是()A．①B．②C．③D．②③解析：选B．对于①：假设“影子函数”的值域为R，则存在x1，使得f(x1)＝0，此时不存在x2，使得f(x1)f(x2)＝1，所以①错；对于②：函数f(x)＝x(x≠0)，对任意的x1∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，取x2＝1x1，则f(x1)f(x2)＝1，又因为函数f(x)＝x(x≠0)为奇函数，所以“影子函数”f(x)可以是奇函数，②正确；对于③：函数f(x)＝x(x0)，g(x)＝1x(x0)都是“影子函数”，但F(x)＝f(x)g(x)＝1(x0)不是“影子函数”(因为对任意的x1∈(0，＋∞)，存在无数多个x2∈(0，＋∞)，使得F(x1)·F(x2)＝1)，所以③错．综上，应选B．6．(一题多解)已知E为△ABC的重心，AD为BC边上的中线，令AB→＝a，AC→＝b，过点E的直线分别交AB，AC于P，Q两点，且AP→＝ma，AQ→＝nb，则1m＋1n＝()A．3B．4C．5D．13解析：选A．由于直线PQ是过点E的一条“动”直线，所以结果必然是一个定值．故可利用特殊直线确定所求值．法一：如图1，令PQ∥BC，则AP→＝23AB→，AQ→＝23AC→，此时，m＝n＝23，故1m＋1n＝3.故选A．法二：如图2，直线BE与直线PQ重合，此时，AP→＝AB→，AQ→＝12AC→，故m＝1，n＝12，所以1m＋1n＝3.故选A．7．如图，在三棱柱的侧棱A1A和B1B上各有一动点P，Q满足A1P＝BQ，过P，Q，C三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为()A．3∶1B．2∶1C．4∶1D．3∶1解析：选B．将P，Q置于特殊位置：P→A1，Q→B，此时仍满足条件A1P＝BQ(＝0)，则有VC-AA1B＝VA1­ABC＝VABC-A1B1C13.因此过P、Q、C三点的截面把棱柱分成体积比为2∶1的两部分．8．已知AD，BE分别是△ABC的中线，若|AD→|＝|BE→|＝1，且AD→与BE→的夹角为120°，则AB→·AC→＝________．解析：若△ABC为等边三角形，则|AB→|＝233，所以AB→·AC→＝|AB→||AC→|cos60°＝23.答案：23方法二验证法方法诠释使用前提使用技巧常见问题验证法是把选项代入题干中进行检验，或反过来从题干中找合适的验证条件，代入各选项进行检验，从而可否定错误选项而得到正确选项的一种方法.存在唯一正确选项.可以结合特例法、排除法等先否定一些明显错误的选项，再选择直觉认为最有可能的选项进行验证，这样可以快速获得答案.题干信息不全、选项是数值或范围、正面求解或计算烦琐的问题等.真题示例技法应用(2019·高考全国卷Ⅰ)右图是求12＋12＋12的程序框图，图中空白框中应填入()A．A＝12＋AB．A＝2＋1AC．A＝11＋2AD．A＝1＋12A对于选项A，A＝12＋A.当k＝1时，A＝12＋12，当k＝2时，A＝12＋12＋12，故A正确；经验证选项B，C，D均不符合题意．故选A．答案：A真题示例技法应用(2018·高考北京卷)设集合A＝{(x，y)|x－y≥1，ax＋y4，x－ay≤2}，则()A．对任意实数a，(2，1)∈AB．对任意实数a，(2，1)∉AC．当且仅当a0时，(2，1)∉AD．当且仅当a≤32时，(2，1)∉A对a取数字验证．a＝0时，A错；a＝2时，B错；a＝32时，C错．所以选D．答案：D真题示例技法应用(2018·高考全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则()A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4当sinx＝0，cosx＝1时，函数值为4，所以A，C错；把x＋π代入验证，可得f(x＋π)＝f(x)，说明D错．故选B．答案：B真题示例技法应用(2018·高考全国卷Ⅲ)下列函数中，其图象与函数y＝lnx的图象关于直线x＝1对称的是()A．y＝ln(1－x)B．y＝ln(2－x)C．y＝ln(1＋x)D．y＝ln(2＋x)函数y＝lnx的图象过定点(1，0)，而(1，0)关于直线x＝1对称的点还是(1，0)，将(1，0)代入选项验证.答案：B真题示例技法应用(2017·高考全国卷Ⅰ)设A、B是椭圆C：x23＋y2m＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是()A．(0，1]∪[9，＋∞)B．(0，3]∪[9，＋∞)C．(0，1]∪[4，＋∞)D．(0，3]∪[4，＋∞)选取四个选项的差异值m＝3，m＝4代入验证.答案：A1．下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是()A．y＝－1xB．y＝－log2xC．y＝3xD．y＝x3＋x解析：选D．y＝－1x在(0，＋∞)，(－∞，0)上单调递增，但是在整个定义域内不是单调递增函数，故A错误；y＝－log2x的定义域(0，＋∞)关于原点不对称，不是奇函数，故B错误；y＝3x不是奇函数，故C错误；令f(x)＝y＝x3＋x，f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－x3－x＝－f(x)，是奇函数，且由幂函数的性质可知函数在R上单调递增，故D正确，故选D．2．下列函数为偶函数的是()A．y＝x2sinxB．y＝x2cosxC．y＝|lnx|D．y＝2－x解析：选B．因为y＝x2是偶函数，y＝sinx是奇函数，y＝cosx是偶函数，所以A选项为奇函数，B选项为偶函数；C选项中函数图象是把对数函数y＝lnx的图象在x轴下方部分翻折到x轴上方，其余部分的图象保持不变，故为非奇非偶函数；D选项为指数函数y＝(12)x，是非奇非偶函数．故选B．3．设函数f(x)＝cos2x－π3，则下列结论错误的是()A．f(x)的一个周期为－πB．y＝f(x)的图象关于直线x＝2π3对称C．fx＋π2的一个零点为x＝－π3D．f(x)在区间π3，π2上单调递减解析：选C．f(x)＝cos2x－π3的周期为T＝kπ，所以A对；当x＝2π3时，2x－π3＝π，cosπ＝－1，所以B对；f(x＋π2)＝cos(2x＋2π3)，x＝－π3时，2x＋2π3＝0，cos0＝1≠0，所以C错；x∈π3，π2时，2x－π3∈π3，2π3，y＝cosx在π3，2π3上递减，所以D对．故选C．4．已知函数f(x)＝1x－a为奇函数，g(x)＝lnx－2f(x)，则函数g(x)的零点所在区间为()A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，4)解析：选C．函数f(x)＝1x－a为奇函数，可得a＝0，则g(x)＝lnx－2f(x)＝lnx－2x，显然函数g(x)为增函数，且有g(1)＝ln1－2＝－20，g(2)＝