（文理通用）江苏省2020高考数学二轮复习 专题一 三角函数、平面向量与解三角形 第2讲 三角函数的

第2讲三角函数的化简与求值课前热身启动——全面落实“四基”，基稳才能楼高[主干知识再强化]1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；(2)商数关系：tanα＝sinαcosα.2．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ；(2)cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ；(3)tan(α±β)＝tanα±tanβ1∓tanαtanβ.3．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝2sinαcosα；(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；(3)tan2α＝2tanα1－tan2α.4．辅助角公式asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)其中tanφ＝ba.[经典考题再回首]1．(2019·全国卷Ⅰ改编)tan255°＝________.解析：tan255°＝tan(180°＋75°)＝tan75°＝tan(45°＋30°)＝tan45°＋tan30°1－tan45°tan30°＝1＋331－33＝2＋3.答案：2＋32．(2019·全国卷Ⅱ改编)已知α∈0，π2，2sin2α＝cos2α＋1，则sinα＝________.解析：由2sin2α＝cos2α＋1，得4sinαcosα＝2cos2α.又∵α∈0，π2，∴2sinα＝cosα，又∵sin2α＋cos2α＝1，∴sinα＝55.答案：553．(2019·江苏高考)已知tanαtanα＋π4＝－23，则sin2α＋π4的值是________．解析：法一：由tanαtanα＋π4＝tanαtanα＋11－tanα＝tanα－tanαtanα＋1＝－23，解得tanα＝2或－13.sin2α＋π4＝22(sin2α＋cos2α)＝22(2sinαcosα＋2cos2α－1)＝2(sinαcosα＋cos2α)－22＝2·sinαcosα＋cos2αsin2α＋cos2α－22＝2·tanα＋1tan2α＋1－22，将tanα＝2和－13分别代入得sin2α＋π4＝210.法二：∵tanαtanα＋π4＝sinαcosα＋π4cosαsinα＋π4＝－23，∴sinαcosα＋π4＝－23cosαsinα＋π4.①又sinπ4＝sinα＋π4－α＝sinα＋π4cosα－cosα＋π4sinα＝22，②由①②，解得sinαcosα＋π4＝－25，cosαsinα＋π4＝3210.∴sin2α＋π4＝sinα＋α＋π4＝sinαcosα＋π4＋cosαsinα＋π4＝210.答案：2104．(2018·江苏高考)已知α，β为锐角，tanα＝43，cos(α＋β)＝－55.(1)求cos2α的值；(2)求tan(α－β)的值．解：(1)因为tanα＝43，tanα＝sinαcosα，所以sinα＝43cosα.因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝925，所以cos2α＝2cos2α－1＝－725.(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos(α＋β)＝－55，所以α＋β∈π2，π.所以sin(α＋β)＝1－cos2α＋β＝255，所以tan(α＋β)＝－2.因为tanα＝43，所以tan2α＝2tanα1－tan2α＝－247.所以tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan2α－tanα＋β1＋tan2αtanα＋β＝－211.5．(2019·浙江高考)设函数f(x)＝sinx，x∈R.(1)已知θ∈[0,2π)，函数f(x＋θ)是偶函数，求θ的值；(2)求函数y＝fx＋π122＋fx＋π42的值域．解：(1)因为f(x＋θ)＝sin(x＋θ)是偶函数，所以对任意实数x都有sin(x＋θ)＝sin(－x＋θ)，即sinxcosθ＋cosxsinθ＝－sinxcosθ＋cosxsinθ，故2sinxcosθ＝0，所以cosθ＝0.又θ∈[0,2π)，因此θ＝π2或θ＝3π2.(2)y＝fx＋π122＋fx＋π42＝sin2x＋π12＋sin2x＋π4＝1－cos2x＋π62＋1－cos2x＋π22＝1－1232cos2x－32sin2x＝1－32cos2x＋π3.因此，所求函数的值域是1－32，1＋32.课堂精析考情——锁定命题热点，精准才能高效一、小题考法——求“准”求“快”考法一同角三角函数基本关系式及应用[例1](1)已知sinα＋3cosα3cosα－sinα＝5，则cos2α＋12sin2α的值是________．(2)已知tanα＋π4＝12，且－π2α0，则2sin2α＋sin2αcosα－π4＝________.[解析](1)由sinα＋3cosα3cosα－sinα＝tanα＋33－tanα＝5，解得tanα＝2，所以cos2α＋12sin2α＝cos2α＋sinα·cosα＝cos2α＋sinαcosαsin2α＋cos2α＝1＋tanα1＋tan2α＝1＋21＋22＝35.(2)由tanα＋π4＝tanα＋11－tanα＝12，得tanα＝－13.又－π2α0，所以sinα＝－1010.故2sin2α＋sin2αcosα－π4＝2sinαsinα＋cosα22sinα＋cosα＝22sinα＝－255.[答案](1)35(2)－255[解题方略]同角三角函数基本关系式的应用技巧知弦求弦利用诱导公式及平方关系sin2α＋cos2α＝1求解知弦求切常通过平方关系、对称式sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα建立联系，注意tanα＝sinαcosα的灵活应用知切求弦通常先利用商数关系转化为sinα＝tanα·cosα的形式，然后用平方关系求解和积转换法如利用(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ的关系进行变形、转化巧用“1”的变换1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝sin2θ1＋1tan2θ考法二诱导公式及应用[例2](1)已知cosπ6－x＝－33，则cos5π6＋x＋sin2π3－x＝________.(2)已知3sin(α－π)＝cosα，则tan(π－α)的值是________．[解析](1)cos5π6＋x＋sin2π3－x＝－cosx－π6＋sinx＋π3，sinx＋π3＝cosπ6－x，故原式＝－cosx－π6＋cosx－π6＝0.(2)3sin(α－π)＝cosα可化为－3sinα＝cosα，得tanα＝－13，∴tan(π－α)＝－tanα＝13.[答案](1)0(2)13[解题方略]利用诱导公式进行化简求值的步骤利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负－脱周－化锐．特别注意函数名称和符号的确定．考法三利用恒等变换求角或求值[例3](1)(2019·无锡期末)已知θ是第四象限角，且cosθ＝45，则sinθ＋π4cos2θ－6π＝________.(2)已知cosπ2＋α＝2cos(π－α)，则tanπ4＋α＝________.(3)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，则2α－β的值为________．[解析](1)因为θ是第四象限角，所以sinθ0，则sinθ＝－1－cos2θ＝－35，所以sinθ＋π4cos2θ－6π＝sinθcosπ4＋cosθsinπ4cos2θ＝22sinθ＋cosθcos2－sin2θ＝22sinθ＋cosθcosθ＋sinθcosθ－sinθ＝2245－－35＝5214.(2)∵cosπ2＋α＝2cos(π－α)，∴－sinα＝－2cosα，∴tanα＝2，∴tanπ4＋α＝1＋tanα1－tanα＝－3.(3)∵tanα＝tan[(α－β)＋β]＝tanα－β＋tanβ1－tanα－βtanβ＝12－171＋12×17＝130，∴0απ2.又∵tan2α＝2tanα1－tan2α＝2×131－132＝340，∴02απ2，∴tan(2α－β)＝tan2α－tanβ1＋tan2αtanβ＝34＋171－34×17＝1.∵tanβ＝－170，∴π2βπ，－π2α－β0，∴2α－β＝－3π4.[答案](1)5214(2)－3(3)－3π4[解题方略]三角函数求值的类型及方法给角求值解决给角求值问题的关键是两种变换：一是角的变换，注意各角之间是否具有和差关系、互补(余)关系、倍半关系，从而选择相应公式进行转化，把非特殊角的三角函数相约或相消，从而转化为特殊角的三角函数；二是结构变换，在熟悉各种公式的结构特点、符号特征的基础上，结合所求式子的特点合理地进行变形给值求值给值求值的关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异，一般可以适当变换已知式，求得另外某些函数式的值，以备应用．同时也要注意变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的给值求角实质上是转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围[集训过关]1．在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为角的始边，角α，β的终边分别与单位圆交于点1213，513和－35，45，则sin(α＋β)＝________.解析：因为角α，β的终边分别与单位圆交于点1213，513和－35，45，所以sinα＝513，cosα＝1213，sinβ＝45，cosβ＝－35，所以sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝513×－35＋1213×45＝3365.答案：33652．(2019·泰州调研)已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点P(－2，1)，则cos2α＝________.解析：因为角α的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点P(－2，1)，所以cosα＝－22＋1＝－63，因此cos2α＝2cos2α－1＝13.答案：133．(2019·常州模拟)已知cosα＝－45，α∈(－π，0)，则tanα－π4＝________.解析：因为cosα＝－45，a∈(－π，0)，所以sinα＝－35，tanα＝34，所以tanα－π4＝tanα－11＋tanα＝34－11＋34＝－17.答案：－174．若α是锐角，且cosα＋π6＝35，则cosα＋3π2＝________.解析：因为0απ2，所以π6α＋π62π3，又cosα＋π6＝35，所以sinα＋π6＝45，则cosα＋3π2＝sinα＝sinα＋π6－π6＝sinα＋π6cosπ6－cosα＋π6sinπ6＝45×32－35×12＝43－310.答案：43－310二、大题考法——求“稳”求“范”考法一结合三角函数定义进行化简求值[例1]如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边作锐角α，其终边与单位圆交于点A.以OA为始边作锐角β，其终边与单位圆交于点B，