（文理通用）江苏省2020高考数学二轮复习 专题一 三角函数、平面向量与解三角形 第4讲 平面向量课

第4讲平面向量课前热身启动——全面落实“四基”，基稳才能楼高[主干知识再强化]1．平面向量的两个充要条件若两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0.(2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.2．平面向量的性质(1)若a＝(x，y)，则|a|＝a·a＝x2＋y2.(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB→|＝x2－x12＋y2－y12.(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cosθ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22，向量a在向量b方向上的投影为|a|cosθ＝a·b|b|＝x1x2＋y1y2x22＋y22.(4)当a与b同向时，a·b＝|a|·|b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|；特别地a·a＝|a|2.(5)|a·b|≤|a|·|b|.3．三点共线的判定(1)A，B，C三点共线⇔AB→，AC→共线．(2)向量PA→，PB→，PC→中三终点A，B，C共线⇔存在实数α，β使得PA→＝αPB→＋βPC→，且α＋β＝1.4．中点坐标和三角形的重心坐标(1)设P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则线段P1P2的中点P的坐标为x1＋x22，y1＋y22.(2)三角形的重心坐标公式：设△ABC的三个顶点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心坐标是Gx1＋x2＋x33，y1＋y2＋y33.5．三角形的“四心”向量形式(1)G为△ABC的重心⇔GA→＋GB→＋GC→＝0⇔OG→＝13(OA→＋OB→＋OC→)；(2)|PA→|＝|PB→|＝|PC→|⇔P为△ABC的外心；(3)HA→·HB→＝HB→·HC→＝HC→·HA→⇔H为△ABC的垂心；(4)λAB→|AB→|＋AC→|AC→|所在直线过△ABC的内心(λ≠0)．6．极化恒等式a·b＝a＋b22－a－b22.[经典考题再回首]1．(2019·全国卷Ⅰ改编)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为________．解析：由(a－b)⊥b，可得(a－b)·b＝0，即a·b＝b2.∵|a|＝2|b|，∴cos〈a，b〉＝a·b|a|·|b|＝b22b2＝12.又∵0≤〈a，b〉≤π，∴a与b的夹角为π3.答案：π32．(2019·全国卷Ⅱ改编)已知AB→＝(2,3)，AC→＝(3，t)，|BC→|＝1，则AB→·BC→＝________.解析：∵BC→＝AC→－AB→＝(3，t)－(2,3)＝(1，t－3)，|BC→|＝1，∴12＋t－32＝1，解得t＝3，∴BC→＝(1,0)，∴AB→·BC→＝2×1＋3×0＝2.答案：23．(2019·全国卷Ⅱ改编)已知向量a＝(2,3)，b＝(3,2)，则|a－b|＝________.解析：∵a－b＝(2,3)－(3,2)＝(－1,1)，∴|a－b|＝－12＋12＝2.答案：24．(2019·北京高考)已知向量a＝(－4,3)，b＝(6，m)，且a⊥b，则m＝________.解析：∵a⊥b，∴a·b＝0.又∵a＝(－4,3)，b＝(6，m)，∴－4×6＋3m＝0，解得m＝8.答案：85．(2019·天津高考)在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝23，AD＝5，∠A＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则BD→·AE→＝________.解析：如图，∵E在线段CB的延长线上，∴EB∥AD.∵∠DAB＝30°，∴∠ABE＝30°.∵AE＝BE，∴∠EAB＝30°.又∵AB＝23，∴BE＝2.∵AD＝5，∴EB→＝25AD→.∴AE→＝AB→＋BE→＝AB→－25AD→.又∵BD→＝AD→－AB→，∴BD→·AE→＝(AD→－AB→)AB→－25AD→＝AD→·AB→－25AD→2－AB→2＋25AD→·AB→＝75|AD→|·|AB→|·cos30°－25×52－(23)2＝75×5×23×32－10－12＝21－22＝－1.答案：－16．(2019·浙江高考)已知正方形ABCD的边长为1.当每个λi(i＝1,2,3,4,5,6)取遍±1时，|λ1AB→＋λ2BC→＋λ3CD→＋λ4DA→＋λ5AC→＋λ6BD→|的最小值是________，最大值是________．解析：如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则AB→＝(1,0)，AD→＝(0,1)．设a＝λ1AB→＋λ2BC→＋λ3CD→＋λ4DA→＋λ5AC→＋λ6BD→＝λ1AB→＋λ2AD→－λ3AB→－λ4AD→＋λ5(AB→＋AD→)＋λ6(AD→－AB→)＝(λ1－λ3＋λ5－λ6)AB→＋(λ2－λ4＋λ5＋λ6)AD→＝(λ1－λ3＋λ5－λ6，λ2－λ4＋λ5＋λ6)．故|a|＝λ1－λ3＋λ5－λ62＋λ2－λ4＋λ5＋λ62.∵λi(i＝1,2,3,4,5,6)取遍±1，∴当λ1－λ3＋λ5－λ6＝0，λ2－λ4＋λ5＋λ6＝0时，|λ1AB→＋λ2BC→＋λ3CD→＋λ4DA→＋λ5AC→＋λ6BD→|取得最小值0.考虑到λ5－λ6，λ5＋λ6有相关性，要确保所求模最大，只需使|λ1－λ3＋λ5－λ6|，|λ2－λ4＋λ5＋λ6|尽可能取到最大值，即当λ1－λ3＋λ5－λ6＝2，λ2－λ4＋λ5＋λ6＝4时可取到最大值，∴|λ1AB→＋λ2BC→＋λ3CD→＋λ4DA→＋λ5AC→＋λ6BD→|的最大值为4＋16＝25.答案：0257．(2019·江苏高考)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O.若AB→·AC→＝6AO→·EC→，则ABAC的值是________．解析：如图，过点D作DF∥CE交AB于点F，由D是BC的中点，可知F为BE的中点．又BE＝2EA，则EF＝EA，从而可得AO＝OD，则有AO→＝12AD→＝14(AB→＋AC→)，EC→＝AC→－AE→＝AC→－13AB→，所以6AO→·EC→＝32(AB→＋AC→)·AC→－13AB→＝32AC→2－12AB→2＋AB→·AC→＝AB→·AC→，整理可得AB→2＝3AC→2，所以ABAC＝3.答案：3课堂精析考情——锁定命题热点，精准才能高效一、小题考法——求“准”求“快”考法一平面向量的概念及线性运算[例1](1)(2019·无锡期末)在四边形ABCD中，已知AB→＝a＋2b，BC→＝－4a－b，CD→＝－5a－3b，其中，a，b是不共线的向量，则四边形ABCD的形状是________．(2)如图，在△ABC中，BO为边AC上的中线，BG→＝2GO→，设CD→∥AG→，若AD→＝15AB→＋λAC→(λ∈R)，则λ的值为________.(3)(2019·海安期中)设x＞0，y＞0，向量a＝(1－x,4)，b＝(x，－y)，若a∥b，则x＋y的最小值为________．[解析](1)因为AD→＝AB→＋BC→＋CD→＝(a＋2b)＋(－4a－b)＋(－5a－3b)＝－8a－2b，所以AD→＝2BC→，即AD∥BC，且|AD|≠|BC|，所以四边形ABCD是梯形．(2)由题意，得AG→＝13AB→＋23AO→＝13AB→＋13AC→，CD→＝AD→－AC→＝15AB→＋(λ－1)AC→，因为CD→∥AG→，所以λ－1＝15，λ＝65.(3)因为a∥b，所以4x＋(1－x)y＝0，又∵x＞0，y＞0，所以1x＋4y＝1，故x＋y＝1x＋4y(x＋y)＝5＋yx＋4xy≥5＋2yx·4xy＝9.当且仅当x＝3，y＝6时等号成立，所以(x＋y)min＝9.[答案](1)梯形(2)65(3)9[解题方略]向量线性运算问题的解题策略(1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形法则．(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果．(3)与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值．考法二平面向量的数量积[例2](1)设向量a，b，c都是单位向量，且2a＝b－3c，则a，b的夹角为________．(2)(2019·启东检测)已知向量a＝(x,2)，b＝(2,1)，c＝(3,2x)，若a⊥b，则|b＋c|＝________.(3)已知AD是直角三角形ABC的斜边BC上的高，点P在DA的延长线上，且满足(PB→＋PC→)·AD→＝42.若AD＝2，则PB→·PC→的值为________．[解析](1)设a，b的夹角为θ，由2a＝b－3c，得3c＝b－2a,3c2＝b2＋4a2－4b·a，即5－4cosθ＝3，得cosθ＝12.又θ∈[0，π]，所以θ＝π3.(2)因为a⊥b，所以2x＋2＝0，解得x＝－1，所以c＝(3，－2)，则b＋c＝(5，－1)，所以|b＋c|＝26.(3)由AD⊥BC，得AD→·DC→＝AD→·BD→＝0，因为(PB→＋PC→)·AD→＝42，所以(2PD→＋DB→＋DC→)·AD→＝42，所以PD→·AD→＝22，即|PD→|·|AD→|cos0＝22，所以|PD→|＝2，所以PB→·PC→＝(PD→＋DB→)·(PD→＋DC→)＝PD→2＋DB→·DC→＝PD→2＋|DB→|·|DC→|cosπ＝PD→2－|DB→|·|DC→|＝|PD→|2－|AD→|2＝4－2＝2.[答案](1)π3(2)26(3)2[解题方略]平面向量数量积相关问题的求解策略(1)夹角和模的问题的处理方法，一是转化为基底向量结合数量积的定义进行运算；二是建立坐标系用坐标公式求解．(2)平面向量的数量积可以用定义结合基底向量求解，也可以建立坐标系用坐标公式求解．(3)对于极化恒等式：a·b＝a＋b22－a－b22.在△ABC中，若M是BC的中点，则AB→·AC→＝AM→2－MC→2.其作用是：用线段的长度来计算向量的数量积．从而避开求向量的夹角．考法三与平面向量有关的最值范围问题[例3](1)已知AB为圆O的直径，M为圆O的弦CD上一动点，AB＝8，CD＝6，则MA→·MB→的取值范围是________．(2)(2019·苏州期末)如图，在边长为2的正方形ABCD中，M，N分别是边BC，CD上的两个动点，且BM＋DN＝MN，则AM→·AN→的最小值是________．(3)在平面四边形ABCD中，AB＝1，DA＝DB，AB→·AC→＝3，AC→·AD→＝2，则|AC→＋2AD→|的最小值为________．[解析](1)因为MA→＝MO→＋OA→，MB→＝MO→＋OB→，又OB→＝－OA→，所以MA→·MB→＝MO→2＋MO→·(OA→＋OB→)＋OA→·OB→＝MO→2－OA→2＝MO→2－16.因为M是弦CD上的动点，所以MOmax＝4，此时点M在圆上；MOmin＝16－9＝7，此时点M为弦CD的中点，故MA→·MB→∈[－9,0]．(2)如图，以A为坐标原点，直线AB为x轴建立坐标系，设M(2，m)，N(n,2)，则AM→·AN→＝2(m＋n)．由MB＋DN＝MN，得m＋n＝2－m2＋2－n2，得mn＝4－2(m＋n)．所以4－2(m＋n)＝mn≤m＋n22，得(m＋n＋4)2≥32.因为m≥0，n≥0，所以m＋n≥4(2－1)，当且仅当m＝n＝2(2－1)时取等号．所以AM→·AN→的最小值是8(2－1)．(3)以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示．则A(0,0)，B(1,0)，又DA＝DB，所以设D12，m，因为AB→·AC→＝|AC→|co