（新高考）2020版高考数学二轮复习 题型篇 第二讲 选修4-5 不等式选讲课件 文

第二讲选修4－5不等式选讲考点(一)绝对值不等式的解法[典例](2019·全国卷Ⅱ)已知f(x)＝|x－a|x＋|x－2|(x－a)．(1)当a＝1时，求不等式f(x)0的解集；(2)若x∈(－∞，1)时，f(x)0，求a的取值范围．[解](1)当a＝1时，f(x)＝|x－1|x＋|x－2|(x－1)．当x1时，f(x)＝－2(x－1)20；当x≥1时，f(x)＝(x－1)(x＋|x－2|)≥0.所以不等式f(x)0的解集为(－∞，1)．(2)因为f(a)＝0，所以a≥1.当a≥1，x∈(－∞，1)时，f(x)＝(a－x)x＋(2－x)(x－a)＝2(a－x)(x－1)0.所以a的取值范围是[1，＋∞)．[解题方略]绝对值不等式的5种常用解法(1)基本性质法：对a∈R，|x|a⇔－axa，|x|a⇔x－a或xa.(2)平方法：两边平方去掉绝对值符号．(3)零点分区间法：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解．(4)几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解．(5)数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解．[集训冲关]1．已知函数f(x)＝13|x－a|(a∈R)．(1)当a＝2时，解不等式x－13＋f(x)≥1；(2)设不等式x－13＋f(x)≤x的解集为M，若13，12⊆M，求实数a的取值范围．解：(1)当a＝2时，原不等式可化为|3x－1|＋|x－2|≥3，①当x≤13时，1－3x＋2－x≥3，解得x≤0，所以x≤0；②当13＜x＜2时，3x－1＋2－x≥3，解得x≥1，所以1≤x＜2；③当x≥2时，3x－1＋x－2≥3，解得x≥32，所以x≥2.综上所述，当a＝2时，不等式的解集为{x|x≤0或x≥1}．(2)不等式x－13＋f(x)≤x可化为|3x－1|＋|x－a|≤3x，依题意知，不等式|3x－1|＋|x－a|≤3x在x∈13，12上恒成立，所以3x－1＋|x－a|≤3x，即|x－a|≤1，即a－1≤x≤a＋1，所以a－1≤13，a＋1≥12，解得－12≤a≤43，故实数a的取值范围是－12，43.2．已知函数f(x)＝|2x＋1|－|x－1|.(1)求不等式f(x)＞1的解集；(2)若不等式f(x)＜x2＋x＋m的解集为R，求实数m的取值范围．解：(1)原不等式等价于|2x＋1|－|x－1|＞1等价于x≤－12，－x－3＞0或－12＜x＜1，3x－1＞0或x≥1，x＋1＞0，解得x＜－3或13＜x＜1或x≥1.所以原不等式的解集为xx＜－3或x＞13.(2)由f(x)＜x2＋x＋m得m＞－x2－x＋|2x＋1|－|x－1|.令g(x)＝－x2－x＋|2x＋1|－|x－1|，则由题意知m＞g(x)max.g(x)＝－x2－2x－2，x＜－12，－x2＋2x，－12≤x≤1，－x2＋2，x＞1，作出其图象如图所示，由图象知g(x)max＝1.所以m＞1，即m的取值范围为(1，＋∞)．考点(二)不等式的证明[典例](2019·全国卷Ⅰ)已知a，b，c为正数，且满足abc＝1.证明：(1)1a＋1b＋1c≤a2＋b2＋c2；(2)(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.[证明](1)因为a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，又abc＝1，所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca＝ab＋bc＋caabc＝1a＋1b＋1c，当且仅当a＝b＝c＝1时，等号成立．所以1a＋1b＋1c≤a2＋b2＋c2.(2)因为a，b，c为正数且abc＝1，故有(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥33a＋b3b＋c3c＋a3＝3(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥3×(2ab)×(2bc)×(2ca)＝24.当且仅当a＝b＝c＝1时，等号成立．所以(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.[解题方略]不等式证明的方法(1)比较法①作差法：要证明ab，只需证a－b0.②作商法：要证明ab，若b0，只需证ab1；若b0，只需证ab1.(2)综合法从已知条件、不等式的性质和基本不等式等出发，通过逻辑推理，推导出所要证明的结论．(3)分析法从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立．[集训冲关]1．(2019·成都二诊)已知函数f(x)＝|x－m|－|x＋2m|的最大值为3，其中m＞0.(1)求m的值；(2)若a，b∈R，ab＞0，a2＋b2＝m2，求证：a3b＋b3a≥1.解：(1)∵m＞0，∴f(x)＝|x－m|－|x＋2m|＝－3m，x≥m，－2x－m，－2m＜x＜m，3m，x≤－2m.∴当x≤－2m时，f(x)取得最大值3m，∴3m＝3，∴m＝1.(2)证明：由(1)，得a2＋b2＝1，a3b＋b3a＝a4＋b4ab＝a2＋b22－2a2b2ab＝1ab－2ab.∵a2＋b2＝1≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立，∴0＜ab≤12.令h(t)＝1t－2t,0＜t≤12，则h(t)在0，12上单调递减，∴h(t)≥h12＝1.∴当0＜ab≤12时，1ab－2ab≥1.∴a3b＋b3a≥1.2．已知不等式|2x＋1|＋|2x－1|＜4的解集为M.(1)求集合M；(2)设实数a∈M，b∉M，证明：|ab|＋1≤|a|＋|b|.解：(1)法一：当x＜－12时，不等式可化为：－2x－1＋1－2x＜4，即x＞－1，所以－1＜x＜－12.当－12≤x≤12时，不等式化为：2x＋1－2x＋1＜4，即2＜4，所以－12≤x≤12.当x＞12时，不等式化为：2x＋1＋2x－1＜4，即x＜1，所以12＜x＜1.综上可知，M＝{x|－1＜x＜1}．法二：设f(x)＝|2x＋1|＋|2x－1|，则f(x)＝－4x，x＜－12，2，－12≤x≤12，4x，x＞12，作出函数f(x)的图象如图所示，若f(x)＜4，由图可得，－1＜x＜1.所以M＝{x|－1＜x＜1}．(2)证明：法一：因为a∈M，b∉M，所以|a|＜1，|b|≥1.所以|ab|＋1－(|a|＋|b|)＝|ab|＋1－|a|－|b|＝(|a|－1)(|b|－1)≤0，所以|ab|＋1≤|a|＋|b|.法二：要证|ab|＋1≤|a|＋|b|，只需证|a||b|＋1－|a|－|b|≤0，只需证(|a|－1)(|b|－1)≤0，因为a∈M，b∉M，所以|a|＜1，|b|≥1，所以(|a|－1)(|b|－1)≤0成立．所以|ab|＋1≤|a|＋|b|成立．考点(三)含绝对值不等式的恒成立问题[典例](2020届高三·河北九校联考)已知函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|.(1)解不等式f(x)＞2；(2)记函数g(x)＝f(x)＋f(－x)，若对任意的x∈R，不等式|k－1|＜g(x)恒成立，求实数k的取值范围．[解](1)依题意得f(x)＝－3x，x≤－12，x＋2，－12＜x＜1，3x，x≥1，于是得x≤－12，－3x＞2或－12＜x＜1，x＋2＞2或x≥1，3x＞2，解得x＜－23或0＜x＜1或x≥1.故不等式f(x)＞2的解集为xx＜－23或x＞0.(2)g(x)＝f(x)＋f(－x)＝|x－1|＋|x＋1|＋(|2x＋1|＋|2x－1|)≥|(x－1)－(x＋1)|＋|(2x＋1)－(2x－1)|＝4，当且仅当x－1x＋1≤0，2x－12x＋1≤0，即x∈－12，12时取等号，若对任意的x∈R，不等式|k－1|＜g(x)恒成立，则|k－1|＜g(x)min＝4，所以－4＜k－1＜4，解得－3＜k＜5，故实数k的取值范围为(－3,5)．[解题方略]已知不等式恒成立求参数范围问题的3种解法分离参数法运用“f(x)≤a恒成立⇔f(x)max≤a，f(x)≥a恒成立⇔f(x)min≥a”可解决恒成立中的参数取值范围问题更换主元法对于一些含参不等式恒成立问题，若直接从主元入手非常困难或不可能解决问题时，可转换思维角度，将主元与参数互换，常可得到简捷的解法数形结合法在研究曲线交点的恒成立问题时数形结合，揭示问题所蕴含的几何背景，发挥形象思维与抽象思维的优势，可直接解决问题[集训冲关]1．已知函数f(x)＝|3x＋3|＋|x－a|.(1)当a＝2时，求不等式f(x)＞4的解集；(2)若f(x)＞3x＋4对任意的x∈(－1，＋∞)恒成立，求a的取值范围．解：(1)当a＝2时，f(x)＝|3x＋3|＋|x－2|，即f(x)＝－4x－1，x≤－1，2x＋5，－1＜x＜2，4x＋1，x≥2，当x≤－1时，不等式f(x)＞4，即－4x－1＞4，解得x＜－54，所以x＜－54；当－1＜x＜2时，不等式f(x)＞4，即2x＋5＞4，解得x－12，所以－12＜x＜2；当x≥2时，不等式f(x)＞4，即4x＋1＞4，解得x＞34，所以x≥2.所以不等式f(x)＞4的解集为－∞，－54∪－12，＋∞.(2)由题意知，当x＞－1时，f(x)＝3x＋3＋|x－a|＞3x＋4恒成立，即|x－a|＞1在(－1，＋∞)上恒成立，作出函数y＝|x－a|的图象(图略)，由图易知，a＜－1，|－1－a|≥1，得a≤－2.所以a的取值范围为(－∞，－2]．2．已知f(x)＝|x－2a|＋|2x＋a|，g(x)＝2x＋3.(1)当a＝1时，求不等式f(x)＜4的解集；(2)若0＜a＜3，且当x∈－a2，1时，f(x)＜g(x)恒成立，求a的取值范围．解：(1)当a＝1时，不等式f(x)＜4，即|x－2|＋|2x＋1|＜4，①当x＜－12时，不等式化为－(x－2)－(2x＋1)＜4，解得－1＜x＜－12；②当－12≤x≤2时，不等式化为－(x－2)＋(2x＋1)＜4，解得－12≤x＜1；③当x＞2时，不等式化为(x－2)＋(2x＋1)＜4，无解．综上，不等式f(x)＜4的解集为{x|－1＜x＜1}．(2)当x∈－a2，1时，f(x)＝|x－2a|＋2x＋a，所以f(x)＜g(x)恒成立即|x－2a|＜3－a恒成立，又3－a＞0，所以a－3＜x－2a＜3－a，即3a－3＜x＜3＋a，所以只需3a－3＜－a2，解得a＜67，所以a的取值范围为0，67.