（新高考）2020版高考数学二轮复习 重点保分专题八 选修4-4 坐标系与参数方程课件 文

重点保分专题八选考内容选修4－4坐标系与参数方程把握考情诊断学情考查内容会在极坐标系中刻画点的位置，能进行极坐标与直角坐标的互化，了解参数方程，会对参数方程与一般方程进行互化存在问题(1)混淆极坐标与直角坐标；(2)平面上点的极坐标是唯一的；(3)将参数方程化为普通方程，直接消参把握考情诊断学情考查素养(1)通过极坐标与直角坐标互化，参数方程与一般方程互化，考查数学抽象和逻辑推理的核心素养(2)借助直线与圆锥曲线的位置关系，考查逻辑推理和数学运算的核心素养解决方法(1)极坐标与直角坐标的互化公式x＝ρcosθ，y＝ρsinθ或ρ2＝x2＋y2，tanθ＝yxx≠0(2)如果限定ρ取正值，θ∈[0,2π)，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应关系；(3)在消参的过程中，要注意x，y的取值范围，保持等价转化考点(一)极坐标方程及其应用[典例](2019·全国卷Ⅱ)在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0，θ0)(ρ00)在曲线C：ρ＝4sinθ上，直线l过点A(4，0)且与OM垂直，垂足为P.(1)当θ0＝π3时，求ρ0及l的极坐标方程；(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．[解](1)因为M(ρ0，θ0)在曲线C上，当θ0＝π3时，ρ0＝4sinπ3＝23.由已知得|OP|＝|OA|cosπ3＝2.设Q(ρ，θ)为l上除P外的任意一点．连接OQ，在Rt△OPQ中，ρcosθ－π3＝|OP|＝2.经检验，点P2，π3在曲线ρcosθ－π3＝2上，所以l的极坐标方程为ρcosθ－π3＝2.(2)设P(ρ，θ)，在Rt△OAP中，|OP|＝|OA|cosθ＝4cosθ，即ρ＝4cosθ.因为P在线段OM上，且AP⊥OM，所以θ的取值范围是π4，π2.所以P点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cosθ，θ∈π4，π2.[解题方略]1．极径的几何意义及其应用(1)几何意义：极径ρ表示极坐标平面内点M到极点O的距离．(2)应用：一般应用于过极点的直线与曲线相交，所得的弦长问题，需要用极径表示出弦长，结合根与系数的关系解题．2．极坐标化直角坐标的常用技巧(1)通常要用ρ去乘方程的两边，使之出现ρ2，ρcosθ，ρsinθ的形式．(2)含关于tanθ的方程用公式tanθ＝yx.[对点训练]在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1：ρcosθ＝3，曲线C2：ρ＝4cosθ0≤θπ2.(1)求C1与C2交点的极坐标；(2)设点Q在C2上，OQ―→＝23QP―→，求动点P的极坐标方程．解：(1)联立ρcosθ＝3，ρ＝4cosθ，cosθ＝±32，因为0≤θπ2，θ＝π6，ρ＝23，所以所求交点的极坐标为23，π6.(2)设P(ρ，θ)，Q(ρ0，θ0)且ρ0＝4cosθ0，θ0∈0，π2，由已知OQ―→＝23QP―→，得ρ0＝25ρ，θ0＝θ，所以25ρ＝4cosθ，点P的极坐标方程为ρ＝10cosθ，θ∈0，π2.考点(二)参数方程及其应用[典例](2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为x＝cosθ，y＝sinθ(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB中点P的轨迹的参数方程．[解](1)⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1.当α＝π2时，l与⊙O交于两点．当α≠π2时，记tanα＝k，则l的方程为y＝kx－2.l与⊙O交于两点需满足21＋k21，解得k－1或k1，即α∈π2，3π4或α∈π4，π2.综上，α的取值范围是π4，3π4.(2)l的参数方程为x＝tcosα，y＝－2＋tsinαt为参数，π4α3π4.设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP＝tA＋tB2，且tA，tB满足t2－22tsinα＋1＝0.于是tA＋tB＝22sinα，tP＝2sinα.又点P的坐标(x，y)满足x＝tPcosα，y＝－2＋tPsinα，所以点P的轨迹的参数方程是x＝22sin2α，y＝－22－22cos2αα为参数，π4α3π4.[解题方略]参数方程化为普通方程消去参数的方法(1)代入消参法：将参数解出来代入另一个方程消去参数，直线的参数方程通常用代入消参法．(2)三角恒等式法：利用sin2α＋cos2α＝1消去参数，圆的参数方程和椭圆的参数方程都是运用三角恒等式法．(3)常见消参数的关系式：①t·1t＝1；②t＋1t2－t－1t2＝4；③2t1＋t22＋1－t21＋t22＝1.[对点训练]在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ－cosθ＝0，M1，π2.以极点O为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系．斜率为－1的直线l过点M，且与曲线C交于A，B两点．求曲线C和直线l的参数方程．解：由ρsin2θ－cosθ＝0得ρ2sin2θ＝ρcosθ，∴y2＝x，故曲线C的直角坐标方程为y2＝x.故曲线C的参数方程为x＝t2，y＝t(t为参数)，由题意，M的直角坐标为(0,1)，则直线l的参数方程为x＝tcos3π4，y＝1＋tsin3π4(t为参数)，即x＝－22t，y＝1＋22t(t为参数)．考点(三)极坐标与参数方程的综合应用题点一直线的参数方程中参数几何意义的应用[典例1](2020届高三·湖北五校联考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1过点P(a,1)，其参数方程为x＝a＋2t2，y＝1＋2t2(t为参数，a∈R)．以O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＋4cosθ－ρ＝0.(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；(2)已知曲线C1与曲线C2交于A，B两点，且|PA|＝2|PB|，求实数a的值．[解](1)∵曲线C1的参数方程为x＝a＋2t2，y＝1＋2t2(t为参数，a∈R)，∴曲线C1的普通方程为x－y－a＋1＝0.∵曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＋4cosθ－ρ＝0，∴ρ2cos2θ＋4ρcosθ－ρ2＝0，又ρcosθ＝x，ρ2＝x2＋y2，∴x2＋4x－x2－y2＝0，即曲线C2的直角坐标方程为y2＝4x.(2)设A，B两点所对应的参数分别为t1，t2，由y2＝4x，x＝a＋2t2，y＝1＋2t2，得t2－22t＋2－8a＝0.Δ＝(－22)2－4(2－8a)0，即a0，∴t1＋t2＝22，t1·t2＝2－8a，根据参数方程中参数的几何意义可知|PA|＝|t1|，|PB|＝|t2|，∴由|PA|＝2|PB|得t1＝2t2或t1＝－2t2，∴当t1＝2t2时，有t1＋t2＝3t2＝22，t1·t2＝2t22＝2－8a，解得a＝1360，符合题意，当t1＝－2t2时，有t1＋t2＝－t2＝22，t1·t2＝－2t22＝2－8a，解得a＝940，符合题意．综上所述，a＝136或a＝94.[一题多变]1．(变条件)本例(2)的条件变为|PA||PB|＝6.求实数a的值．解：由本例解析知|PA|·|PB|＝|t1||t2|＝|t1t2|＝|2－8a|＝6，解得a＝1或－12.又∵a0，∴a＝1.2．(变条件)若本例曲线C1变为过点P(0，－1)，其参数方程为x＝22t，y＝－1＋22t(t为参数)，其他条件不变，求|PA|＋|PB|.解：曲线C1的参数方程代入曲线C2的方程y2＝4x得t2－62t＋2＝0.设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝62，t1t2＝2，∴t10，t20.∴|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝|t1＋t2|＝62.[解题方略]利用直线的参数方程中参数的几何意义求解问题经过点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数)．若A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为t1，t2，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到：(1)t0＝t1＋t22；(2)|PM|＝|t0|＝t1＋t22；(3)|AB|＝|t2－t1|；(4)|PA|·|PB|＝|t1·t2|.题点二极坐标方程中极径几何意义的应用[典例2](2019·长沙统考)在平面直角坐标系xOy中，已知曲线M的参数方程为x＝1＋cosφ，y＝1＋sinφ(φ为参数)，过原点O且倾斜角为α的直线l交M于A，B两点．以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求l和M的极坐标方程；(2)当α∈0，π4时，求|OA|＋|OB|的取值范围．[解](1)由题意可得，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．曲线M的普通方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，x2＋y2＝ρ2，所以M的极坐标方程为ρ2－2(cosθ＋sinθ)ρ＋1＝0.(2)设A(ρ1，α)，B(ρ2，α)，且ρ1，ρ2均为正数，将θ＝α代入ρ2－2(cosθ＋sinθ)ρ＋1＝0，得ρ2－2(cosα＋sinα)ρ＋1＝0，当α∈0，π4时，Δ＝4sin2α0，所以ρ1＋ρ2＝2(cosα＋sinα)，根据极坐标的几何意义，|OA|，|OB|分别是点A，B的极径，从而|OA|＋|OB|＝ρ1＋ρ2＝2(cosα＋sinα)＝22sinα＋π4.当α∈0，π4时，α＋π4∈π4，π2，故|OA|＋|OB|的取值范围是(2,22]．[解题方略]极径的几何意义及其应用(1)几何意义：极径ρ表示极坐标平面内点M到极点O的距离．(2)应用：一般应用于过极点的直线与曲线相交，所得的弦长问题，需要用极径表示出弦长，结合根与系数的关系解题．[对点训练]1．(2019·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝1－t21＋t2，y＝4t1＋t2(t为参数)．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcosθ＋3ρsinθ＋11＝0.(1)求C和l的直角坐标方程；(2)求C上的点到l距离的最小值．解：(1)因为－11－t21＋t2≤1，且x2＋y22＝1－t21＋t22＋4t21＋t22＝1，所以C的直角坐标方程为x2＋y24＝1(x≠－1)，l的直角坐标方程为2x＋3y＋11＝0.(2)由(1)可设C的参数方程为x＝cosα，y＝2sinα(α为参数，－παπ)．则C上的点到l的距离为|2cosα＋23sinα＋11|7＝4cosα－π3＋117.当α＝－2π3时，4cosα－π3＋11取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为7.2．(2019·安徽考试试题)在直角坐标系xOy中，直线l1：x＝0，圆C：(x－1)2＋(y－1－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求直线l1和圆C的极坐标方程；(2)若直线l2的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R)，设l1，l2与圆C的公共点分别为A，B，求△OAB的面积．解：(1)∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴直线l1的极坐标方程为ρcosθ＝0，即θ＝π2(ρ∈R)，圆C的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－2(1＋2)ρsinθ＋3＋22＝0.(2)设Aπ2，ρ1，Bπ4，ρ2，将θ＝π2代入ρ2－2ρcosθ－2(1＋2)ρsinθ＋3＋22＝0，得ρ2－2(1＋