（新高考）2020版高考数学二轮复习 主攻40个必考点 三角函数与解三角形、平面向量（六）课件 理

主攻40个必考点(六)平面向量1．(2019·全国卷Ⅰ)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为()A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：选B由(a－b)⊥b，可得(a－b)·b＝0，即a·b＝b2.∵|a|＝2|b|，∴cos〈a，b〉＝a·b|a|·|b|＝b22b2＝12.又∵0≤〈a，b〉≤π，∴a与b的夹角为π3.2．(2019·全国卷Ⅱ)已知AB→＝(2,3)，AC→＝(3，t)，|BC→|＝1，则AB→·BC→＝()A．－3B．－2C．2D．3解析：选C∵BC→＝AC→－AB→＝(3，t)－(2,3)＝(1，t－3)，|BC→|＝1，∴12＋t－32＝1，解得t＝3，∴BC→＝(1,0)，∴AB→·BC→＝2×1＋3×0＝2.3．(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝()A．4B．3C．2D．0解析：选Ba·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－a·b.∵|a|＝1，a·b＝－1，∴原式＝2×12＋1＝3.4．(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB→＝()A.34AB→－14AC→B.14AB→－34AC→C.34AB→＋14AC→D.14AB→＋34AC→解析：选A法一：作出示意图如图所示.EB→＝ED→＋DB→＝12AD→＋12CB→＝12×12(AB→＋AC→)＋12(AB→－AC→)＝34AB→－14AC→.故选A.法二：不妨设△ABC为等腰直角三角形，且∠A＝π2，AB＝AC＝1.建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D12，12，E14，14.故AB→＝(1,0)，AC→＝(0,1)，EB→＝(1,0)－14，14＝34，－14，即EB→＝34AB→－14AC→.5．(2017·全国卷Ⅱ)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA→·(PB→＋PC→)的最小值是()A．－2B．－32C．－43D．－1解析：选B如图，以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，3)，B(－1,0)，C(1,0)，设P(x，y)，则PA→＝(－x,3－y)，PB→＝(－1－x，－y)，PC→＝(1－x，－y)，所以PA→·(PB→＋PC→)＝(－x，3－y)·(－2x，－2y)＝2x2＋2y－322－32，当x＝0，y＝32时，PA→·(PB→＋PC→)取得最小值，为－32.6．(2017·全国卷Ⅲ)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若AP→＝λAB→＋μAD→，则λ＋μ的最大值为()A．3B．22C.5D．2解析：选A以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(1,0)，C(1,2)，D(0,2)，可得直线BD的方程为2x＋y－2＝0，点C到直线BD的距离为222＋12＝25，所以圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝45.因为P在圆C上，所以P1＋255cosθ，2＋255sinθ.又AB→＝(1,0)，AD→＝(0,2)，AP→＝λAB→＋μAD→＝(λ，2μ)，所以1＋255cosθ＝λ，2＋255sinθ＝2μ，λ＋μ＝2＋255cosθ＋55sinθ＝2＋sin(θ＋φ)≤3(其中tanφ＝2)，当且仅当θ＝π2＋2kπ－φ，k∈Z时，λ＋μ取得最大值3.7．(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝________.解析：2a＋b＝(4,2)，因为c∥(2a＋b)，所以4λ＝2，解得λ＝12.答案：128．(2019·全国卷Ⅲ)已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－5b，则cos〈a，c〉＝________.解析：∵c2＝(2a－5b)2＝4a2－45a·b＋5b2＝9，∴|c|＝3.又∵a·c＝a·(2a－5b)＝2a2－5a·b＝2，∴cos〈a，c〉＝a·c|a||c|＝23.答案：23[把脉考情]考什么1.向量的线性运算(平面向量的基底分解)2.向量共线与垂直的坐标运算3.数量积的运算、模、夹角的求解4.平面向量的综合(数量积、模的取值范围等)考多深多以选择题、填空题的形式进行考查，难度中等，有时会在第12题或第16题作为压轴小题出现，分值5分考多宽常与三角函数、直线与圆及圆锥曲线相结合，主要以条件的形式出现，涉及向量共线、数量积等，主要考查数学运算、直观想象的核心素养，注意函数与方程思想，数形结合思想的应用向量的线性运算[典例1]在△ABC中，点D在边AB上，且BD→＝12DA→，设CB→＝a，CA→＝b，则CD→为()A.13a＋23bB.23a＋13bC.35a＋45bD.45a＋35b[一题多解](在发散思维中整合知识)法一：直接法如图，在△BCD中，CD→＝CB→＋BD→.因为BD→＝12DA→，所以BD→＝13BA→.在△ABC中，BA→＝CA→－CB→＝b－a，所以BD→＝13BA→＝13(b－a)，所以CD→＝CB→＋BD→＝a＋13(b－a)＝23a＋13b.法二：待定系数法设CD→＝xa＋yb，则在△BCD中，BD→＝CD→－CB→＝xa＋yb－a＝(x－1)a＋yb，在△ADC中，DA→＝CA→－CD→＝b－(xa＋yb)＝－xa＋(1－y)b.因为BD→＝12DA→，所以(x－1)a＋yb＝12[－xa＋(1－y)b]，整理得32x－1a＋32y－12b＝0，因为a与b不共线，所以32x－1＝0，32y－12＝0，解得x＝23，y＝13.故CD→＝23a＋13b.[答案]B[典例2](2019·安庆二模)如图，在△ABC中，点D是边BC上任意一点，M是线段AD的中点，若存在实数λ和μ，使得BM→＝λAB→＋μAC→，则λ＋μ＝()A.12B．－12C．2D．－2[一题多解](在发散思维中整合知识)法一：直接法因为点D在边BC上，所以存在t∈R，使得BD→＝tBC→＝t(AC→－AB→)(0≤t≤1)．因为M是线段AD的中点，所以BM→＝12(BA→＋BD→)＝12(－AB→＋tAC→－tAB→)＝－12(t＋1)AB→＋12tAC→，又BM→＝λAB→＋μAC→，所以λ＝－12(t＋1)，μ＝12t，所以λ＋μ＝－12.故选B.法二：特殊点法由题意知，D为BC上任意一点，不妨令点D与点B重合，则点M就是线段AB的中点．显然此时BM→＝12BA→＝－12AB→＋0AC→.又BM→＝λAB→＋μAC→，且AB→与AC→不共线，所以λ＝－12，μ＝0，所以λ＋μ＝－12.故选B.[答案]B增分方略平面向量基本定理表示向量的实质及解决问题的思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．一般将向量归结到相关的三角形中，利用三角形法则列出三个向量之间的关系．(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路：先选择一组基底，并运用该组基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每组基底下的分解都是唯一的．向量共线问题[典例3](1)(2019·丹东模拟)设平面向量a，b不共线，若AB→＝a＋5b，BC→＝－2a＋8b，CD→＝3(a－b)，则()A．A，B，D三点共线B．A，B，C三点共线C．B，C，D三点共线D．A，C，D三点共线(2)(2020届高三·江西红色七校第一次联考)已知平面向量a＝(－1,2)，b＝(2，m)，且a∥b，则3a＋2b＝()A．(－1,2)B．(1,2)C．(1，－2)D．(－1，－2)[解析](1)∵AB→＝a＋5b，BC→＝－2a＋8b，CD→＝3(a－b)，AD→＝AB→＋BC→＋CD→＝(a＋5b)＋(－2a＋8b)＋3(a－b)＝2(a＋5b)＝2AB→，∴AD→与AB→共线，即A，B，D三点共线，故选A.(2)因为a∥b，所以－1×m＝2×2，所以m＝－4，所以3a＋2b＝3(－1,2)＋2(2，－4)＝(－3,6)＋(4，－8)＝(1，－2)．故选C.[答案](1)A(2)C增分方略共线定比例(1)坐标成比例，即若两向量共线，则它们的坐标对应成比例(假设其中一向量两坐标均不为零)；(2)基底分解成比例，即已知a，b不共线，c＝pa＋qb，d＝ma＋nb，若c∥d，则pm＝qn(mn≠0)，即pn－mq＝0.数量积的基本运算[典例4](1)已知平面向量a，b，满足a＝(1，3)，|b|＝3，a⊥(a－2b)，则|a－b|＝()A．2B．3C．4D．6(2)(2019·马鞍山二检)已知向量a，b满足a＝(1，3)，|b|＝1，|a＋b|＝3，则a，b的夹角为________．[解析](1)由题意可得，|a|＝1＋3＝2，且a·(a－2b)＝0，即a2－2a·b＝0，所以4－2a·b＝0，a·b＝2，由平面向量模的计算公式可得，|a－b|＝a－b2＝a2－2a·b＋b2＝4－4＋9＝3.故选B.(2)由题意得|a|＝1＋3＝2，因为|a＋b|＝3，所以a2＋2a·b＋b2＝3，设a，b的夹角为α，则4＋1＋2×2×1×cosα＝3，所以cosα＝－12，所以α＝2π3.[答案](1)B(2)2π3增分方略1．求平面向量的夹角的方法(1)数量积法：cosθ＝a·b|a||b|(a，b是非零向量，θ是a与b的夹角)，注意θ的取值范围为[0，π]．(2)坐标法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cosθ＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22(θ是a与b的夹角)．(3)解三角形法：可以把所求两向量的夹角放到三角形中进行求解．2．平面向量数量积的两种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.平面向量中的最值、范围问题[典例5](2019·聊城一模)在△ABC中，BC边上的中线AD的长为2，点P是△ABC所在平面上的任意一点，则PA→·PB→＋PA→·PC→的最小值为()A．1B．2C．－2D．－1[一题多解](在发散思维中整合知识)法一：坐标法以点D为坐标原点，DA所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则D(0,0)，A(0，2)．设点P的坐标为(x，y)，则PA→＝(－x,2－y)，PD→＝(－x，－y)，故PA→·PB→＋PA→·PC→＝PA→·(PB→＋PC→)＝2PA→·PD→＝2(x2＋y2－2y)，2(x2＋y2－2y)＝2[x2＋(y－1)2]－2≥－2，当且仅当x＝0，y＝1时等号成立．所以PA→·PB→＋PA→·PC→的最小值为－2.故选C.法二：几何法取AD的中点M，则PA→＝PM→＋MA→＝PM→－12AD→，PD→＝PM→＋MD→＝PM→＋12AD→.所以PA→·PB→＋PA→·PC→＝PA→·(PB→＋PC→)＝PA→·2PD→＝2PA→·PD→＝2PM→－12AD→·PM→＋12AD→＝2PM→2－14AD→2＝2PM→2－14×22＝2PM→2－2.显然，当P，M重合时，PM→2取得最小值0，此时PA→·PB→＋PA→·PC→取得最小值－2.[答案]C[典例6]如图所示，正六边形ABCDEF的边长为2，M，N分别是边AB，CD的中点，若P为该正六边形边上的动点，则MN→·MP→的取值范围为________．[一题多解](在发散思维中整合知识)结合图象及数量积的几何意义，易知当动点P与点A重合时，MN→·MP→取得最小值